高考数学万卷周测卷五文数三角函数周测专练9

高考数学万卷周测卷五文数三角函数周测专练
姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分
一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的）
1.如下图是周期为2π的三角函数y ＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )
A.f(x)＝sin(1＋x)
B.f(x)＝sin(－1－x)
C. f(x)＝sin(x －1)
D. f(x)＝sin(1－x)
2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝60°，△ABC 的面积为
3，那么b 的值是
A ．3
B ．3＋3
C ．2
D ．2＋3
3.将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的解析式是（ ） A ．()sin(2)6
g x x π
=-
B ．()sin(2)3
g x x π
=-
C ．1()sin()212g x x π
=-
D ．1()sin()26
g x x π
=-
4.函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，φ∈R)的部分图像如下图所示，那么f(0)＝( )
A ．－12
B ．－3
2
C ．－1
D ．－ 3
5.设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是
A ．[]4,2--
B ．[]2,0-
C ．[]0,2
D ．[]
2,4
6.若把函数sin 3cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则m 的最
小值是（ ） A.
3
π
B.23π
C.6π
D.56
π 7.已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2
π
ϕ=
”是“)(x f 是偶函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8.函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部分图象如右图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）
A ．2,3
π
- B ．2,6
π
-
C ．4,6
π-
D ．4,
3
π
9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2
，则tan φ＝( ) A ．－
33 B.3
3
C ．－ 3 D. 3 10.已知,0,
2παβ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且tan ,tan αβ是一元二次方程2
3340x x -+=的两个实根，则αβ+＝（ ） A ．
43π B ．3
π
C ．33π
D ．23π 11.已知θ∈（π，
32π），cos θ＝－45,则tan(4
π
－θ)＝（ ） A. 7
B.
17C. －1
7
D. －7 12.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A ．2
B ．
2
sin1
C ．2sin1
D ．sin 2 二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在ABC ∆中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC =23，则AC =
14.在ABC ∆中，BC=52，AC=2，ABC ∆的面积为4，则AB 的长为。

15.已知α为钝角，且5
3
)2
cos(-
=+απ
，则sin 2α＝. 16.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若
b a a b +＝6cos C ，则B
C
A C tan tan tan tan +
的值是． 三 、解答题（本大题共6小题，第1道题10分，其余每题12分，共70分）
17.已知函数2
()sin 223sin 31f x x x =-++。

（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[,]66
x ππ
∈-时，求()f x 的值域。

18.在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -=。

（1）求角B 的大小;
（2）求2
2cos cos()A A C +-的取值范围.
19.已知：()()sin ,cos 1,cos ,cos 1,()()a x x b x x f x a b x R =+=-=∈。

（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调区间； （2）若,62x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，求函数f （x ）的最值及相应的x 的值。

20.已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，,2cos 6
A b a
B π
=
=。

(I)求B ；
(II)若a=2．求ABC 的面积。

21.设向量]2
,0[),sin ,(cos ),sin ,sin 3(π∈==x x x b x x a .
(Ⅰ)若||||b a =，求x 的值；
(Ⅱ)设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值.
22.如右图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,0
90=∠POQ ,22OP =,点M 在线段PQ 上.
(1)若5=
OM ,求PM 的长;
(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.
衡水万卷周测卷五文数答案解析
一 、选择题 23.D
24.C ∵△ABC 的面积为3，即1
3sin602ac =︒
，∴4ac =。

又∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b a c =+，则
22248b a c =++①，由余弦定理：222222cos604b a c ac a c =+-⋅︒=+-②，将①代入②解之，得2b =．
25.C
26.C 27.A
28.A 29.A 30.C 31.D 32.D 33.B 34.B
二 、填空题
35.36.4或24 37.25
24- 38.4
三 、解答题
39.解:1)sin 21(32sin )(2
+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)3
2sin(21++
=π
x ．
( I ) 函数)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T ． ( II ) 因为]6
,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(π
x ]1,0[
所以]3,1[1)3
2sin(2)(∈++
=π
x x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]．
40.解:（1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，
即2sin cos sin()A B B C =+
∴1cos 2B =，∴3
B π
=
（2）由（1）得：23A C π+=
，故22
22cos cos()2cos cos(2)3
A A C A A π+-=+-
1(cos 21)(cos 2sin 2)22A A A =++-
+1
sin 2cos 2122
A A =++
sin(2)16A π
=++
又203A π<<，∴32662
A πππ<+<，()2
2cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]。

41.解：（Ⅰ）
2111()sin cos cos 1sin 2cos2222f x a b x x x x x ==+-=+-
π1242x ⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭ ∴函数()f x 的最小正周期πT =，单调递增区间：3πππ,π,()88k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；
单调递减区间：π5ππ,π,()88k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ． （Ⅱ）若
ππ,62x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,
4124x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．
∴πsin 214x ⎡⎤⎛
⎫+∈⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦，
π11()21,2422f x x ⎡⎤
⎛
⎫=
+-∈-⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦
，
即()f x
的最大值是，此时
π
8x =
； ()f x 的最小值是1-，此时
π2x =
．
42.解：（Ⅰ）由正弦定理得：sin 2sin cos B A B =
即：tan 1B =
4
B π∴=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：在ABC ∆中，7()12
C A B π
π=-+= 由a=2
得：22cos
4
b π
=⨯⨯=ABC ∆
的面积11sin 2122S ab C ==⨯⨯= 43.解：（Ⅰ）由(
)
()2
2
2
2
3sin sin 4sin a x
x x =
+=，()()2
22
cos sin 1b x x =+=
a b =，得24sin 1x =，又0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦。

从而1sin 2
x =，所以6
x π
=。

（Ⅱ）2111()3sin cos sin 2cos 2sin 22262f x a b x x x x x x π•⎛
⎫==+=-+=-+ ⎪⎝
⎭ 当0,2x a π
π⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦时，sin 2
6x π⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭取最大值１ 所以()f x 的最大值为3
2。

44.解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =
OP =,
由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =. (Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,
在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OP
OPM OMP
=
∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=
︒+, 同理()
sin 45sin 75OP ON α︒
=
︒+
1
sin 2
OMN
S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯
︒+︒+ ()()
1
sin 45sin 4530αα=
︒+︒++︒()()()1
31
sin 45sin 45cos 4522ααα=
⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥
()()()21
31
sin 45sin 45cos 4522
ααα=
︒++︒+︒+()()1
31
1cos 902sin 90244
αα=
-︒++︒+⎡⎤⎣⎦
1
331sin 2cos 2444
αα=
++()1
31
sin 23042α=
++︒因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,
所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值. 即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为843-.
高考数学试卷解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合
{124}
A =，，，
{246}
B =，，，则
A B =
▲．
【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117i
i 12i
a b -+=-（i 为虚数单位），则
a b +的值为▲．
【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得
()()()()117i 12i 117i 1115i 14
i ===53i 12i 12i 12i 14
a b -+-+++=
+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
是否继续循环 k 2k 5k 4-+
循环前
0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4
第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。

5．函数
x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．
【答案】
(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6
,
0，
{}
6/≤x x ，
{}
6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
【答案】
3
5。

【主要错误】
52，43，54，21，107。

【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=105。

7．如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
3cm
AB AD ==，
12cm
AA =，则四棱锥
11A BB D D -的体积为▲cm3．
【答案】6。

【主要错误】
26，3，72，30。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中=32BD cm ，BD 边上的高是
3
22
cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为13
3222=632
⨯⨯⨯。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
22
214
x y m m -=+的离心率为5，
则m 的值为▲．
【答案】2。

【主要错误】2，5，3，1。

【解析】由22
214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。

∴24
==
=5c m m e a m
++，即244=0m m -+，解得=2m 。

9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中
点，点F 在边CD 上，若
2AB AF =，则AE BF 的值是▲．
【答案】
2。

【主要错误】
22-，22，3，2,32
，2，1，
2等20余种。

【解析】由2AB AF =，得cos 2AB AF FAB ∠=，由矩形的性质，得
cos =AF FAB DF ∠。

∵AB
=2DF =，∴1
DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE
BF AE
BF AE BF
θαβαβαβ
+-
(
)
=cos cos sin sin =122
1AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．设
()
f x 是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[11]-，上，
0111()2
01
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，其中
a b ∈R
，．
若
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为▲． 【答案】10。

【主要错误】2，3，4，10，5等十余种。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，
即2
1=
2
b a +-+① 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
4
1=
23
b a +-+② 联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．设
α
为锐角，若
4cos 65απ⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭，则
)
12
2sin(π
+
a 的值为▲．
【答案】
，
50
578。

【主要错误】
2524，25
2
17，
50
231，
53，50
587
，等30余种。

【解析】∵α为锐角，即02
<<
π
α，∴
2=
66
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。

∴3424sin 22sin cos =2
=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

∴7cos 2325απ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ⎛⎫⎛
⎫+
+
-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2427217
=
=225225250
-。

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为
228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共
点，则K 的最大值是▲．
【答案】
4
3。

【主要错误】1，2，43，2
1
，
5等。

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2
241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离
2
421
k k -+，∴
2
4221
k k -≤+，解得
403
k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

13．已知函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为▲． 【答案】9。

【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=，即2
4
a b =
， ∴2
222
()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++
=+ ⎪⎝⎭。

∴2
()2a f x x c ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，， ∴()()2622
a a c c c ----==，解得9c =。

14
．
已
知
正
数
a b c
，，满足：
4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，
则
b
a 的取值范围是▲．
【答案】
[] 7e ，。

【主要错误】（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，[0,7]，[1/e ，e],(1，e) ，1，2。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a b
c c
b e c
⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设
==a b
x y c c
，，则题目转化为： 已知x y ，满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的
切线为()=0y ex m m +≥，则
00000
==y ex m m
e x x x ++
，要使它最小，须=0m 。

∴
y
x
的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨
⎨--⎩⎩， ∴y
x
的最大值在C 处，为7。

∴
y x 的取值范围为[] 7e ，
，即b
a
的取值范围是[] 7e ，。

【注】最小值e 的主要求法：
法一，c c a b c ln ln +≥⇒c
b
c c c b c a ln ln ln =-≤⇒c b c a ln ≤ ⇒c
b
c b
c a c b a b ln ≥=。

令x c b =，x x c
b c b ln ln
=，导数法e x x ≥ln 。

法二，c b c a ln ≤，令x c a =，则c b e x ≤，b ce x ≤， x
e e a c a b x
x =≥，令x e y x
=
，则0)
1(2
'
=-=x
x e y x ， 驻点x=1，x>1⇒
0'>y ; x<1⇒0'<y
故
e x
e y x ≥=。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．在
ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．
（1）求证：
tan 3tan B A
=；
（2
）若
cos 5C =，求A 的值．
【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即
cos =3cos AC A BC B 。

……2分
由正弦定理，得
=
sin sin AC BC
B A
，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

……2分 又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴
sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。

……2分
（2）∵cos 0C <C <π=
，∴sin C = ∴tan 2C =。

……2分
∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

……2分
∴
tan tan 21tan tan A B
A B
+=--。

由（1），得
24tan 213tan A A =--，解得1
tan =1 tan =3
A A -
，。

∵cos 0A>，∴tan =1A 。

∴=
4
A π。

……4分
【典型错误】（1）①由结论tan 3tan B A =分析，而又不按分析法书写。

②∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

∵AC=sinB ，BC=sinA ，∴sin cos =3sin cos B A A B ，∴tan 3tan B A =。

③误用余弦定理。

(2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,正余弦加法公式、余弦定理等)方法得不偿失。

解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为
11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

……3分
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =，，
∴AD ⊥平面11BCC B 。

……3分
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

……2分 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

……2分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，
平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

……2分
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ， ∴直线1//A F 平面ADE 。

……2分 【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱111ABC A B C -得到∆ABC 是直角三角形。

B.思维定势致错
由AD BC ⊥和1A F BC ⊥直接得出1//A F AD ，忽视了该命题在立体几何中并不一定成立。

C ．想当然使用条件
在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接根据图形的特点将D 点当作是BD 的中点，从而得到AD BC ⊥，再由条件得出AD ⊥平面11BCC B 。

（一般仅能得7分）
17．如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的
射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐
标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：（1）在
22
1(1)(0)20
y kx k x k =-+>中，
令0y =，得221
(1)=020
kx k x -
+。

……2分
由实际意义和题设条件知00x>k >，，
2120k
k x +=， ……2分
∴2
202020===10112k x k k k
≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

……2分
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使
22
1(1)=3.2
20ka k a -+
成立，……2分
即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。

……2分 由()()
2
22=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。

……2分
此时，
0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

……2分 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。

【典型错误】（1）①说对称轴是2
120k
k
x +=，得0分。

②由2
120k k
x +=
直接得10≤x ，扣2分。

（2）2.3)1(20
1
22≥+-x k kx ，06420)1(22≤+-+kx x k ，
所以
)
1(22561442022
k k k x +-+≤，…
（耗费大量时间，仅能得2分）
18．若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。

∵1和1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，
解得==3a b -0，。

……2分 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，
∴()()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，
解得123==1=2x x x -，。

……2分
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

……2分
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

……2分 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-
当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和2 ， ∵()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为1和2。

……2分
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <-----， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，
时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，
无实根。

②当()1 2
x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当()1
1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d <时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。

……3分
现考虑函数()y h x =的零点：
( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。

( ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。

……3分
【典型错误】（2）∵
3()3f x x x =-，
∴()
()2
3
()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。

所以，极值点为1，2。

（丢分情况严重）
19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i ）若12
6
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【答案】解：（1）由题设知，222==
c
a b c e a
+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222
111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b
+=⇒+⇒+⇒⇒，∴22
=1c a -。

由点32e ⎛ ⎝⎭
，在椭圆上，得 2
2
2224222244
331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒
……2分
∴椭圆的方程为2
212
x y +=。

……2分
（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴
设
1
AF 、
2
BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，
()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴()
2
22122
11112
11
221221=0=22=1
x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩。

……2分 ∴()()
()
)22222
2
22
1111122112210==12
m m m m m AF x y my y m m +++++++-++=+。

①
同理，
)2221=
2
m BF m +-+。

②
四
由①②得，12AF BF -=
……2分
得2m =2。

∵0m >
，∴m ，∴直线1AF
的斜率为
1m 。

……2分 五 证明：∵1AF ∥2BF ，∴2
1
1
BF PB
PF AF =
， 即
21211111
11BF PB PF BF AF PB
PF AF PF AF +++=+⇒=。

∴1
1112
=
AF PF BF AF BF +。

由点B
在椭圆上知，12BF BF +=
()
1
1212
=
AF PF BF AF BF +。

同理。

()
2
2112
=
BF PF AF AF BF +。

∴(
)(
)
122
1221121
212
2+=
AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++
由①②得，)2
121=2
m
AF BF m +++，2
21
=2
m
AF BF m ++，……4分
∴12+2PF PF 12PF PF +是定值。

……2分 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【典型状况】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭
都在椭圆上列式求解。

计算错误严重。

（2）（ⅰ）根据已知条件12AF BF -= 含参式子的运算能力低。

十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对简单些，但最简单的莫过于向量法：
设2
1BF λ=，则⎩⎨⎧=-=+2
121)1(1y y x x λλ，由122
121=+y x ，得 12
)1(2
222=++-y x λλλ。

又122
222=+y x ，故λλ2132-=x ，2
31-=λx ，而321=+x x ， 得23+=
λ，于是2131-=
x ，4
)
13(22+=x 。

所以，2
21111=
+=
x y k AF 。

（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。

20．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11
，∴1n a +。

∴11n n b
a ++=
∴()2
2
2
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴
1
1n
<a+=≤
设等比数列{}
n
a的公比为q，由0
n
a>知0
q>，下面用反证法证明=1
q 若1,
q>
则2
12
=
a
a<a
q
≤
，∴当
1
log q
n>
时，11n
n
a a q
+
=，与（﹡）矛盾。

若01,
<q<则2
12
=1
a
a>a>
q
，∴当
1
1
log q
n>
a
时，111
n
n
a a q<
+
=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1
q。

∴()
1
*
n
a a n N
=∈
，∴1
1<a≤
又∵1
1
n
n n
n
b
b b
a
+
=()*
n N
∈，∴{}
n
b
1
的等比数列。

若1a≠
1
1，于是123
b<b<b。

又由
2
2
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
+
=
+
即
1
a=
，得
1
1
n
b
a-。

∴
123
b b b
，，中至少有两项相同，与123
b<b<b
矛盾。

∴1a。

∴
1
n
b
-
12
=
a b
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【典型状况】（1）①写出
22
1
1
1
n n
n n
b b
a a
+
+
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
而不知道给出结论。

②写出了
2
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a
b
a
a
+
=
+
+
，不能进行下一步的变换。

③根据前三项成等差，说明结论，不给分。

④罗列几个条件下结论，不给分。

（2）根据基本不等式得到
1
1n
<a+≤{}
n
a
的公比=1
q。

凭感觉下结论。

第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这个问题的过程中，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列的方法，只是将两个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错
误；③做成了
22
n
n b a ，导致错误.
第（2）小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；由n n
n a b b 2
1=+利用累
乘得出
n b ，2分；得出{}n a 的范围，3分.
数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．
证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。

∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。

∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到
B C ∠=∠。

从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

B ．[选修4 2：矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵1
13441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A ，求矩阵A 的特征值．
解：∵1-A A =E ，∴()
1
1
--A =A 。

∵1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A 。

∴矩阵A 的特征多项式为()2
2 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦。

令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

C ．[选修4 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C 经过点(
)
24
P
π
，
，圆心为直线3
sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭与极轴的交点，
∴在3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点(
)24
P
π
，
，∴圆C 的半径为()
2
22
1212cos
=14
PC π
=+-⨯⨯。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 3ρθπ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆
C 经过点(
)
24
P
π
，
求出圆C 的半径。

从而得到圆C 的极坐标方程。

D ．[选修4 5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足：11
|||2|36
x y x y +<-<，，
求证：5
||18
y <．
【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|36x y x y +<
-<，，
∴1153||=366y <+。

∴5
||18
y <。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．设集合{12}n P n =，，，…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n p ∈，则A C x n
p ∉2。

（1）求(4)f ；
（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 解：（1）当=4n 时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，，
∴(4)f =4。

(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，···经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。

于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数；若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数。

于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。

当n 为偶数〔或奇数）时，n P 中奇数的个数是
2n （12
n +）。

∴()()2
122()=2n
n n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩
为偶数为奇数。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

22．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．
（1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有2
3
8C 对相交棱。

∴232128834
(0)=6611
C P C ξ⨯==
=。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1
的共有6对，
∴2
12661(6611P C ξ===
，416
(1)=1(0)(=111111
P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：
ξ
0 1
()P ξ
4
11 611 111
∴其数学期望61()=11111E ξ⨯
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。

（2
的共有6
对，即可求出(P ξ=，从而求出(1)
P ξ=
（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量 的分布列，求出其数学期望。

高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）
6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣
8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）
A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0
9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，]上单调递减
C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增
10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

考生根据要求作答．
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=．
14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B 两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
21．（12分）已知函数
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；
（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＜π．
四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修41：几何证明选讲. 22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．
选修44：坐标系与参数方程
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}
【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．
【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，
∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z 可求．
【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
∴z=2+3i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：C．
【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）
【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q 的真假是解决本题的关键．
6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24
【分析】使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．
【解答】解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：D．
【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，
其底面面积S=2×2﹣2××π×12=4﹣，
柱体的高h=2，
故该几何体的体积V=Sh=8﹣π，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键．
8．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）
A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0
【分析】由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，
又数列{2}为递减数列，。