四川省成都经济技术开发区实验高级中学校届高三数学一诊模拟(期末模拟)试题理【含答案】

成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={y|y=x 2}，B={x|y=lg （1﹣x ）}，则A ∩B=A ．[0，1]B ．[0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1] 2.将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π个单位后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为 A.3π-B.6π C.3π D.56π 3. 已知b a ,是平面α内的两条不同直线，直线l 在平面α外，则b l a l ⊥⊥,是α⊥l 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则方程182)(+-=x x x f 在),0(+∞解的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D.6 5.设函数,A ．3B ．6C ．9D ．126. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π）8.命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤”的否定形式是A.**,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B.**,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C.**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n >D.**00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n >9.从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在150,160)，160,170)，170,180)，180,190]的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法中正确的是10.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 21011.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是 (A) 2(B) 3(C) 5(D) 8图112．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数；以上命题中假命题的序号为 A ．①④ B ．②C ．③D ．③④二、填空题（每小题4分，共20分） 13. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________14.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是__________.(填序号)①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222)S a b c =+- 则角C 的大小为16 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本题满分12分）已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ， xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小.119.（本小题满分12分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（Ⅰ）求T 的分布列与数学期望ET ；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足112n n a a +=-+，其中10a =.(1)求证11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n T a a +=++…21n a -+.若n T p n ≤-对任意的n N *∈恒成立，求p 的最小值．21.（本题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x ax x bx =-+-, 其中, a 和b 是实数, 曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点.(1) 求常数b 的值；(2)当1=a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（3）当01x ≤≤时关于x 的不等式()0f x ≥恒成立, 求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线 C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）直线l 过M 且与曲线C 相切，求直线l 的极坐标方程；（2）点N 与点M 关于y 轴对称，求曲线C 上的点到点N 的距离的取值范围23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.成都经开区实验高级中学2014级高三上期期末模拟考试试卷数学（理工类）参考答案1—5 BDBBC 6—10 DCDCC 11—12 CC13. 23 14、①②③ 15.060 16、20116a < 17.解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ）⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa ……（*）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x解得01=x ，32-=x ……4分经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ，所以函数)(x F 的零点为0 5分（2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =m )4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a ，4141--+-=x x a m 8分 设]1,0(1∈=-t x ，则函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数， 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a 。

10分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有1解；②若10<<a ，则0≤m ，方程有1解 12分 18.解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC A C ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E =1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AF D Ð为二面角1A AB C --的平面角．由1AD =得D 为AC的中点，111tan 2A DAC BC DF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-．由题设知1A D与z轴平行，z轴在平面11AA C C内．（I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B£则()()()()()1111 2,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,. AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA=2，即2240a a c-+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B?-+=\^．（II）设平面11BCC B的法向量(),,,m x y z=则1,,m CB m BB^^即10,0m CB m BB??．()0,1,0,CB=()112,0,,BB AA a c==-故0y=，且()20a x cz-+=．令x c=，则()2,,0,2z a m c a=-=-，点A 到平面11BCC B的距离为cos,CA mCA m CA cm×?=．又依题设，点A到平面11BCC Bc\=3a=（舍去）或1a=．于是(11,0,AA=-．设平面1ABA的法向量(),,n pq r=，则1,n AA n AB^^，即10,0,0n AA n AB p??\-+=，故且20p q-+=．令p=则1,q r==()3,23,1n=．又()0,0,1p=为平面ABC的法向量，故1cos,4n pn pn p⋅==⋅，∴二面角1A AB C--的大小为1arccos4．19.【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P （T 1+T 2＞70）=P （T 1=35，T 2=40）+P （T 1=40，T 2=35）+P （T 1=40，T 2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P （A ）=1﹣P（）=0.9120. (1)证明：∵a n ＋1＝－ 21+n a ，∴a n ＋1＋1＝－21+n a ＋1＝a n ＋2－1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2， 2分由于a n ＋1≠0，∴1a n ＋1＋1＝a n ＋2a n ＋1＝1＋1a n ＋1， 3分∴{1a n ＋1}是以1为首项，1为公差的等差数列．4分1a n ＋1＝1＋(n －1)＝n ， ∴a n ＝n1－1． 6分 (2)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≤p －n ， ∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≤p ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≤p ，对任意n ∈N *恒成立， 7分 而1＋a n ＝n1， 设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)， 8 分 ∴H (n )＝n 1＋1n ＋1＋…＋121-n ，H (n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋121-n ＋12n ＋12n ＋1， 9分∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋12n ＋1－n1＝12n ＋1－12n <0，∴数列{H (n )}单调递减， 10分 ∴n ∈N *时，H (n )≤H (1)＝1，故p 1≥.∴p 的最小值为1. 12分 21.解： (1) 对()f x 求导得: 1'()ln(1)1axf x a x b x-=-++-+, 根据条件知'(0)0f =, 所以10,1b b -==.(2) ()(1)ln(1)f x x x x =-+- 12'()ln(1)1ln(1)11x xf x x x x x -=-++-=-+-++ 设2()ln(1)1xx x x φ=-+-+ 则23'()(1)x x x φ+=-+,1x >-, ()0x φ'∴<.()x φ∴单减, (0)0φ= (1,0),()f x ∴-单增, (0,)+∞()f x 单减. (3) 由(1)得()(1)ln(1)f x ax x x =-+-, 1'()ln(1)11axf x a x x-=-++-+, 22(1)(1)21('())'1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++=-+=-+++. ①当12a ≤-时, 由于01x ≤≤, 所以221()('())'0(1)a a x a f x x ++=-≥+, 于是'()f x 在[0,1]上单调递增, 从而'()'(0)0f x f ≥=, 因此()f x 在[0,1]上单调递增, 即()(0)0f x f ≥=, 而且仅有(0)0f =; ②当0a ≥时, 由01x ≤≤, 有221('())'0(1)ax a f x x ++=-<+, 于是'()f x 在[0,1]上单调递减, 即()(0)0f x f ≤=, 而且仅有(0)0f =; ③当02a 1-<<时, 令21min{1,}a m a+=-, 当0x m ≤≤时, 221()('())'0(1)a a x a f x x ++=≤+, 于是'()f x 在[0,]m 上单调递减, 从而'()'(0)0f x f ≤=, 因此()f x 在[0,]m 上单调递减, 即()(0)0f x f ≤=， 而且仅有(0)0f =，综上可知, 所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-.22.试题解析：（1）由题意得点M 的直角坐标为()2,2，曲线C 的一般方程为()2214x y -+=．．．．．．．．．．2分设直线l 的方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∵直线l 过M 且与曲线 C 2=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分即2340k k +=，解得403k =或k=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=或4cos 3sin 140ρθρθ+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）∵点N 与点M 关于y 轴对称，∴点N 的直角坐标为()2,2-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则点N 到圆心C 的距离为=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分曲线C 上的点到点N 2，2+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分曲线 C 上的点到点N 的距离的取值范围为2⎤+⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).。