广东仲元中学2011学年第一学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案(打印版)

广东仲元中学2011学年第一学期期中考试
高二数学(理科)试卷参考答案
一．选择题
1-8 BBAC CCCB
二．填空题
9. 17 ， 6.3 10.
4
π 11．2
,2390x R x ax ∀∈-+≥ 12．
22
1106
x y += 13.
1
5
14． (1,2] 15．解:设422
++=ax x x g )(，
由于关于x 的方程0422
=++ax x 无解 故2201642
<<-∴<-=∆a a ,
又因为x a x f )()(23-=是增函数，所以2
3023<∴>-a a , 又由于q p ∨为真，q p ∧为假，可知p 和q 一真一假
(1)若p 真q 假，则223
2322<≤∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<-a a a ,
(2)若p 假q 真，则22322-≤∴⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥-≤a a a a ,或 综上可知，实数a 的取值范围为2223
-≤<≤a a 或,
16．解:(Ⅰ)因为54cos =B ，所以53
sin =B .
由正弦定理B b A a sin sin =，可得
10sin 303
a =. 所以35
=a . (Ⅱ)因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，5
3
sin =B ，
所以
3
310
ac =，10=ac . 由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=， 得165
8
4222
2
-+=-
+=c a ac c a ，即2022=+c a . 所以2()220a c ac +-=，2
()40a c +=，所以，102=+c a .
17．证明: (1)连结AC 1交A 1C 于E ，连结DE ， ∵AA 1C 1C 为矩形，则E 为AC 1的中点．
又D 是AB 的中点，∴在△ABC 1中，DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D. (7分)
(2)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点， ∴在△ABC 中，AB ⊥CD. (8分) 又AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥CD.又AA 1∩AB ＝A ，
∴CD ⊥平面AA 1B 1B. (12分) 又CD ⊆平面CA 1D ，
∴平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B. (14分)
18．解: (1)
(2)由散点图可知y 与x 线性相关，设回归直线方程为y bx a =+．列表:
2
777456209.6
37.1522056b -⨯⨯=
=-⨯∴，
209.637.15613.3a =-⨯=-∴．
∴回归直线方程为37.1513.3y x =-．
(3)当9x =时，37.15913.3321.05y =⨯-=． 所以尿汞含量为9毫克/升时的消光系数为321.05 19．(Ⅰ)证明:由34-=n n a S ，1n =时，3411-=a a ，解得11=a .
因为34-=n n a S ，则3411-=--n n a S (2)n ≥， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14
3
n n a a -=
.又110a =≠， 所以{}n a 是首项为1，公比为
4
3
的等比数列. ……………………6分 (Ⅱ)解:因为1
4()
3
n n a -=，
由*1()n n n b a b n +=+∈N ，得1
14()3
n n n b b -+-=.
可得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
＝1)34(33
41)34(1211
-=--+
--n n ，(2≥n )， 当1n =时也满足，
所以数列{}n b 的通项公式为1)
3
4(31
-=-n n b . …………………………14分
20．解:(1)由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=，)2,(001y x PF ---= ……2分
∴1)2(20
20
21=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2
4202
0y x -=
， 从而1)2(2
42
02
0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. ………5分
(2)由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，………6分
则BP 的直线方程为:)1(2--x k y .由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
-=-14
2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++
04)2(2
=--+k ，设),(B B y x B ，则2
222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=
-+-=+-=+， 同理可得222)222k k k x A +-+=，则2224k
k
x x B A +=-，228)1()1(k
k x k x k y y B A B A +=----=-.………9分 所以:AB 的斜率2=--=B
A B
A A
B x x y y k 为定值. ……10分
(3)设AB 的直线方程:m x y +=2.
由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=14
2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ，
由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m
P 到AB 的距离为3
|
|m d =
，………12分 则3
||3)214(21||212m m d AB S PAB
⋅⋅-=⋅=∆ 2)28(81)8(812222
2=+-≤+-=m m m m 。

当且仅当()
22,222-∈±=m 取等号
∴三角形PAB 面积的最大值为2。

………14分。