北京市一零一中2024-2025学年高二上学期统练一数学试题

北京市一零一中2024-2025学年高二上学期统练一数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系O xyz -中，点()()1,2,1,1,2,1A B --，则（ ） A ．直线AB ∥坐标平面xOy B ．直线AB ⊥坐标平面xOy C ．直线AB ∥坐标平面xOz
D ．直线AB ⊥坐标平面xOz
2．在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱11B C 的中点．
设,,AB a AC b ==u u u r u u u r r r 1AA c =u u u r r ，用基底{}
,,a b c r r r
表示向量AD u u u r
，则AD =u u u r （ ）
A ．1122a b c ++r r r
B ．a b c ++r r r
C ．1122
a b c -+r r r
D ．12
a b c -++r r r
3．已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，//a l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 夹角的余弦值为（ ）
A B C ．35
D ．25
5．在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）
A B C ．13
D 6．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是（ ）
A ．(0,)+∞
B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．)+∞
D ．2⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
7．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45︒之后，表面积增加了（ ）
A ．54
B ．54-
C ．108-
D ．81-9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）
①1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤
⎥⎝⎦
；
③直线1//A M 平面1ACD ；
④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化. A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
10．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的部分图象，A ，B
分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A OD B --，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）
A ．A
B =
B ．点D 到平面ABM
C ．点
D 到直线AB
D ．平面OBD 与平面ABM
二、填空题
11．已知a v ，b v 是空间两向量，若3,2,a b a b ==-=r r r r a v 与b v
的夹角为．
12．三个空间向量a r ，b r ，c r 不共面，且存在实数,,x y z ，使x y z ++=0r r r r a b c .则222x y z ++=.
13．如图，圆锥PO 的体积为1V ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为2V ，则12:V V =．
14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是．
15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ，AD CD ==2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(0)PA kAB k =>，且二面角E BD C --的平面角大于30︒，
则k 的取值范围是.
16．已知单位向量i j k r r r ，，两两的夹角均为θ（0θπ<<，且2
πθ≠），若空间向量a r
满足
a xi y j zk =++r r r r ，(,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a r
在“仿射”坐标系O xyz -（O
为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=v
，有下列命题： ①已知()13,2a θ=-v ，(4,0,2)b θ=r ，则a b r n r ＝０；
②已知3
(,,0)a x y π=r ，3
(0,0,)b z π=r
，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量,a b r r 的夹角取
得最小值；
③已知()111,,a x y z θ=r ，()222,,b x y z θ=r ，则()123232,,a b x x y y z z θ+=+++r r
；
④已知()3
1,0,0OA π=u u u v
，3
(0,1,0)OB π=u u u v ，3
(0,0,1)OC π=u u u v ，则三棱锥O ABC -的表面积S =其中真命题为（写出所有真命题的序号）．
三、解答题
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，BD PC ⊥，四边形ABCD 是正方形，PB =，E 是棱PD 上的动点，且PE PD λ=uur uu u r
.
(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；
(2)是否存在实数λ，使得平面P AB 与平面AEC 所成夹角的余弦值是2
3
？若存在.求出λ的值；
若不存在，请说明理由.
18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点.点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.
条件①：MA MC = 条件②：EM AD ⊥； 条件③：//EM 平面11CDD C .
BD的中点；
(1)求证：M为
1
(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离.。