高三数学选填题专项训练(22)详细答案

高三数学选填题专项训练（22）答案 一、单选题
1．若集合A ＝{x|－1≤2x ＋1≤3}， B ＝⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-22x x x
，则A∩B ＝( )
A ．{x|－1≤x<0}
B ．{x|0<x≤1}
C ．{x|0≤x≤2}
D ．{x|0≤x≤1} 【答案】B
2．设复数2
1a i z i +⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ）
A. -
12 B. -12i C. -32 D. -32
i 【答案】C
【解析】试题分析：由题意得()
22
22211211222a a i a i a ai a z a i i i +-+-+-⎛⎫
==
==+ ⎪+⎝⎭
，则2a =，所以21322a -=-，所以复数的虚部为3
2
-，故选C ．
3．如果对于任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，那么“[][]
=x y ”是“1x y -<成立”的( )．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】若“[][]x y =”，设[][]
x a y a x a b y a c ===+=+，，， 其中[01
b c ∈，，） 1x y b c x y ∴-=-∴-＜ 即“[][]x y =”成立能推出“[]1x y -<”成立
反之，例如 1.2 2.1x y ==， 满足[]1x y -<但[][]12x y ==，，即[]
1x y -<成立，推不出[][]
x y =
故“[][]
x y =”是“|x -y|＜1”成立的充分不必要条件 故选A
4．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(]
,0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，
12log 3b f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， ()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A. c b a <<
B. b a c <<
C. b c a <<
D. a b c << 【答案】B
【解析】因为()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(]
,0-∞上是增函数，所以()f x
在[
)0,+∞上是减函数，且()(4log 7log a f
f ==， ()122lo
g 3log 3b f f ⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭
， ()
()
0.60.60.20.2c f f ==， 因为0.6000.20.21<<=， 21log log 3log <<=，
所以0.6
20.2log log 3<< ，根据函数的增减性知， b a c <<，故选B.
5．已知函数f(x)=sin(2x +π
12),f ′(x)是f(x)的导函数，则函数y =2f(x)+f ′(x)的一个
单调递减区间是（ ）
A. [π12,7π12]
B. [−5π12,π
12] C. [−π3,
2π
3
] D. [−π6,
5π
6
] 【答案】A
【解析】由题意，得f ′(x)=2cos(2x +π
12)，所以y =2f(x)+f ′(x)=2sin(2x +π
12)＋2cos(2x +
π12
)＝2√2sin(2x +
π12
+π4
)=2√2sin(2x +π3
)．由2kπ+π2
≤2x +π3
≤2kπ+
3π2
（k ∈Z ），得kπ+π12
≤x ≤kπ+7π12
（k ∈Z ），所以y =2f(x)+f ′(x)的一个单调递减区间
为(π12,7π
12
)，故选A ．
6．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ， 5AB =， 8BC =， 60B ∠=︒，
SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.
643π B. 2563π C. 4363π D. 【答案】B
【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ， 5AB =， 8BC =， 60B ∠=︒，则根据余弦定
理可得
7BC == ， ABC V 的外接圆圆心
2sin BC r r B =
==
三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距
离1
2
d SA =
= 则外接球的半径
R ==
，则该三棱锥的外接球的表面积为225643
S R ππ== 7．设三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3
cos cos 5
a B
b A
c -=
，则()tan A B -
的最大值为
A.
2 B. 34 C. 3
2
D.
【答案】B
【解析】3
cos cos 5
a B
b A
c -=
Q ∴由正弦定理，得3
5
sinAcosB sinBcosA sinC -=
， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+Q （）（）
，， ∴3
5
sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），
整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ，
由此可得2
33
11144tanA tanB tanB tan A B tanAtanB tan B tanB tanB
--===+++（）， A B Q 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，
A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，
144tanB tanB +≥=Q
3
3
144tan A B tanB tanB
-=
≤+（），
当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时， tan A B -（） 的最大值为3
4
． 故选B ．
8.设
214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（ ）
A.
B. 1
C. D. 2
【答案】C
【解析】由题可得：设2
1()ln ,()4
f x x
g x x ==
，所以D 为()g x 上任意一点到()f x 上
任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为
,令
22()(ln 1)h x x x =+-， ln 1'()2x h x x x -⎡
⎤=+⎢⎥⎣⎦
，显然在[0,1]递减， [1,)+∞递增所以
min ()(1)2h x h ==
9．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 【答案】D
【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有4
4A 中排法，共有
4
41496A ⨯⨯=种；
当1在个位时，同样共有96种；
当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有2
24A ⨯种排法，再排7有3种排法，
余下四数共有44A 中排法，共有24
244A 3576A ⨯⨯⨯=种
综上：共有192576+=768
10．某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为（ ） A.
2
17
B. 316
C. 326
D. 328
【答案】C
【解析】根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，有134
254480C C A = 种情况，若甲乙两人都参加，则丙不能参加，有224
244144C C A = 种情况，其中甲乙相邻的有2232243272C C A A = 种情况，则甲、乙两人都发言顺序不相邻的概率为144723
48014426
P -=
=
+ ，故选C.
11．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线2
(014)y px p =-<<和圆
()
2
249x y -+=分别交于,A B 和,C D ，且抛物线的准线与圆相切，则当AB CD ⋅取得
最大值时，直线AB 的方程为（ ）
A. 2x =-
B. x =
C. x =
D. 1x =- 【答案】B
【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得
12
p
= 或7，又014p <<，故2p =，
设直线AB 的方程为()03x t t =-<<，则直线CD 的方程为4x t =-则
()
03AB CD t ⋅==<< 设()()()29,03f t t t t =-<<
则()()2
93,03f t t t '=-<< 令()00f t x >⇒<<'，令()03f t x <⇒<<'
故()max f t f = ，此时直线AB 的方程为x =故选B
12．设函数()()2
ln 2f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 6ln34ln2,12
6++⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ B. 6ln34ln2,126++⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 4ln21,6+⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D. 4ln21,6+⎛⎤ ⎥⎝
⎦ 【答案】A
【解析】
函数()f x 的定义域为()0∞+，，不等式()0f x >，即()2
ln ?2x ax a x >+-， 两边除以x ，则
()ln 12x
a x x
>+-,注意到直线l ： ()y 12a x =+-恒过定点()1
2--，，
函数()ln g x
x x
=
图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线()y 12a x =+-的上方，由图象可知，这两个点分别为()ln2B 1,0C 22⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，
，所以直线l 的斜率a 的取值范围为()()()()ln3ln2
2232a 3121----≤<----，即ln36ln26a 126
++≤<. 故选：A
二、填空题
13. (3－2x)3(2x+1)4展开式中所有x 偶次项的系数之和为 ； 【答案】103
14．在菱形ABCD 中， 1AB =， 60DAB ︒
∠=， E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u v u u u v
的值是
_______； 【答案】1
【解析】如图所示：
在菱形ABCD 中， 160AB DAB =∠=︒，， 12AE AD AB =+u u u r u u u r u u u r
∴2
1111cos601122AB AE AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⨯⨯︒+⨯= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故答案为1
15．随机地向区域2040y x y x ≤≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该
点连线的倾斜角不大于4
π
的概率是________________． 【答案】
132
【解析】所求概率为几何概型，测度为面积，区域2040y x y x ≤≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
面积为
2
32
216(4)4|033x x dx x -=-=⎰ ，坐标原点与该点连线的倾斜角不大于4π
的面积为1
2
3
20
11()|0236x x x x dx -=-=⎰ ，所以概率为1
1616323
= 16．当函数3tan 2)(tan tan 1)
tan(2)(22
++--++=
x x x
x x f ππ取得最大值时， sin sin 2x x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
__________．
【答案】
12
【解析】()()()()2
222tan 2tan 2tan 3tan 1411tan tan tan x f x x x x x
x x
ππ+=
--++=
--+++
易知][()1tan ,22,tan x x +
∈-∞-⋃+∞，所以[)(]21,00,11tan tan x x
∈-⋃+.
当tan 1x =时， 2
1
tan tan x x
+
取得最大值1；
又当tan 1x =时， ()2
tan 14x --+取得最大值4. 综上当tan 1x =时， ()f x 有最大值5. 此时： 222sin cosx 1sin sin sin cosx 212x tanx x x x sin x cos x tan x π⎛⎫
-==== ⎪++⎝⎭
. 答案为： 12
.。