2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 检测B

第三章检测(B )
(时间:90分钟　满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1复数z 是实数的充分不必要条件为( )
A.|z|=z
B.z=z
C.z 2是实数
D.z+是实数z 解析若|z|=z ,则z 一定是实数,而z 是实数,|z|不一定等于z.故选A.
答案A
2设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a 的值是(
)
A.-1
B.1
C.
D.-23
解析z=(a+i)2=(a 2-1)+2a i,根据条件有解得a=-1.
{a 2-1=0,
2a <0,答案A
3复数z=的模为( )1
i -1A. B. C. D.2
12222解析∵z==-i,
1i -1=-
i -1(-i -1)(i -1)1
2‒1
2∴|z|=,故选B.
(-12)2+(-12)2=2
答案B
4复数的虚部为( )
2i 3
1-i A.i B.-i C.1 D.-1
解析∵=1-i,
2i 31-i =-2i (1+i )
2∴复数的虚部为-1.
2i 3
1-i 答案D
5复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( )
z A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i
解析由题意得z-3==2+i,所以z=5+i .
5
2-i 故=5-i,应选D.z 答案D
6当z=-
时,z 100+z 50+1的值是( )1-i
2A.1 B.-1 C.i D.-i
解析原式=+1(-1-i 2)100+(-1-i 2)50=+1[(1-i 2
)2]50+[(1-i 2)2]25=(-i)50+(-i)25+1=-i .答案D
7若复数z 满足=i,其中i 为虚数单位,则z=( )
z 1-i A.1-i
B.1+i
C.-1-i
D.-1+i 答案A
8复数z=-1,在复平面内z 所对应的点在( )
-1+i 1+i A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限解析z=-1=-1=-1+i .
(-1+i )i (1+i )i (-1+i )i -1+i 答案B
9若z=cos θ+isin θ(i 为虚数单位),则使z 2=-1的θ值可能是( )
A. B. C. D.π
6π4π3π2
解析∵z 2=(cos θ+isin θ)2=(cos 2θ-sin 2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1,
∴∴2θ=2k π+π(k ∈Z ).
{sin2θ=0,
cos2θ=-1,∴θ=k π+(k ∈Z ),令k=0知选D.
π
2答案D
10设复数z=lg(m 2-1)+i(m ∈R ),则z 在复平面内的对应点( )
1-m A.一定不在第一、二象限
B.一定不在第二、三象限
C.一定不在第三、四象限
D.一定不在第二、三、四象限
解析因为所以m<-1,此时lg(m 2-1)可正、可负,,故选C.{m 2-1>0,
1-m ≥0,1-m >2答案C 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= .
(1-i )2z 答案-1-i
12若复数(a ∈R ,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 .
a +3i 1+2i 解析.
a +3i 1+2i =(a +3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(a +6)+(3-2a )i 5∵复数是纯虚数,∴解得a=-6.
a +3i
1+2i {a +65=0,3-2a 5≠0,答案-6
13设复数a+b i(a ,b ∈R )的模为,则(a+b i)(a-b i)= .
3答案3
14若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数x ,y 的值分别为 .
解析原式可以化为(3y-2x )+(x-10y )i =1-9i,根据复数相等的充要条件,有解得{3y -2x =1,x -10y =-9,{x =1,
y =1.答案1,1
15复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,若∠BAC 是钝角,则实数c 的取值范围为 .
解析在复平面内与z 1,z 2,z 3对应的三点坐标分别为A (3,4),B (0,0),C (c ,2c-6),由∠BAC 是钝角得<0,且B ,A ,C 不共线,即(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得
c>.其中当c=9时,=(6,8)=-2,三点共线,故AB ·AC 4911AC AB c ≠9.
答案{c |c >4911,且c ≠9}
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)设复数z=,若z 2+az+b=1+i,求实数a ,b 的值.
(1+i )2+3(1-i )
2+i
解z=
(1+i )2
+3(1-i )2+i =2i +3(1-i )2+i ==1-i .3-i 2+i =(3-i )(2-i )(2+i )(2-i )将z=1-i 代入z 2+az+b=1+i,
得(1-i)2+a (1-i)+b=1+i,
即(a+b )-(a+2)i =1+i,
∴{a +b =1,-(a +2)=1,
∴{
a =-3,
b =4.17(8分)已知(2+i)=7+i,求z 及.z z z 解设z=a+b i(a ,b ∈R ),则=a-b i .z ∴(2+i)(a-b i)=7+i .
∴(2a+b )+(a-2b )i =7+i .
∴
∴z=3+i .{2a +b =7,a -2b =1,∴{
a =3,
b =1,∴=3-i .故i .z z z =3+i 3-i =(3+i )210=45+3518(9分)已知复数z 满足|z|=,z 2的虚部为2.
2(1)求复数z ;
(2)设z ,z 2,z-z 2在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,求△ABC 的面积.
解(1)设z=a+b i(a ,b ∈R ),由已知条件得,a 2+b 2=2,
①又z 2=a 2-b 2+2ab i,∴2ab=2.
②
由①②解得a=b=1或a=b=-1,
即z=1+i 或z=-1-i .
(2)当z=1+i 时,z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1-i,∴点A (1,1),B (0,2),C (1,-1),
∴S △ABC =·|AC|·1=×2×1=1.
121
2当z=-1-i 时,z 2=(-1-i)2=2i,z-z 2=-1-3i .
∴点A (-1,-1),B (0,2),C (-1,-3),
∴S △ABC =·|AC|·1=×2×1=1.
1212故△ABC 的面积为1.
19(10分)已知
w=z+i(z ∈C ),且为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M 取最大值时w 的
z -2z +2值.
解设z=x+y i(x ,y ∈R ),
则.
z -2z +2=(x -2)+yi (x +2)+yi =(x 2+y 2-4)+4yi
(x +2)2+y 2∵为纯虚数,∴x 2+y 2-4=0,且y ≠0.
z -2
z +2∴M=|w+1|2+|w-1|2=(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y+1)2=12+4y.
∵x 2+y 2-4=0,且y ≠0,
∴x 2=4-y 2≥0,且y ≠0.
∴-2≤y<0或0<y ≤2.
当y=2时,M 取得最大值,且为20,此时w=3i .
20(10分)复数z 和w 满足zw+2i z-2i w+1=0,其中i 为虚数单位.
(1)若z 和w 满足-z=2i,求z 和w 的值;w (2)求证:如果|z|=,那么|w-4i |的值是一个常数,并求这个常数.
3(1)解设z=a+b i,w=c+d i(a ,b ,c ,d ∈R ),
由zw+2i z-2i w+1=0得
(a+b i)(c+d i)+2i(a+b i)-2i(c+d i)+1=0,
即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c )i =0.
∴ac-bd-2b+2d+1=0,
①ad+bc+2a-2c=0.
②又-z=2i,∴c-d i -(a+b i)=2i,
w 即(c-a )-(b+d )i =2i .
∴c-a=0,
③b+d=-2.
④解①②③④组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.
∴z=-i,w=-i 或z=3i,w=-5i .
(2)证明∵zw+2i z-2i w+1=0,
∴z (w+2i)=2i w-1.
∴|z (w+2i)|=|2i w-1|,
即|z|·|w+2i |=|2i w-1|.
又|z|=,∴|w+2i |=|2i w-1|.
33设w=x+y i(x ,y ∈R ),代入上式整理得,
3·x 2+y 2+4y +4=4x 2+4y 2+4y +1两边平方得3x 2+3y 2+12y+12=4x 2+4y 2+4y+1,化简得x 2+y 2-8y=11.
∴|w-4i |=|x+y i -4i |==3是一个常数.x 2+(y -4)2=x 2+y 2-8y +16=11+16=273故|w-4i |的值是一个常数,且这个常数为3.3。