量纲分析案例-暴炸能时估计
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案例：原子弹爆炸的能量估计
问题的由来: 1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州阿拉 莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了世界上 第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一 个新的时代。 当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般 人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸 的录像带，但没有任何数据。 英国物理学家G.I.Taylor通过研究录像，建立模 型对这次爆炸的能量进行估计，得到能量为19.2千吨。 这个结果与后来公布的实际能量21千吨相当接近。 那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计 的？
1.50
1.65 1.79 1.93 3.26 3.53 3.80 4.07
44.4
46.0 46.9 48.7 59.0 61.1 62.9 64.3
4.61
15.0 25.0 34.0 53.0 62.0
67.3
106.5 130.0 145.0 175.0 185.0
问题分析： 如果想从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程， 从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量比较困 难。因为我们没有详实的数据资料。 爆炸产生的能量主要以冲击波和幅射的方式向 外扩散。但这些在录像中是看不到的。 一般地，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球 面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲 击波就传得越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的 “蘑菇云”反映出来。 爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与 能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关， 与大气压强有关。从而可以通过量纲分析的方法确 定这些量之间的函数关系。
2
3
)
其中是某未知标量函数，于是有
r5 t E
2
(5 t P
6
5
E
2
3
)
其中是某未知标量函数。
这就是我们需要的数学模型。 但由于方法的局限性，PI定理中的等价方 程仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 比如这里的 ，所以需要我们用其他的方法来 确定这些未定量。
确定参量： 由于原子弹爆炸的时间极短，而释放的能量非 常大，所以有
13
代入能量单位：1千吨（即1千吨TNT爆炸产生 的能量）= 4.184×1012焦耳，可得
E 8.0276 10 (4.184 10 )
13 12
19.1863 (千吨)
这个结果与后来公布的爆炸能量的准确数据 （21千吨）相差很小。 从而说明了模型有正确性。
建立数学模型： 计算爆炸当量的数学模型是用量纲分析法建立。 用PI定理可以将函数形式找出来。
设爆炸中，冲击波的半径 r 、时间 t 、能量 E 、空 气密度 ρ 、大气压强 P 满足的一般函数形式为：
f (r , t , E , , P ) 0
由于爆炸是在瞬时完成的，不考虑爆炸过程所需 时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。 故这是一个动力学问题。 所用基本量纲为：长度Ｌ，质量Ｍ，时间Ｔ。
因为 A 的秩为3，所以方程组
Ay 0, y ( y1 , y2 , y3 , y4 , y5 )T
有5-3=2个基本解，即方程组有无穷多个解。 从中取出基本解，原则是能从中分离出我的所 需的物理量，从而能构造适当的无量纲量，找出项 其形式关系。 不妨取其两个基本解为： 令y1=1，y5=0 得到 y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0); 令y1=0，y5=1 得到 y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)。 由量纲分析的Buckingham Pi定理，这两个基本 解可以得到两个无量纲量：
6 5 t 2 5 P
E
2
3
0
所以未知函数在2的值(2)可看成常数。由资 料和其他小型爆炸的经验数据，可取(2) ≈1。故有
2 t r5 E
这就是我们所求的数学模型。从前面的表一 中的数据就可求出E/，从而求出E。
数值计算： 由前所给表中半径和时间的数据可以做算出E/。
1 rt
2 / 5
E
1 / 5
1/ 5
r
5
5
6
t E
5
2
2 t
得
6/ 5
E
2 / 5
பைடு நூலகம்
3/ 5
P
t P
E 2 3
从而，由Pi定理可知，存在某个二元函数F，使
F ( 1 , 2 ) 0
从上式中解出1得，
1 r
5
t E
2
(5 t P
6
5
E
关系中用到的各物理量的量纲分别为： 冲击波的半径 r ：[r]=L 时间 t ：[t]=T 能量 E ：[E]=L2MT-2 空气密度 ρ：[ρ]=L-3M 大气压强 P：[P]=L-1MT-2
由此可以得到量纲矩阵为：
A35
L M T
r t E P 1 0 2 3 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 2
表一：时刻t(毫秒) 的“蘑菇云”半径r(米)
时间 t(ms) 0.10 半径 r(m) 11.1 时间 t(ms) 1.36 半径 r(m) 42.8 时间 t(ms) 4.34 半径 r(m) 65.6
0.24
0.38 0.52 0.66 0.80 0.94 1.08 1.22
19.9
25.4 28.8 31.9 34.2 36.3 38.9 41.0
E r
1/ 5
t
2/5
上式两边取对数整理可得
5 ln r 2 ln t ln E
把 ln( E/ ) 看作一个参数，用一元线性回归方法 可以求得
ln E
31.7933
代入空气密度=1.25kg/m3可得
E exp( 31.7933) 8.0276 10 ( J )
基本假设： 1、原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的 核反应过程。 2、 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形 式表现出来。 不考虑其它（如幅射）的影响。 3、只考虑冲击波的动力学特性。
4、冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表 征。
符号设定： 物理量 时间 半径 能量 空气密度 大气压强 符号 t r E ρ P 单位 秒（s） 米（m） 焦耳（Ｊ） 千克／米３(kg/m3) 帕斯卡（Ｐa）
问题的由来: 1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州阿拉 莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了世界上 第一颗原子弹。这一事件令全球震惊。由此开始了一 个新的时代。 当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般 人无法知道。两年后，美国政府首次公布了这次爆炸 的录像带，但没有任何数据。 英国物理学家G.I.Taylor通过研究录像，建立模 型对这次爆炸的能量进行估计，得到能量为19.2千吨。 这个结果与后来公布的实际能量21千吨相当接近。 那么，Taylor是如何对原子弹爆炸的能量进行估计 的？
1.50
1.65 1.79 1.93 3.26 3.53 3.80 4.07
44.4
46.0 46.9 48.7 59.0 61.1 62.9 64.3
4.61
15.0 25.0 34.0 53.0 62.0
67.3
106.5 130.0 145.0 175.0 185.0
问题分析： 如果想从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程， 从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量比较困 难。因为我们没有详实的数据资料。 爆炸产生的能量主要以冲击波和幅射的方式向 外扩散。但这些在录像中是看不到的。 一般地，爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球 面向四周传播。爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲 击波就传得越远。而冲击波又可以通过爆炸形成的 “蘑菇云”反映出来。 爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与 能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关， 与大气压强有关。从而可以通过量纲分析的方法确 定这些量之间的函数关系。
2
3
)
其中是某未知标量函数，于是有
r5 t E
2
(5 t P
6
5
E
2
3
)
其中是某未知标量函数。
这就是我们需要的数学模型。 但由于方法的局限性，PI定理中的等价方 程仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 比如这里的 ，所以需要我们用其他的方法来 确定这些未定量。
确定参量： 由于原子弹爆炸的时间极短，而释放的能量非 常大，所以有
13
代入能量单位：1千吨（即1千吨TNT爆炸产生 的能量）= 4.184×1012焦耳，可得
E 8.0276 10 (4.184 10 )
13 12
19.1863 (千吨)
这个结果与后来公布的爆炸能量的准确数据 （21千吨）相差很小。 从而说明了模型有正确性。
建立数学模型： 计算爆炸当量的数学模型是用量纲分析法建立。 用PI定理可以将函数形式找出来。
设爆炸中，冲击波的半径 r 、时间 t 、能量 E 、空 气密度 ρ 、大气压强 P 满足的一般函数形式为：
f (r , t , E , , P ) 0
由于爆炸是在瞬时完成的，不考虑爆炸过程所需 时间。故只考虑能量释放后的冲击波传播的物理过程。 故这是一个动力学问题。 所用基本量纲为：长度Ｌ，质量Ｍ，时间Ｔ。
因为 A 的秩为3，所以方程组
Ay 0, y ( y1 , y2 , y3 , y4 , y5 )T
有5-3=2个基本解，即方程组有无穷多个解。 从中取出基本解，原则是能从中分离出我的所 需的物理量，从而能构造适当的无量纲量，找出项 其形式关系。 不妨取其两个基本解为： 令y1=1，y5=0 得到 y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0); 令y1=0，y5=1 得到 y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)。 由量纲分析的Buckingham Pi定理，这两个基本 解可以得到两个无量纲量：
6 5 t 2 5 P
E
2
3
0
所以未知函数在2的值(2)可看成常数。由资 料和其他小型爆炸的经验数据，可取(2) ≈1。故有
2 t r5 E
这就是我们所求的数学模型。从前面的表一 中的数据就可求出E/，从而求出E。
数值计算： 由前所给表中半径和时间的数据可以做算出E/。
1 rt
2 / 5
E
1 / 5
1/ 5
r
5
5
6
t E
5
2
2 t
得
6/ 5
E
2 / 5
பைடு நூலகம்
3/ 5
P
t P
E 2 3
从而，由Pi定理可知，存在某个二元函数F，使
F ( 1 , 2 ) 0
从上式中解出1得，
1 r
5
t E
2
(5 t P
6
5
E
关系中用到的各物理量的量纲分别为： 冲击波的半径 r ：[r]=L 时间 t ：[t]=T 能量 E ：[E]=L2MT-2 空气密度 ρ：[ρ]=L-3M 大气压强 P：[P]=L-1MT-2
由此可以得到量纲矩阵为：
A35
L M T
r t E P 1 0 2 3 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 2
表一：时刻t(毫秒) 的“蘑菇云”半径r(米)
时间 t(ms) 0.10 半径 r(m) 11.1 时间 t(ms) 1.36 半径 r(m) 42.8 时间 t(ms) 4.34 半径 r(m) 65.6
0.24
0.38 0.52 0.66 0.80 0.94 1.08 1.22
19.9
25.4 28.8 31.9 34.2 36.3 38.9 41.0
E r
1/ 5
t
2/5
上式两边取对数整理可得
5 ln r 2 ln t ln E
把 ln( E/ ) 看作一个参数，用一元线性回归方法 可以求得
ln E
31.7933
代入空气密度=1.25kg/m3可得
E exp( 31.7933) 8.0276 10 ( J )
基本假设： 1、原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的 核反应过程。 2、 原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形 式表现出来。 不考虑其它（如幅射）的影响。 3、只考虑冲击波的动力学特性。
4、冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表 征。
符号设定： 物理量 时间 半径 能量 空气密度 大气压强 符号 t r E ρ P 单位 秒（s） 米（m） 焦耳（Ｊ） 千克／米３(kg/m3) 帕斯卡（Ｐa）