11.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.1.2 函数的表示方法(1)

2.1.2 函数的表示方法(1)
教学目的：
一、知识技能：
（1）掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．
（2）培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念难点: 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 二、过程方法：
1.初步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的应用；
2.通过现实事物本质进行数学抽象和概括，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化，代数式化的数学思想．
三、情感态度：
1.能对以前学习的数学知识进行理性化思考，对事物之间的联系要有数学化的思考；
2.培养学生的抽象思维能力并且渗透动与静的辨证唯物主义观点．
教学重点：在对应的基础上理解函数的概念； 教学难点：对函数概念的正确理解． 课 型：新授课
教具准备：多媒体课件 教学过程：
一、复习旧知 引入新课
1．回忆函数的两种定义；
2．函数的三要素分别是什么？
3.看2.1.1节开头(课本P21页)的三个函数问题. 二、知识学习
1.函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有列表法、图象法、解析法三种. (1) 列表法
就是列出表格表示两个变量之间关系的方法.
列表法在生活中常遇到,如银行利率表、列车时刻表等都是用列表法表示的,教材中我国人口数据表就是其中的一种,列表法的优点是不需要计算就可以直接得到与自变量相对应的函数值. (2) 图象法
就是用图象来表示两个变量之间关系的方法.
图象法的优点在于直观形象地表示与自变量有相应变化的函数值的变化趋势,使得我们可以通过图象来研究函数的性质.图象法也常常用到生产和生活中去,如工厂的生产进度图、股市的股价指数走向图等.
(3) 解析法
如2
2
2
321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等．
就是用等式来表示两个变量之间关系的方法, 这个等式常叫做函数的表达式,简称解析式.
解析式有两个优点:一是简明、全面地概括了变量之间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
2.函数的表示方法的应用
练习:某种笔记本的单价是5元，买x （{1,2,3,4,5}x ∈）个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x =．
解析：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数()y f x =表示为
5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈．用列表法可以将函数()y f x =表示为
x
y
O -1 1
1 2
3.分段函数的概念
(1) 在定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则．这样的函数叫做分段函数． 注意：分段函数是一个函数而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选取相应的对应法则． (2) 分段函数作图：
分段函数的图象由几个不同部分组成，作分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．
迁移·强化：
形如y ＝f （|x|）及y ＝| f （x ）|的函数图象作图方法
①根据去绝对值的法则，分别将y ＝f （|x|）及y ＝|f （x ）|写成分段函数的形式，然后作图．
②根据图象变换作图：对于y ＝f （|x|）的图象，保留y ＝f （x ）的图象y 轴右侧的部分，然后将y 轴右侧部分图象沿y 轴翻折到左侧，就得到y ＝f （|x|）的图象．
对于y ＝|f （x ）|的图象, 可保留y ＝f （x ）的图象在x 轴上方的部分，再将x 轴下方部分图象沿x 轴翻折到x 轴上方即可．
练习:
1.(课时训练P15页例1) 如图,若()y f x =的图象如图所示,
则它的解析式为, 0,()2, 01,2, 1.x x f x x x x -<⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
(错误:①(), 0,()2, 01,()2, 1.f x x x f x x x f x x =-<⎧⎪=≤≤⎨⎪=>⎩②, 0,()2, 01,2, 1.y x x f x y x x y x =-<⎧⎪
==≤≤⎨⎪=>⎩
)
2.(课时训练P15页练习3)
已知函数1, 0,
(), 0,0, 0,x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
则((1))(0)f f f π-==.
3.(课时训练P15页练习5)
3.在学校的洗衣店中,每洗一次衣服(
4.5克以内)需付4元,如果在这家洗衣10次,则可免费洗一次.
(2)问“费用c 是次数n 的函数”还是“次数n 是费用c 的函数”? (3)写出n ≤15的函数解析式. 解析:(1)如上表所示.
(2)上表中n =10或11时c =40,由此可得次数n 不是费用c 的函数,而费用c 是次数n 的函数. (3)当n ≤10时, c =4 n ; 当11≤n ≤15时, c =4( n -1) . ∴4, 110,,
4(1), 1115,.n n n N c n n n N ≤≤∈⎧=⎨
-≤≤∈⎩
说明:不少同学将条件n N ∈遗忘,失去了定义域限制的这种解析式是错误的!
4.复合函数的解析式
练习:
1.已知函数f （x ）＝2x －1，g （x ）＝x 2＋1，则f （g （1））＝__________；g （f （1））＝__________． 解法一：∵f （g （x ））＝2(x 2＋1)-1=2x 2＋1，g （f （x ））＝(2x －1) 2 +1＝4x 2－4x ＋2． ∴ f （g （1））＝2＋1=3 g （f （1））＝4－4＋2=2 .
解法二: f （g （1））＝f （2）=3 g （f （1））＝g （1）=2 .
例1.(课时训练P15例3)求实系数的一次函数)(x f y =，使34)]([+=x x f f .
分析: 求函数解析式的方法有很多种, 其中待定系数法是一种常用的方法. 解法一: 设b ax x f +=)(（0≠a ）,
取0x =,可得[(0)]3f f =;取1x =,可得[(1)]7f f =.
∴3,
()7ab b a a b b +=⎧⎨
++=⎩解之得⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=3
2b a .
∴12)(+=x x f 或32)(--=x x f . 解法二：设b ax x f +=)(（0≠a ）,
则b x f a x f f +⋅=)()]([＝b b ax a ++)(＝b ab x a ++2
.
∴342
+=++x b ab x a , ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a 解得⎩
⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ,
∴12)(+=x x f 或32)(--=x x f .
反思·领悟: 待定系数法的关键在于简略地列出方程组求解系数, 但有很多求解析式问题,不一定会
给出是哪一种类型的函数, 这类问题如何求解呢?
有同学的错误写法为21,()23,x f x x +⎧=⎨--⎩ ()21,
()2 3.f x x f x x =+⎧⎨=--⎩
要谨慎!
练习:
已知()f x 为二次函数,若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++,试求()f x 的解析式. 答案:2
1()()2
f x x x =
+. 例2. 已知x x f =-)1(，求)(x f 的表达式 .
解法一(换元法)：设t x =-
1，则2)1(t x -=
∵0≥x ∴1≤t ∴)1()1()(2≤-=t t t f , ∴2
()(1)(1)f x x x =-≤ .
解法二(整体代换法): ∵22(1[(11]f ==- (11≤) ∴2
()(1)(1)f x x x =-≤ .
反思·领悟:例2的主要难点不在于求解析式,而在于最后函数解析式的定义域的确定问题,不少同学
会将此遗漏.换元法与整体替换法是求此类解析式的通法,但要注意引入“元”的范围,即定义域问题.
练习:(课时训练P15练习4)
设2(1)2f x x x +=- , 则()f x =
.
答案: 2()(2)1f x x =--.
归纳小结：
本节学习的数学知识： 函数的表示法
本节学习的数学方法：
定义法、代入法、换元法、方程的思想与分类讨论的思想． 作业布置
1、书面作业：课时训练第3课时.
2、预习作业：
（1）预习内容：课本P31；
（2）预习提纲：
a ．什么叫分段函数?分段函数是否为一个函数？
b ．如何画分段函数的图象？ 板书设计
知识创新：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：
（1）试确定y 与x 的函数关系式； （2）求f （－3）、f （1）的值； （3）若f （x ）＝16，求x 的值；
解析：本题是一个分段函数问题，当输入值x ≥1时，先将输入值x 加2再平方得输出值y ；当输入值x ＜1时，则先将输入值平方再加2得输出值y ．故
（1）y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥．＜，
＋，，
＋)1(2)1()2(22
x x x x
（2）f （－3）＝（－3）2＋2＝11；f （1）＝（1＋2）2＝9． （3）若x ≥1，则（x ＋2）2＝16，解得x ＝4或x ＝－6（舍）； 若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14（舍）或x ＝－14． ∴x ＝4或x ＝－14．
点评：通过实例，了解简单的分段函数，并能简单应用是新课程标准的基本要求．对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内．
(课本P33第13题)有一个系列函数, 若它们的解析式相同, 值域相同，但其定义域不同，
则称这一系列函数为“同族函数”. 则函数解析式为2
y x =,值域为{1,2}的“同族函数”共有 个.
答案.当函数解析式为2y x =,值域为{1,2}时, 可解得元素最多的定义域为{1,1,-, 要使
得值域为{1,2}, 则定义域中必须至少有- 1与1及, 从而得定义域可以为
{1-,{1,-,{1,,{,{1,1,-,{1,1-,{1,-,
{1,,{1,1,- . 从而得这样的“同族函数”共有9个.。