2023-2024学年重庆市万州区高二下学期入学考试数学模拟试题(含解析)

E 的两条切线，切点分别为 A 、 B ，则下列说法正确的是（ ） A． PA PB B． PF AB
C．直线 AB 的方程为 2x ty 2 0 D． PAB 面积的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知直线 l 与直线 2x y 1 0 具有相同的法向量，且经过点 3, 4，则直线 l 的一般式方
2023-2024 学年重庆市万州区高二下学期入学考试数学
模拟试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
A(1,0), B 4,
1．若直线经过
3
两点，则直线 AB 的倾斜角为
A． 30
B． 45
C． 60
D．120
2．等比数列{an}中， a4 48, a6 12 ，则 a4 与 a6 的等比中项为（ ）
8 故 5π 9．CD 【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.
【详解】解：圆 M : x2 y2 4x 3 0 的标准方程为： x 22 y2 1， 圆心为 2, 0，半径为 1， A.因为 4 22 02 1，所以点 (4, 0) 在圆 M 外，故错误；
B.因为 2 3 0 2 0 ，即圆心不在直线 x 3y 2 0 上，故错误；
a3 a6 a9 3a6 3a5 d 3 9.5 1 38.5 25.5 ，
故选：A． 6．D
【分析】由直线与圆相离得 a2
b2
1，则点 P a,b在椭圆
y2 6
x2 5
1 的内部，由此即可得解.
【详解】由题意直线 ax +by - 1 = 0 与圆 O : x2 y2 1相离，所以圆心到直线的距离
小寒、雨水，清明日影长之和为 28.5 尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5 尺
B．34.5 尺
C．37.5 尺
D．96 尺
6．若直线 ax +by -
1 = 0 与圆 O :
x2
y2
1相离，则过点 P a,b的直线与椭圆
y2 6
x2 5
1 的交点
个数是（ ）
A．0 或 1
B．0
C．1
d 1 1 r
a2 b2
，即 0 a2 b2 1，
b2 而6
a2 5
a2
b2 5
1 5
1 ，即点 P a,b在椭圆
y2 6
x2 5
1 的内部，
所以过点 P a,b的直线与椭圆
y2 6
x2 5
1 的交点个数是
2.
故选：D. 7．B 【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值.
c
．
(1)用 a ， b ， c 表示 BD1 ；
(2)求异面直线 A1D 与 BD1 所成角的余弦值．
17．已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2 3 ， a3 a2 2 ，等差数列bn的前
n 项和为 Sn ，且 b3 5 ， S4 16 .
（1）求数列 an ， bn 的通项公式； （2）如图在平面直角坐标系中，点 P1 a1, 0， P2 a2, 0，… Pn an , 0， Pn1 an1, 0，
【详解】由
S8
0 ，得
8 2 (a1
再求出 S2 作答.
【详解】依题意，点 P 与 Q ， F1 与 F2 都关于原点 O 对称，且 PQ F1F2 ，因此四边形
PF1QF2 是矩形，如图，
x2 由双曲线 C ： 4
y2 16
1 得：
PQ
F1F2
2 | OF2 | 2
4 16 4
5 ， || PF1 | | PF2 || 4 ，
【详解】由题意，平面 和平面 的法向量分别是
m 1, 1,1， n 1, 2, 1，
设平面 和平面 的夹角为 ，
cos
cos m , n
m n m n
1 21 2 3 6 3 2
2 3
故选：B. 8．D
【分析】根据给定条件，探求四边形 PF1QF2 的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出 S1 ，
A．
a
b
c
B．
a
b
c
C．
a
2b
c
D．
2a
b
c
5．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从 冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，
M
到点
B
2 3
,
0
的距离的
3
倍，
(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 y kx 3与轨迹 C 没有交点，求 k 的取值范围.
16．如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的底面是正方形， A1AD A1AB 60 ，
AB
AA1
2
，若
AB=a
，
AD
b
，
AA1
C.由圆的标准方程知，半径为 1，故正确；
d
2
1
D.因为圆心为 2, 0到直线 x 3y 0 的距离为
2
1 3 ，与圆 M 的半径相等，故
直线 x 3y 0 与圆 M 相切，故正确；
故选：CD
10．ACD
【分析】由 S8 0 、 S9 0 知 a5 0 、 a4 0 ，即可判断 AB；根据数列的单调性即可判断 CD.
tan kAB 率30源自 4 13 ,3 所以
3 , 30
3
，故选 A．
考点：1、直线的斜率公式；2、直线的倾斜角．
2．C
【分析】直接由等比中项的性质计算即可.
【详解】 a4 与 a6 的等比中项为 a5 ，a52 a4a6 576 ，则 a5 24 ．
故选：C．
3．C
【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解. x2 y2 1
Q1 a1, b1 ， Q2 a2 , b2 ，…， Qn an , bn ，若记 PnQnPn1 的面积为 cn ，求数列cn的前 n 项和
Tn . 18．在如图所示的多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，在梯形 ABEF 中， AF //BE ， AF AB ， AB BE 2AF 2 ，平面 ABEF 平面 ABCD .
程为
.
13．已知数列{an}满足： an 2n2 n 3 ， n N* ，且{an}是递增数列，则实数 的取值范
围是 ．
14．月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示
月球背面.由光源点 A0, 2射出的两条光线与 e O : x2 y2 1 分别相切于点 M 、 N ，称两射
对于双曲线
y2 9
x2 7
1，显然其焦点在 y 轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为 2c2 ，
则 c22 9 7 16 ，故 c2 4 ，所以双曲线的焦距为 2c2 8 ；
所以椭圆与双曲线的焦距相等，故 C 正确，其余选项都不正确.
故选：C.
4．C
【分析】利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可.
值为（ ）
2 A． 3
2 B． 3
7 C． 3
7 D． 3
8．若
F1, F2
C 是双曲线
:
x2 4
y2 16
1 的两个焦点， P,Q
为C
上关于坐标原点对称的两点，且
PQ F1F2 ，设四边形 PF1QF2 的面积为 S1 ，四边形 PF1QF2 的外接圆的面积为 S2 ，则
S1 S2 （ ）
D．2
7．在空间中，“经过点 P x0, y0, z0 ，法向量为 e ( A, B,C) 的平面的方程（即平面上任意一点
的坐标 (x, y, z) 满足的关系式）为： Ax x0 B y y0 C z z0 0 ”．用此方法求得平面
和平面 的方程，化简后的结果为 x y z 1 和 x 2 y z 6 ，则这两平面所成角的余弦
【详解】对于椭圆 25 k 9 k ，显然 25 k 9 k 恒成立， 设椭圆的长轴长为 2a ，短轴长为 2b ，焦距为 2c ，
所以 a2 25 k,b2 9 k ，则 c2 a2 b2 25 k 9 k 16 ，则 c 4 ，
所以椭圆的焦点为 4,0 ，焦距为 2c 8 ，顶点和离心率是变化的；
芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{ an }，如冬至日的日影长为 a1 尺，设公差为d 尺.
由题可知，所以 a1 a4 a7 31.5 3a4 31.5 a4 10.5 ，
a2 a5 a8 28.5 3a5 28.5 a5 9.5 ，
d a5 a4 9.5 10.5 1，
A．24
B． 24
C． 24
D． 30
x2 y2 1
y2 x2 1
3．关于椭圆 25 k 9 k 与双曲线 9 7 的关系，下列结论正确的是（ ）
A．焦点相同
B．顶点相同
C．焦距相等
D．离心率相等
4．已知
a,
b,
c
是空间的一个基底，则可以和
a,
b
c
构成空间的另一个基底的向量为（
）
S1
于是
PF1 PF2
PF1 |2
PF2 |2 2
PF1 PF2
2 | F1F2 |2
PF1 PF2 2
2
(4
5)2 42 32
2
，
显然四边形 PF1QF2 的外接圆半径为 OF2 ，因此 S2 π | OF2 |2 π (2 5)2 20π ，
S1 32 8 所以 S2 20π 5π .
线 AM 、 AN 上切点上方部分的射线与优弧 MN 上方所夹的平面区域(含边界)为圆 O 的“背面”.若
以点 B a, 2为圆心， r 为半径的圆处于 O 的“背面”，则 r 的最大值为
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知动点
M
到点
A（6，0）的距离等于
(1)证明： BD CF ； (2)若直线 BC 与平面 ACF 所成的角为 60 ， M 为棱 BE 上一点（不含端点），试探究 BE 上是
1 否存在一点 M ，使得平面 ACF 与平面 CFM 夹角的余弦值为 4 ？若存在，求出 BM 的长；若 不存在，请说明理由. 19．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线 之一.法国数学家 DeCasteljau 对 Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了 DeCasteljau 算 法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物 线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线 Γ : y2 2 px( p 0) 上的动点到焦点距
A． π
6 B． 5π
7 C． 5π
8 D． 5π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知圆 M : x2 y2 4x 3 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 (4, 0) 在圆 M 内
B．圆 M 关于 x 3y 2 0 对称
C．半径为 1
，显然无法成立，即
a
2b
c
与
a,
b
c
不共面，故
C
正确.
故选：C
5．A
【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为 a1 尺，公
差为d 尺，利用等差数列的通项公式，求出d ，即可求出 a1 ，从而得到答案． 【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
D．直线 x 3y 0 与圆 M 相切
10．已知等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S8 0, S9 0 ，则（ ）
A． a1 0
B． d 0
C． Sn 的最小值为 S4
Sn
S5
D． an 的最小值为 a5
11．已知抛物线 E : y2 4x ，焦点为 F ，动点 P 1,t 在抛物线 E 的准线上，过点 P 作抛物线
1
离的最小值为 2 .
(1)求 Γ 的方程及其焦点坐标和准线方程； (2)如图， A, B,C 是 Γ 上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 D, E, F ，若 AC //DF ，求 BD BF 的值.
1．A 【详解】试题分析：设直线 AB 的倾斜角为 (0 180) ，由两点斜率公式的直线 AB 的斜
a
b
c
a
【详解】易知：
b
c
，则
a
b
c
与
a,
b
c
共面，
a
b
c
a
b
c
2a
b
c
2a
b
c
同理
，
，
即
a
b
c
、
2a
b
c
均与
a,
b
c
共面，
所以
A、B、D
三项均不能和
a,
b
c
构成空间的另一个基底，故
A、B、D
错误；
a
2b
c
x
a
y
设
b
c
x 1
y y
2 1