k-hessian方程的一个liouville型结果
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＝ ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｗ ｉｊ ｕ －β ｄｘ
ｉｊ
其中 Ｆ 为与 σ ｋ 对应的线性化算子ꎮ
又因 Ｗ ＝ ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ꎬ则:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｗ ｉｊ ｕ －β ｄｘ ＝ ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ｕ －β ｄｘ
＝ ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕδ ｉｊ ｕ －β ｄｘ
σ ｋ( λ)＝ ∑λ ｉ λ ｉ
１
ｎ
其中求和是 ｉ１ ꎬꎬｉ ｎ 取遍所有 １ꎬꎬｎ 中的严格递增任 ｋ
个数的序列ꎮ
这个定义可以令 σ ｋ ( Ｗ) ＝ σ ｋ ( λ( Ｗ) ) 扩大为对称矩阵ꎬ这
里 λ( Ｗ)＝ ( λ１ ꎬꎬλ ｎ ) 是对称矩阵 Ｗ 的特征值ꎬ并且令 σ０ ＝ １ꎬ
ｎ
ｎ
不等式成立当且仅当 λ１ ＝ λ２ ＝ ＝ λ ｎ ꎮ
注:这个不等式是 Ｎｅｗｔｏｎ － Ｍａｃｌａｕｒｉｎ 不等式的一般形式ꎬ
我们这里用到的是它的简单形式:
ｎ－１
σ ｎ－１ >ｎ( σ ｎ ) ｎ
现在我们证明定理 ２ꎮ
证明 首先易知:
ｎʃ Ｓ ｎ ｕ ｎ ｕ －β ｄｘ ＝ ｎʃ Ｓ ｎ ｄｅｔ( ｗ ｉｊ ) ｕ －β ｄｘ
则它叫做方程(１) 的一个允许解ꎮ
方便起见ꎬ令 Ｗ ＝ ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ꎮ 在文献[１] 中已经讨论了当 １
£ｋ<ｎ 时方程(１) 的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎬ即:
定理 １ [１] 假设在 Ｓ ｎ 中ꎬｕ 是方程 σ ｋ ( Ｗ) ＝ ｕ α 的正允许
１
解ꎬ其中 １ £ｋ<ｎꎬｋ 是整数ꎬα∈Ｒꎬα>０ꎬα≠ｋꎬ则 ｕ( ｘ) ≡( Ｃ ｋｎ ) α－ｋ
关键词:Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎻ允许解ꎻＨｅｓｓｉａｎ 方程
中图分类号:Ｏ１７５. ２５ 文献标识码:Ａ
文章研究的是非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程:
σ ｋ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) )＝ ｕ α
(１)
ｎ
这里对 Ｓ 上任意正交坐标系 { ｅ１ ꎬｅ２ ꎬꎬｅ ｎ } 而言ꎬｕ ｉｊ 是二
阶协变导数ꎬ其中 ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) 是一个矩阵ꎬδ ｉｊ 是标准 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ 符
号ꎮ σ ｋ 是 ｋ 阶初等对称函数ꎬ其定义将在后文给出ꎮ
这个方程来自于凸体的几何ꎮ 对于一个凸体 Ｍ∈Ｒ ｎ＋１ ꎬ如
果∂Ｍ 在 Ｒ ｎ＋１ 中是闭严格凸超曲面ꎬ我们可以用逆高斯映射:
Ｘ:Ｓ ｎ →∂Ｍ
在此 定 理 基 础 上ꎬ 本 文 讨 论 ｋ ＝ ｎ 时 方 程 ( １ ) 的 一 个
Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎬ即可得如下的定理:
定理 ２ 假设在 Ｓ ｎ 中ꎬｕ 是方程 σ ｎ ( Ｗ) ＝ ｕ α 的正允许解ꎬ
其中 α∈Ｒꎬα>０ꎬ则 ｕ 为常数ꎮ
２ 定理 ２ 的证明
首先陈述一个在证明中将要用到的引理ꎮ
相当于 Ｓ ｎ 上的方程:
σ ｋ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) )＝ ｕ ｐ ｆ( ｘ)
令 ｆ( ｘ)＝ １ꎬ我们将得到方程(１) ꎮ
１ 基础知识与主要结果
记 λ ＝(λ１ ꎬλ２ ꎬꎬλｎ )∈Ｒｎ ꎬ定义 Ｒｎ 上的 ｋ 阶初等对称函数:
定义 １:对 １ £ｋ £ｎꎬｋ 阶初等对称函数 σ ｋ 定义如下:
Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 理论中一个最基本问题是问题ꎬ它相
当于一个非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程:σ ｋ ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ) ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｓ ｎ
上的凸解ꎮ
Ｆｉｒｅｙ 拓展了 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 组合的概念ꎬ并且介绍了 ｐ－ｓｕｍｓ 的
概念ꎬ这里 ｐ⩾１ꎮ Ｆｉｒｅｙ 的 ｐ－ｓｕｍｓ 的 Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 问题
引理 ３ [ Ｎｅｗｔｏｎ－Ｍａｃｌａｕｒｉｎ 不等式]
对∀λ∈Γ ｋ ꎬｋ⩾ｒꎬｌ⩾ｓꎬｋ－ｌê σ ｋ( λ) ùú ｋ－ｌ éê σ ｒ( λ) ùú ｒ－ｓ
ｋ
ｒ
ê Ｃｎ ú £ ê Ｃｎ ú
ê σ ｌ( λ) ú
ê σ ｓ( λ) ú
êë Ｃ ｌ úû
êë Ｃ ｓ úû
当 ｋ>ｎ 时 σ ｋ ＝ ０ꎮ
Ｈｅｓｓｉａｎ 方程在椭圆偏微分方程中ꎬ允许解定义如下:
定义 ２:对 １ £ｋ £ｎꎬ令 Γ ｋ 是 Ｒ ｎ 中的一个锥ꎬ记:
Γ ｋ ＝ { λ ＝ Ｒ ｎ :σ１ ( λ) >０ꎬꎬσ ｋ( λ) >０}
如果对每一个 ｘ∈Ｓ ｎ ꎬｕ ｉｊ 的特征值在 Γ ｋ 中ꎬ即 λ( ｕ ｉｊ ) ∈Γ ｋ ꎬ
＝ βʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ ｕ ｊ ｕ －β－１ ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ
根据引理 ３ 的简单情形ꎬ可得:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ⩾ʃ Ｓ ｎ ｎ( ｕ ｎ )
ｎ－１
ｎ
科技风 ２０２０ 年 ２ 月
科教论坛
ＤＯＩ:１０. １９３９２ / ｊ. ｃｎｋｉ. １６７１￣７３４１. ２０２００６０９４
Ｋ￣Ｈｅｓｓｉａｎ 方程的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果
叶晓芳 马琼华 阿迪拉阿布都热依木
新疆师范大学 新疆乌鲁木齐
８３００１７
摘 要:本文研究了一类非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程 σ ｋ ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ) ＝ ｕ α ꎬ得到 ｋ ＝ ｎ 时的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎮ
运用分部积分ꎬ可得:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ ＝ －ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ( －β) ｕ －β－１ ｕ ｊ ｄｘ
则:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕδ ｉｊ ｕ －β ｄｘ
＝ －ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ( －β) ｕ －β－１ ｕ ｊ ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ
把边界∂Ｍ 参数化ꎮ ∂Ｍ 的支撑函数定义为 ｕ ( ｘ ) ＝ ‹ ｘꎬＸ
( ｘ ) › ꎬｘ∈Ｓ ｎ ꎬ那么当选取 Ｓ ｎ 上的活动标架时ꎬ∂Ｍ 的主半径是
矩阵 ｗ ｉｊ ＝ ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ 的 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 特征值ꎮ 从支撑函数、Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ
组合和混合体积的一些基本概念发展了凸体的一套理论ꎮ
ｉｊ
其中 Ｆ 为与 σ ｋ 对应的线性化算子ꎮ
又因 Ｗ ＝ ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ꎬ则:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｗ ｉｊ ｕ －β ｄｘ ＝ ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ｕ －β ｄｘ
＝ ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕδ ｉｊ ｕ －β ｄｘ
σ ｋ( λ)＝ ∑λ ｉ λ ｉ
１
ｎ
其中求和是 ｉ１ ꎬꎬｉ ｎ 取遍所有 １ꎬꎬｎ 中的严格递增任 ｋ
个数的序列ꎮ
这个定义可以令 σ ｋ ( Ｗ) ＝ σ ｋ ( λ( Ｗ) ) 扩大为对称矩阵ꎬ这
里 λ( Ｗ)＝ ( λ１ ꎬꎬλ ｎ ) 是对称矩阵 Ｗ 的特征值ꎬ并且令 σ０ ＝ １ꎬ
ｎ
ｎ
不等式成立当且仅当 λ１ ＝ λ２ ＝ ＝ λ ｎ ꎮ
注:这个不等式是 Ｎｅｗｔｏｎ － Ｍａｃｌａｕｒｉｎ 不等式的一般形式ꎬ
我们这里用到的是它的简单形式:
ｎ－１
σ ｎ－１ >ｎ( σ ｎ ) ｎ
现在我们证明定理 ２ꎮ
证明 首先易知:
ｎʃ Ｓ ｎ ｕ ｎ ｕ －β ｄｘ ＝ ｎʃ Ｓ ｎ ｄｅｔ( ｗ ｉｊ ) ｕ －β ｄｘ
则它叫做方程(１) 的一个允许解ꎮ
方便起见ꎬ令 Ｗ ＝ ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ꎮ 在文献[１] 中已经讨论了当 １
£ｋ<ｎ 时方程(１) 的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎬ即:
定理 １ [１] 假设在 Ｓ ｎ 中ꎬｕ 是方程 σ ｋ ( Ｗ) ＝ ｕ α 的正允许
１
解ꎬ其中 １ £ｋ<ｎꎬｋ 是整数ꎬα∈Ｒꎬα>０ꎬα≠ｋꎬ则 ｕ( ｘ) ≡( Ｃ ｋｎ ) α－ｋ
关键词:Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎻ允许解ꎻＨｅｓｓｉａｎ 方程
中图分类号:Ｏ１７５. ２５ 文献标识码:Ａ
文章研究的是非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程:
σ ｋ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) )＝ ｕ α
(１)
ｎ
这里对 Ｓ 上任意正交坐标系 { ｅ１ ꎬｅ２ ꎬꎬｅ ｎ } 而言ꎬｕ ｉｊ 是二
阶协变导数ꎬ其中 ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) 是一个矩阵ꎬδ ｉｊ 是标准 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ 符
号ꎮ σ ｋ 是 ｋ 阶初等对称函数ꎬ其定义将在后文给出ꎮ
这个方程来自于凸体的几何ꎮ 对于一个凸体 Ｍ∈Ｒ ｎ＋１ ꎬ如
果∂Ｍ 在 Ｒ ｎ＋１ 中是闭严格凸超曲面ꎬ我们可以用逆高斯映射:
Ｘ:Ｓ ｎ →∂Ｍ
在此 定 理 基 础 上ꎬ 本 文 讨 论 ｋ ＝ ｎ 时 方 程 ( １ ) 的 一 个
Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎬ即可得如下的定理:
定理 ２ 假设在 Ｓ ｎ 中ꎬｕ 是方程 σ ｎ ( Ｗ) ＝ ｕ α 的正允许解ꎬ
其中 α∈Ｒꎬα>０ꎬ则 ｕ 为常数ꎮ
２ 定理 ２ 的证明
首先陈述一个在证明中将要用到的引理ꎮ
相当于 Ｓ ｎ 上的方程:
σ ｋ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) )＝ ｕ ｐ ｆ( ｘ)
令 ｆ( ｘ)＝ １ꎬ我们将得到方程(１) ꎮ
１ 基础知识与主要结果
记 λ ＝(λ１ ꎬλ２ ꎬꎬλｎ )∈Ｒｎ ꎬ定义 Ｒｎ 上的 ｋ 阶初等对称函数:
定义 １:对 １ £ｋ £ｎꎬｋ 阶初等对称函数 σ ｋ 定义如下:
Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 理论中一个最基本问题是问题ꎬ它相
当于一个非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程:σ ｋ ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ) ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｓ ｎ
上的凸解ꎮ
Ｆｉｒｅｙ 拓展了 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 组合的概念ꎬ并且介绍了 ｐ－ｓｕｍｓ 的
概念ꎬ这里 ｐ⩾１ꎮ Ｆｉｒｅｙ 的 ｐ－ｓｕｍｓ 的 Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 问题
引理 ３ [ Ｎｅｗｔｏｎ－Ｍａｃｌａｕｒｉｎ 不等式]
对∀λ∈Γ ｋ ꎬｋ⩾ｒꎬｌ⩾ｓꎬｋ－ｌê σ ｋ( λ) ùú ｋ－ｌ éê σ ｒ( λ) ùú ｒ－ｓ
ｋ
ｒ
ê Ｃｎ ú £ ê Ｃｎ ú
ê σ ｌ( λ) ú
ê σ ｓ( λ) ú
êë Ｃ ｌ úû
êë Ｃ ｓ úû
当 ｋ>ｎ 时 σ ｋ ＝ ０ꎮ
Ｈｅｓｓｉａｎ 方程在椭圆偏微分方程中ꎬ允许解定义如下:
定义 ２:对 １ £ｋ £ｎꎬ令 Γ ｋ 是 Ｒ ｎ 中的一个锥ꎬ记:
Γ ｋ ＝ { λ ＝ Ｒ ｎ :σ１ ( λ) >０ꎬꎬσ ｋ( λ) >０}
如果对每一个 ｘ∈Ｓ ｎ ꎬｕ ｉｊ 的特征值在 Γ ｋ 中ꎬ即 λ( ｕ ｉｊ ) ∈Γ ｋ ꎬ
＝ βʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ ｕ ｊ ｕ －β－１ ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ
根据引理 ３ 的简单情形ꎬ可得:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ⩾ʃ Ｓ ｎ ｎ( ｕ ｎ )
ｎ－１
ｎ
科技风 ２０２０ 年 ２ 月
科教论坛
ＤＯＩ:１０. １９３９２ / ｊ. ｃｎｋｉ. １６７１￣７３４１. ２０２００６０９４
Ｋ￣Ｈｅｓｓｉａｎ 方程的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果
叶晓芳 马琼华 阿迪拉阿布都热依木
新疆师范大学 新疆乌鲁木齐
８３００１７
摘 要:本文研究了一类非线性椭圆 Ｈｅｓｓｉａｎ 方程 σ ｋ ( ( ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ ) ) ＝ ｕ α ꎬ得到 ｋ ＝ ｎ 时的一个 Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 型结果ꎮ
运用分部积分ꎬ可得:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ ＝ －ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ( －β) ｕ －β－１ ｕ ｊ ｄｘ
则:
ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉｊ ｕ －β ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕδ ｉｊ ｕ －β ｄｘ
＝ －ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｊ ｕ ｉ( －β) ｕ －β－１ ｕ ｊ ｄｘ＋ʃ Ｓ ｎ Ｆ ｉｉ ｕ －β＋１ ｄｘ
把边界∂Ｍ 参数化ꎮ ∂Ｍ 的支撑函数定义为 ｕ ( ｘ ) ＝ ‹ ｘꎬＸ
( ｘ ) › ꎬｘ∈Ｓ ｎ ꎬ那么当选取 Ｓ ｎ 上的活动标架时ꎬ∂Ｍ 的主半径是
矩阵 ｗ ｉｊ ＝ ｕ ｉｊ ＋ｕδ ｉｊ 的 Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ 特征值ꎮ 从支撑函数、Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ
组合和混合体积的一些基本概念发展了凸体的一套理论ꎮ