21导数的定义74035

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研究 一小球做自由落体运动，
其运动方程为 s1gt2,t[0,10] 2 考察小球在t 2秒时的
瞬时速度 v ( 2 ).
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其变化情况见下表 ：
… … t [1.5,2] [1.99,2] [1.9999,2]
2
[2,2.001] [2,2.01] [2,2.5]

f x
函数 f ( x) 在区间a,b内有一
导函数，即
f'xlim fxxfx
x 0
x
也可记作 y ，d y ，d f ( x )
d x dx
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导数与导函数的区别与联系
区别：
f ( x 0 ) 是一常数.
f x 是一函数.
联系：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 就是导函数
若物体的温度 T 与时间 t的函数关系为TT(t).请表示出物
体在时刻t 0 的冷却速度？
vt0
lim t 0
T t

lim Tt0tTt0
t 0
t
v(t0)T t0
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案例4 [非均匀杆的线密度]
设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为
费尔马
Pierre de Fermat 1601—1665
法国数学家． 律师．业余研究 数学．解析几何 的创始人．有著 名的“费尔马大 定理” ．1638年 发现求极值的方 法，是微积分学 的先驱．
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牛顿
Newton 1642—1727
英国物理学 家和数学家． 他在物理学上 最主要的成就 是发现了万有 引力定律.数学 上，他与德国 莱布尼兹创建 了“微积分学 ”
（Ⅰ）当 a

0
时， f(x1)f(x2)f
2
x1 2x2
（Ⅱ）当a 4 时， f(x1)f(x2)x1x2
（2019年四川理22题 ）
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二、导数在几何中的应用
例1 设曲线 y e（ x x ）0 在点 M (t, e处t ) 的切线 与l 轴x 、 轴y围成的三角形面积
小球在t 2 秒时的 瞬时速度为 v(2 ) 1.6 9 m /s.
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引例二 [切线斜率]
求曲线 yfx在点 x 0 处的切线的斜率.
y
对于曲线 yf(x),割线 PQ上点 Q
yfx Q T
沿曲线无限接近 P点， 割线P Q的极限位置
就是曲线在 P点的切线．
时刻 t 0 的瞬时速度.
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[t0,t0t] S S t 0 t S t 0
O st0 st0t s
t 很小时，以匀速代替变速，那么，t 内的平均速度为
v SSt0 tSt0
t
t
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o
P y
x

x 0 x0 x x
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割线 PQ 的斜率 为
tg y f(x0x)f(x0)
x
x
y
yfx Q T
曲线在 P(x0, y0 ) 点处的切线的斜率就是割线
的斜率 当 x 0时的极限
ktglimy
x0x
P
y
x

o
x 0 x0 x x
第二步求 y ：
x
y2 x( x)22 x( x0). x x
第三步求极限：
lim ylim (2x)2.
x x 0
x 0
所以， f (1) = 2.
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由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
t 越小，平均速度 v 就越接近于时刻 t 0 的瞬时速度vt0
令 t 0，取极限，得到瞬时速度.
vt0
lim v t0
lim S t0 t
lim St0 tSt0
t 0
t
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过
取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
y
yfx M T
M0
y
x

o
x 0 x0 x x
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y
yfx
o
x0
x
平行于x轴的切线
kfx00
y
yfx
o
x0

x
垂直于x轴的切线
2
ktg
fx0
y
y x3
o
x
x0
切线
x轴
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说明四： 速度、加速度的表示法
第二章 导数与微分
导数的概念
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导数的概念
引例 导数的定义 导函数 导数的几何意义 可导与连续的关系
单侧导数
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阿基米德
Archimedes 前287—前212
古希腊数学家 和物理学家．在 数学上，他利用 穷竭法解决了许 多复杂的曲线或 曲面围成的平面 图形或立方体的 求积问题．
fx0
lim ylim f(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
也可记作 y , dy xx0
, df x .
dx x x 0
dx x x0
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说明一： 可导与不可导
如果 lim y x0 x
存在，则称 yfx在 x 0
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lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
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先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限， 从割线过渡到切线，求得切线的斜率.
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此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀
一般地,
平均变化率 y x
(1) x 0 , x0 x
f x 在 x x 0 处的值， 即
f ( x 0 ) f x xx0
注：通常，导函数也简称为导数．
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说明三： 导数的几何意义
函数 f x 在点 x 0 处的导数 fx0 就是函数所表示的 曲线在点 x0,y0 处切线
的斜率． k f'(x0)
t 0
t
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v(t0)s'(t0)
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fx0
lim ylim f(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
加速度是速度v(t)关于 时间的变化率，物体在时刻 t 0 的加速度为
at0


lim
t 0
v t
lim vt0tvt0
x x 0
x 0
x
2、导数的几何意义
函数f x 在点 x 0 处的导数 fx0 就是函数所表示的 曲线在点x0,y0处切线斜率 k f'(x0)
3、导数的概念的应用 电流强度 、 冷却速度等
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导数在初等数学中的应用
一、导数在初等代数中的应用
例1 已知函数 f(x)ln(1x)x，gxxlnx
x. 于是分布在区间 0, x 上的质量m是x的函数 mm(x).对于
均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如 果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点x 0 线密度l .
lmx0
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总结
1、导数的概念
y
x x0
lim ylim f(x0 x)f(x0)
取得增量 x(点 x0 x 仍在该邻域内)时, 因变量 y也取得增量
y f x 0 x f x 0 如果y 与x之比当x 0时的极限存在，则称函数 yfx
在点 x 0 处可导，并称这个极限值为yfx在点x 0 处的导数，
记作 fx0, 即
t0
t
at0vt0
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三、案例
案例1 [温度曲线] 图中所显示的是某地某年中 每天最高温度的函数曲线， 指出大概什么时候温度的变 化率为零.
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t 15天 t21天1
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案例2 [电流强度]
设有非稳恒电流通过导线．从某一时刻开始到时刻 t 0
小值
（2）设证正明数：p p1 l 1 o g ,2 pp 1 2 ,p 2 l o g 2 ,p p 2 2p n3 满l o g 足2 p 3 p 1 p p 2 2n l o g 2 p 2 n p n 2n 1
(2019年全国Ⅰ)
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例3
已知函数 f (x) 1xeax 1x
瞬时变化率 lim y x0 x
y f x 0 x f x 0
y (2)
x
(3) lim y lim fx0xfx0
x x 0
x 0
x
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二、 概念和公式的引出
导数 设函数 yfx在 x 0的某一邻域内有定义. 当自变量 x在 x 0
处可导
如果 lim y x0 x
不存在，则称 yfx在 x 0 处不可导
如果
limy ,则称 x0 x
yfx在
x0
处导数为无穷大
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说明二： 导函数
如果函数 f ( x) 在区间 a,b 内每一点都有导数，
a,b
x1
x2 x
fx1 fx2
通过该导线横截面的电量为 Q , 则 Q 为t 的函数QQt.
求时刻t 0 的电流强度 It0.
I t0
lim t 0
Q t

Qt0tQt0
lim
t 0
t
It0Q t0
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案例3 [冷却速度]
当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却.
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导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化
的快慢程度．
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引例一[变速直线运动的瞬时速度]
如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地 反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶的瞬 时速度呢?
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设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的 路程，则S是 t 的一个函数 SS(t)，现要求任一
（（ⅠⅡ））求设函0数f a( x )的最b大，值证；明：0< g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2
（2019年全国高考Ⅱ ）
2
x 例2 （1）设函数 f( x ) x l o g 2 x ( 1 x ) l o g 2 ( 1 x ) （0＜ ＜1，求函数f ( x ) 的最
a （Ⅰ）设 ＞0，讨论 y f (x)的单调性；
（Ⅱ）若对任意x (0,1) 恒有 f ( x ) ＞1，求a 的取值范围．
（2019年全国Ⅰ套第21题，14分）
x 例4 已知函数f(x)x22alnx（ ＞0），f ( x ) 的导函数是f ( x ) ，对任意两个不相
x
等的正数 x 1 、x 2 ，证明：
fx0
lim ylim f(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
若物体的运动方程为 s s(t) ， 则物体在时刻t 0 的瞬时速度
vt0 为路程关于时间的变化率，即
vt0
lim S t0 t
lim St0 tSt0
t
0.5
0.01 0.0001 0 0.001 0.01 0.5
v s 17.150 19.551 t
19.600 19.6 19.605 19.649 22.050
从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段
t 很小时，平均速度 v 很接近某一确定的值19.6 (m/s)，即
为S (t)
（Ⅰ）求切线 的l 方程；
（Ⅱ）求 的最大值 S (t)
（2019年浙江 ）
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小结
一、导数的定义及其教学 二、导数的应用
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例 1 求函数 f (x) = x2 在 x0 = 1 处的导数，即 f (1). 解 第一步求 y ：
y = f (1+ x) - f (1) = (1+ x)2 - 12 = 2x +(x)2 .