广东省揭阳市高三数学下学期第一次模拟考试试题 理

揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号. 用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合{|2}A x y x ==
-，2{|20}B x x x =-<，则
（A ）A ∩B =∅
（B ）A ∪B =R
（C ）B ⊆A
（D ）A ⊆B
（2）设复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =
（A ）1i -+
（B ）1i --
（C ）1i +
（D ）1i -
（3）设)(x f 是定义在R 上的函数,则“)(x f 不是奇函数”的充要条件是
（A ）,()()x R f x f x ∀∈-≠- （B ）,()()x R f x f x ∀∈-≠ （C ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠-
（D ）000,()()x R f x f x ∃∈-≠
（4）8
(42)x
x --展开式中含2x
项的系数是
（A ）56- （B ）28- （C ）28 （D ）56
（5）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花
费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如右表示：
根据右表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此 可估计加工零件数为6时加工时间大约为
（A ）63.6 min （B ）65.5 min
（C ）67.7 min
（D ）72.0 min
（6）已知tan()24
x π+
=，则sin 2x =
（A ）3
5- （B 10
（C ）3
5
（D ）1
（7）执行如图1的程序框图，则输出S 的值为
零件数x (个) 2
3
4
5
加工时间
y (min)
26 39 49 54
2
(A) 2 (B) 3- (C) 12
-
(D)
13
（8）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，
则点P 在直线6x y +=下方的概率是 (A)
718
(B)
13 (C) 16 (D)518
（9）若x 、y 满足||||1x y +≤，则2z x y =-的取值范围是
(A)(,2]-∞-
(B)[2,2]-
(C)[1,1]-
(D)[1,)+∞
（10）双曲线22221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为0
45 的
直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
（A
（B
（C
）1（D
）1+（11）已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[1,2]-上的图像交于A 、B 、C 三点，则
△ABC 的面积是
(A)
2
(B)
4
(D)
4
（12）已知直线0(0)x y k k +-=>与圆2
2
4x y +=交于不同的两点A 、B ，O
为坐标原点，且有
|||OA OB AB +≥u u u r u u u r u u u r ,则k 的取值范围是
(A))+∞
(B)
(C) +∞）
(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）已知(1,2),(0,2)=-+=a a b ，则||=b ____________． （14）已知函数()f x 是周期为2的奇函数，当[)0,1x ∈时，()()lg 1f x x =+，则
2016
(
)lg185
f += ． （15）某组合体的三视图如图2示，则该几何体
的体积为 . （16）已知△ABC 中，角A 、
32
B 、
C 成等差数列， 且△ABC 的面积为12+，则AC 边的最小 值 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S n -=.(n N *
∈)
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设22,(21)2
,(2)
(1)(1)n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩
（k N *
∈），求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. （18）（本小题满分12分）
某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户的评分，得到图3所示茎叶图，对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意．
(Ⅰ)根据以上资料完成下面的2×2列联表，若据此数据算得
2 3.7781K ≈，则在犯错的概率不超过5%的前提下，你是否认为“满
意与否”与“性别”有关？
不满意 满意 合计 男 4 7 女 合计
附：
P (K 2≥k ) 0.100 0.050 0.010
k
2.706
3.841 6.635
(3人中恰有2人满意的概率；
(Ⅲ)从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
（19）（本小题满分12分）
如图4，已知四棱锥P —ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2.
3 3
4 6 8
5 1 3
6 4 6 2 4 5 5 1
7 3 3 5 6 9
8 3 2 1 图3
图5
F
B C
D
A
o
y x
图6
O
C
D
E
F
P
B A
（Ⅰ）若二面角P —CD —B 为45°，求证：平面BPC ⊥平面DPC ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A 到平面PBC 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知,0p m >，抛物线2
:2E x py =上一点(),2M m 到抛物线焦点F 的距离为
52
． （Ⅰ）求p 和m 的值；
（Ⅱ）如图5所示，过F 作抛物线E 的两条弦AC 和BD
（点A 、B 在第一象限），若40AB CD k k +=，求证：直线AB 经过一个定点．
（21）（本小题满分12分）
设函数2
()()ln f x x a x =-，a R ∈.
(Ⅰ)若x e =是()y f x =的极值点，求实数a 的值；
(Ⅱ)若函数2()4y f x e =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．
请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图6，圆O 的直径10AB =，P 是AB 延长线上一点，BP =2 ,割线PCD 交 圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F . (Ⅰ) 当=60PEC ∠o
时，求PDF ∠的度数； (Ⅱ) 求PE PF ⋅的值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ
=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2
213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）. （Ⅰ）求点C 对应的参数C t （用θ表示）；
（Ⅱ）若1F B AC =，求直线l 的倾斜角θ的值．
（24）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设a R ∈，()()1f x x a a x =-+-. （I ）解关于a 的不等式()20f <；
（II ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：C D C A B C A D B C C B
解析：11.由sin cos tan 1x x x πππ=⇒=，又[1,2]x ∈-得34
x =-
或 14x =
或5
4
x =，即点321252(,(,(,424242A B C --
, 故15322
[()][(2244ABC S ∆=
⨯--⨯=12. 22
<， 【或由2222
0,
22404.
x y k x kx k x y +-=⎧⇒-+-=⎨
+=⎩，因直线与圆有两个不同的交点，
所以22
48(4)0k k ∆=-->，】 由0k >
得0k <<①
如图，又由||||3OA OB AB +≥u u u r u u u r u u u r
得||||3OM BM ≥6
MBO π
⇒∠≥ 因||2OB =,所以||1OM ≥,
1k ≥⇒≥②
k ≤<二、填空题：
；
14.1；
15. 32+8π；
16.2.
解析：14. 由函数()f x 是周期为2的奇函数得
2016644
()()()5555f
f f f ==-=-（）9l
g 5=-5lg 9=，
故20165
(
)lg18lg lg18lg10159
f +=+== 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：2
1
442+24=32+82
ππ⨯⨯⨯⨯⨯. 16. ∵A 、
32B 、C 成等差数列，∴3A C B +=，又A B C π++=，∴4B π=，
由1sin 12
ABC S ac B ∆==+
2(2ac =，∵222
2cos b a c ac B =+
-22a c =+， 及222a c ac +≥
，∴2
(24b ac ≥-=，2b ≥，∴b 的最小值为2.
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）当2n ≥时，22
1222[(1)(1)]22n n n a S S n n n n n -=-=-----=---------2分
1n a n =-（2n ≥），-------------------------------------------------------------3分
当1n =时，由2
1211S =-得10a =，-----------------------------------------------4分
显然当1n =时上式也适合，
∴1n a n =-.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）∵
22211
,(1)(1)(2)2
n n a a n n n n +==---++------------------------------------6分
∴21321242()()n n n T b b b b b b -=+++++++L L -------------------------------------7分
022*******
(222)[()()()24462
n n n --=++++-+-++-+L L ]-----------------------9分
1
1()11412214
n
n -=
+--+----------------------------------------------------------11分
F
E
D
C
B
A
P
11411().6342
n n =
-⋅-+----------------------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）
-------------------------------2分
2 3.7781K ≈<3.84 1，
∵
∴在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关。

----------3分
（Ⅱ）由频率估计“满意”的概率为
60.320=，--------------------------------------4分
∴在3人中恰有2人满意的概率为2230.3(10.3)0.189C ⨯-=；【或
1891000
】--------------6分
（Ⅲ）ξ的可能取值为0、1、2、3，-----------------------------------------------7分
21
311
2171311(0)91
C C P C C ξ==⋅=，
11211343112
212171371346(1)91
C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，
2142
217134(3)91
C C P C C ξ==⋅=， 1146430(2)191919191P ξ==---=，-------------------10分
ξ的分布列为
---------------11分
数学期望46304118123.91
91
91
91
E ξ=⨯
+⨯+⨯=--------------------------------------12分
19.解法1：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，,PA CD ∴⊥ ∵AB //CD ，AB ⊥AD ，∴,CD AD ⊥
CD ∴⊥平面PAD ，CD ⊥PD ，---------------------2分
∴PDA ∠二为面角P —CD —B 的平面角，
045PDA ∴∠=，,AP AD ∴=---------------------4分
取PD 的中点E ，PC 的中点F ，连结AE ，BF ，EF ， 则AE PD ⊥，∵CD ⊥平面PAD ，
∴AE CD ⊥,AE ∴⊥平面PCD ，------------------------------------------------6分 ∵//EF CD 且12EF CD =
，1
//,2
AB CD AB CD =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF ，BF ∴⊥平面PCD ，
∵BF ⊂面BPC ，∴平面BPC ⊥平面DPC ----------------------------------------8分 （Ⅱ）设点A 到平面PBC 的距离为d ，由P ABC A PBC V V --=得1
1
33
ABC PBC PA S d S ∆∆⋅⋅=
⋅⋅--9分 不满意 满意 合计 男 3 4 7 女 11 2 13 合计
14
6
20
ξ 0 1 2 3
P
1191 4691 3091 491
BF AE PC ====Q -------------------------------------10分
11
121,22PBC ABC S BF PC S ∆∆∴=⋅⋅==⨯⨯=-----------------------------------11分
3d ∴=即点A 到平面PBC
的距离为3
---------------------------------------12分
【解法二：（Ⅰ）以A 为原点，以射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、
y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .
则()000A ,,，B ()()()()100,020,220,00,D C P a ,,,,,,,,
()()200,02,DC DP a u u u r u u u r
==-,,,,-----------------------2分
设()1111n x y z =u r ,,为平面PCD 的一个法向量，由1100
n DC n DP u r u u u r u r u u u r ìï?ïíï?ïî 解得11102x a y z ì=ïï
ïíï=ïïî，
取12z =得()102n a =u r
,,--------------------------------------------------------4分 又()2001n =u u r
,,是平面ACD 的一个法量. ------------------------------------------5分
∴1245n n ︒=<>=u r u u r
cos |cos ,|
，解得2a =. ---------------------------6分
设()3333n x y z =u u r ,,为平面PBC 的一个法向量，由3300n BC n BP u u r u u u r
u u r u u u r ìï?ïíï?ïî，解得333322x y x z ì=-ïïíï=ïî， 取31z =得()3211n =-u u r
,,--------------------------------------------------------7分 13130n n n n ⋅=∴⊥u r u u r u r u u r
Q ,，∴平面BPC ⊥平面DPC ------------------------------8分
（Ⅱ）设点A 到平面PBC 的距离为d ，
3d AP AP n =<>u u u r u u u r u u r Q |||cos ,|33AP n AP AP n ⋅=⋅u u u r u u r
u u u r u u u r u u u r ||
||||||
--------------------------10分
3
=
=
. ∴点A 到平面PBC
的距离为
3
-------------------------------------------------12分】 20．解：（Ⅰ）由点(),2M m 到抛物线焦点F 的距离为
52
，
结合抛物线的定义得，5
222
p +
=，即1p =，---------------------------------------2分 抛物线的方程为2
2x y =，把点(),2M m 的坐标代入，可解得2m =；------------------3分 （Ⅱ）解法1：显然直线AB 、AC 的斜率都存在， 分别设AB 、AC 的方程为1y k x b =+，21
2
y k x =+
---------------------------------4分 联立122y k x b x y
=+⎧⎨=⎩，得2
1220x k x b --=，------------------------------------------5分
联立22122y k x x y
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，得2
2210x k x --=，-------------------------------------------6分
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
则122x x b =-，131x x =-，同理，241x x =-，--------------------------------------7分
故4321214344AB CD
y y y y k k x x x x --+=+⋅=--2222
21432143
11()()224x x x x x x x x --+⋅-----------------------8分
12123412
11
2()2()022x x x x x x x x ++=
++=-+=，-----------------------------------9分 注意到点A 、B 在第一象限，120x x +≠，∴
12
12
02x x -=---------------------------10分 故得124x x =，24b -=，∴2b =-，即直线恒经过点()0,2-．----------------------12分 【解法2：:设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ， 显然直线AC 的斜率都存在，设AC 的方程为，1
2
y kx =+
----------------------------4分 联立2122y kx x y ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，得2
210x kx --=，---------------------------------------------5分
131x x ∴=-，同理，241x x =-，--------------------------------------------------6分
故4321214344AB CD
y y y y k k x x x x --+=+⋅=--2222
21432143
11()()224x x x x x x x x --+⋅-----------------------8分
12123412
11
2()2()022x x x x x x x x ++=
++=-+=，-----------------------------------9分
注意到点A 、B 在第一象限，120x x +≠， ∴
12
1202x x -=，故得124x x =，-------------------------------------------------10分 直线AB 的方程为21121()22x x x y x x +-=-化简得1212122222
x x x x x x y x x ++=-=- 即直线AB 恒经过点()0,2-．----------------------------------------------------12分】
21．解：（Ⅰ）'()()(2ln 1)a f x x a x x
=-+-，--------------------------------------2分
由x = e 是f (x )的极值点，得()'()30a f e e a e ⎛
⎫
=--
= ⎪⎝⎭
，解得a e = 或3a e =，---------3分 经检验，符合题意，所以a e =或3a e =；------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：由已知得方程2
()4f x e =只有一个根， 即曲线f (x )与直线2
4y e =只有一个公共点。

易知()(,)f x ∈-∞+∞，设()2ln 1a
h x x x
=+-
，------------------------------------5分 ①当0a ≤时，易知函数f (x )在(0,)+∞上是单调递增的，满足题意；--------------------6分 ②当01a <≤时，易知h (x )是单调递增的，又()2ln 0h a a =<，(1)10h a =-≥， ∴0(,1)x a ∃∈，0()0h x =，
当0x a <<时，'()()(2ln 1)a f x x a x x
=-+->0，∴f (x )在(0,)a 上单调递增，
同理f (x )在0(,)a x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
又极大值()0f a =，所以曲线f (x ) 满足题意；---------------------------------------8分 ③当a >1时，(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>， ∴0(1,)x a ∃∈，0()0h x =，即00
2ln 10a
x x +-
=，得0002ln a x x x -=， 可得f (x ) 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，
又()0f a =，若要曲线f (x ) 满足题意，只需20()4f x e <，即22
00()ln 4x a x e -<，
所以23200ln x x e <，由01x >知23
()ln 0g x x x =>，且在[1,+∞)上单调递增， 由2
()g e e =，得01x e <<，因为0002ln a x x x =+在[1,+∞)上单调递增，
所以13a e <<；----------------------------------------------------------------11分 综上知，(,3)a e ∈-∞。

---------------------------------------------------------12分
选做题：
22.解：(Ⅰ) 连结BC ，∵AB 是圆O 的直径 ∴则=90ACB ∠o
，------------------------1分 又=90APF ∠o ，CAB CBA EAP PEC ∠+∠=∠+∠----------------------------------2分 CBA PEC ∴∠=∠，-------------------------------------------------------------3分 ∵=60PEC ∠o =PEC=60PDF CBA ∴∠=∠∠o ；------------------------------------4分 (Ⅱ) 解法1：由（Ⅰ）知=PEC PDF ∠∠，
∴D 、C 、E 、F 四点共圆，--------------------------------------------------------6分 ∴PE PF PC PD ⋅=⋅,-----------------------------------------------------------7分 ∵PC 、PA 都是圆O 的割线，∴24PC PD PB PA ⋅=⋅=，------------------------------9分 ∴PE PF ⋅=24. ----------------------------------------------------------------10分
【解法2：∵,PEC PDF EPC DPF ∠=∠∠=∠，-----------------------------------6分 ∴△PEC ∽△PDF ------------------------------------------------------------7分 PE PC PD PF ∴=即,PE PF PC PD ⋅=⋅-----------------------------------------------8分 ∵PC 、PA 都是圆O 的割线，∴24PC PD PB PA ⋅=⋅=--------------------------------9分 ∴PE PF ⋅=24. ---------------------------------------------------------------10分】
23．解：（Ⅰ）在椭圆2
213
x y +=中， ∵23a =，21b =，∴222c a b =-=，即()
12,0F -，--------------------------2分 故02x =-，在直线l 的参数方程中，令0x =，解得2cos C t θ
=；--------------------4分 （Ⅱ）解法1：把2cos sin x t y t θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩
代入椭圆方程，并整理得： ()2212sin 22cos 10t t θθ+--=，----------------------------------------------6分 设点A 、B 对应的参数为A t 、B t ，由1F B AC =结合参数t 的几何意义得：
A B C t t t +=，即
22212sin cos θθθ=+，----------------------------------------------8分 解得1sin 2θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，∴6πθ=．----------------------------------10分 【解法2：设A 、B 两点的横坐标分别为A x 、B x ，
将直线l 的普通方程tan (2)y x θ=+代入椭圆方程并整理得：
2222(13tan )6tan 30x x θθθ+++-=，------------------------------------6分
则2213tan A B x x θθ
+=-+，-------------------------------------------------------7分
∵1||,||cos cos B A x x F B AC θθ
-== ------------------------------------------------8分
∴2213tan A B x x θθ
+==-+,
解得tan θ=，依题意知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得6πθ=. --------------------------------10分】 24．解：（I ）解法1：()(),2222143,2a a f a a a a ->⎧=-+-=⎨
-≤⎩----------------------2分 不等式()20f <等价于20a a >⎧⎨
-<⎩或者2430a a ≤⎧⎨-<⎩，-----------------------------------3分 解得2a >或423a <≤，即43
a >，∴所求不等式的解集为4(,)3+∞；-----------------4分 【解法2：由()20f <，得()2210a a -+-<，即()221a a -<-，----------------2分 ()()21221a a a --<-<-，解得43
a >，解集为4(,)3+∞；-------------------------4分】 （II ）()()(),12,ax a x a f x x a a x a x a x a -+≤⎧=-+-=⎨-->⎩
，-----------------------------6分 因为()0f x ≥恒成立，故有20200a a a a -≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≥⎩
，-----------------------------------------8分
解得01a ≤≤．-----------------------------------------------------------------10分。