第17章 虚位移原理

(e) (e) 动量定理 或 dK F 或 MaC F 质心运动定理 dt dLO mO ( F ) 0 动量矩定理 mO ( F ) dt
(e) F 0
还是静 力学方 程，无 意义。
2
动能定理
假设系统有一小的位移
dT 0
质点系自由度 ＝ 自由质点系自由度 — 约束（方程）数
2. 以刚体作为基本单元 自由刚体系：OA、AB；自由度 ＝ 3×2 ＝ 6 约束方程： 约束数 ＝ 5
xO 0, x A x A , yO 0, y A y A , yB 0
O
y
A
r
A
l

B
x
质点系自由度 ＝ 6 — 5 ＝ 1 质点系自由度 ＝ 自由刚体系自由度 — 约束（方程）数
注1：通常两种方法各有侧重，有些问题用几何法容易，有些问题用解析
法容易。一般容易作运动学分析的问题宜选用几何法。
注2：解析法（变分法）相当于“绝对法”；而几何法（运动分析法）通
常要用到“合成运动”的方法。即两种方法“对应”于运动分析的两种方 法。 12
三、虚功 力在虚位移上所做的功称为虚功。
力： W F r F r cos Xx Yy Zz 或 W mP (F ) mP (F ) 指力 F 对轴或瞬心P之矩，特别对刚体此式常用。
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解题步骤： (一)研究整体（不取分离体），并选广义坐标； (二)（若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位 移表示所有对应主动力的虚位移； （若用解析法，不画虚位移）画出直角坐标系，并求所有对 应主动力坐标的变分； (三)列解方程。 例1：本章开头例子 如图，系统平衡。已知Q、l、 ，求P。 分析：由几何法找“运动”关系比较难，而 结构规则，故用解析法较方便。 解：选 为广义坐标，建立坐标系如图。

AB瞬心在I：
所以，
rA
AI
BI BI BI rB rA OA AI AI

rB

O
rA
r
A
l


B
rB
2. 解析法（变分法） ri ri (q1 , q2 ,, qk ) 第 i 点： k ri 虚位移： ri qh qh h 1
7
上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用以下实用方法： ①固定质点系中任意质点或刚体的任一 方向的运动，若其他质点和刚体都不会 运动，则自由度为1，如图(1)；
y
A
r
O
l

B
②否则，再固定质点系中质点或刚体的另 一方向的运动，若其他质点和刚体都不会 运动，则自由度为2，如图(2)；
依此类推。
事实上，我们早已知道：
千呼万唤 始出来
WF 0
又称虚功原理
有了上述各种概念，可严格叙述为： 具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的充要条 件是，所有作用于质点系上的主动力在任何虚位移上所做虚功之和为零。 用虚位移原理可求两类问题：
一、求主动力或平衡条件（位置）——对几何可变体系
力偶： W m
I
例C: 曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。 解1：几何法 力偶M： WM M
rA

力F：
力G：
WF F rB
直接求C点虚位移不易，故不用 下式求虚功： WG G rC

O
r
A
C
l
M
G

B
F
rB
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解3：设物块虚位移沿斜面向上 ， 则摩擦力虚功：
F
WF F r

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§17-4 理想约束
动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：
约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。即满足：
WN 0
约束力的虚功——约束的动力学性质
我们已分析，大多数常见约束为理想约束。
§17-5 虚位移原理
几何约束——只限制质点或质 点系在空间的位置，约束方程 为位置坐标的代数方程（不含 位置坐标的导数）；
运动约束——除位移方面的限制外， 还有速度或角速度方面的限制，约束 方程为位置坐标的微分方程（或速度、 角速度及位置坐标的代数方程，显含 位置坐标的导数）。
4
2. 定常约束和非定常约束
定常约束——约束方程中不显含时间t；（如前二例） 非定常约束——约束方程中显含时间t。 变摆长单摆： 质点：小球 约束：铰链和绳
2 2 2 约束方程： x y (l0 v0t )
3. 完整约束和非完整约束 完整约束——约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积 （转换为有限形式）；（如前圆轮纯滚动） 非完整约束——约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。 二质点追踪问题： 质点A、B在平面内 运动，且A的速度 始终指向B。
i 1,2,, n

i 1,2,, n
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通常选直角坐标系，直接写各点直角坐标的变分，且不在图中画出虚位移： 例B：曲柄连杆机构 选为广义坐标，考虑几何关系：
y
A
l
x A r cos ,
r sin l sin
y A r sin
xA, yA与rA 的关系？
r
O
l 而用G对瞬心I 的力矩求： WG mI (G) G cos 2
解2：变分法 建立图示坐标系。选为广义坐标。 力偶M： WM M 力F：
y
A
r
O
C l
M
G

B
F
x
r sin l sin
r cos l cos
例子：
rA
卫 六里台 津 路

O
r
A
l
图(a)
鞍山西道
卫 津 路

rA

B
rB rB

r
A
l
图(b)
O


B
虚 位 移 与 实 位 移 的 比 较
虚位移 1. 为约束所容许； 2. 总为无限小；
实位移 1. 为约束所容许； 2. 可以是有限值；
3. 只与约束有关，与力、时间、 3. 除与约束有关，尚与力、时 初始条件无关，是一个纯粹的 间、初始条件有关； 几何概念； 4. 一个位置下可以有几组； 4. 所能实现的只有一组；
3. BC和滑块C mD ( F ) 0
结论：取3个分离体，列4个 方程——较繁，尚可忍受！
P
1
例B：考虑并回答解题步骤 如图，系统平衡。已知Q、l、 ，求P。
？？？ …… ！！！
分离体太多！中间未知量太多！方程太多！ ——太繁！不能忍受 ！！！ 怎么办？ 分析问题特点，引入新的求解思想： 结构特点：几何可变体系。 待求量特点：较少，且具有主动力的性质。 拓展思路：可否避开求中间反力直接建立P和Q 的关系？ 可否从动力学方程考虑？ 达朗贝尔原理？ 会得到纯静力学方程，无效！
力G：
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例D: 求摩擦力的虚功。
P P
r
r

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
F

×
F
解1：设物块虚位移沿斜面向下， 则摩擦力向上。摩擦力虚功：
解2：设物块虚位移沿斜面向上， 则摩擦力向下。摩擦力虚功：
WF F r WF F r ? 对吗？ ！！！——摩擦力与虚位移无关！ P
正确解法：
r
qj 为广义坐标
或
§17-3 虚位移 虚功
一、虚位移
定义：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任 何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。 虚位移的数学意义——广义坐标的变分 虚位移有两种情形： 质点的虚位移——线位移 刚体的虚位移——角位移 理解虚位移有4个要点： ①为约束所容许：即不能破坏 系统的约束； ②可能发生的：即假想的，与 时间无关； ③所有的：可不止一种； ④无限小：不改变系统位置。 9
xB r cos l cos
r cos l cos
xB r sin l sin r (sin cos tan )
WF F xB Fr(sin cos tan ) l yC r sin sin 2 l r yC r cos cos cos 2 2 r WG G yC G cos 2
O
y
A
B
vB
质点系：A、B 约束：A速度指向B
y A yB y A x A xB x A
vA
约束方程：
x
5
4. 双面约束（固执约束）和单面约束（非固执约束）
双面约束（固执约束）——不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制 相反方向的运动，约束方程为等式方程；（如前刚性杆单摆） 单面约束（非固执约束）——只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程 为不等式方程。 单摆：用绳连 约束方程：
所有直角坐标均可用广义坐标表示：
xi xi (q1 , q2 ,, qk ) i 1,2,, n yi yi (q1 , q2 ,, qk ) z z ( q , q , , q ) i 1 2 k i ri ri (q1 , q2 ,, qk ) i 1,2,, n
1. 以质点作为基本单元
曲柄连杆机构：
y
A
r
l
自由质点系：A、B；自由度 ＝ 2×2 ＝ 4 2 2 x A y A r 2 , yB 0 约束方程：
( x A xB ) 2 ( y A y B ) 2 l 2 约束数 ＝ 3 质点系自由度 ＝ 4 — 3 ＝ 1
O

B
x
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5. 在定常约束下，实位移是虚位移中的一组； 在非定常约束下，实位移可以不同于虚位移。
二、虚位移的求法——实际是求虚位移的关系 1. 几何法（运动分析法） 假想系统运动，找该位置下各速度（角速度）的关系，即各虚位移的关系。 通常将各有关虚位移用广义坐标的虚位移表示。
I
例A：曲柄连杆机构 选为广义坐标。 OA杆： rA OA


B
x
x A r sin , y A r cos
r cos l cos

xB r cos l cos
r cos l cos
xB r sin l sin r (sin cos tan )
例A：考虑并回答解题步骤 如图，系统平衡。已知Q、l、 ，求P。 分析： 1. 欲求P，可通过图(c)求， 但NC、SBE未知； 2. NC可通过整体求，图(a)； 3. SBE可通过AEB求，图(b)。 解：
1. 整体：mO ( F ) 0
X 0, Y 0
NC
S BE
2. E点（或BE、AE及重物）
二、约束的运动学分类
从三方面理解：概念、实例和约束方程。
常有以下4种（独立）分类方法： 1. 几何约束和运动约束 单摆：杆为刚性 质点：小球 约束：铰链和杆 约束方程： 圆轮纯滚动： 质点系：圆轮
约束：地面，无滑动
约束方程：
yO r , vO r 或 xO r
x2 y 2 l 2
图(1)
x
二、广义坐标
引入广义坐标的意义：
图(2)
如前面例子，当系统自由度较少、约束较多时，用 直角坐标和约束方程表示质点系的运动很麻烦，故 引入广义坐标。 如图(1)中，可选为广义坐标；图(2)中，可选 1、 2为广义坐标。
确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标。可为任意坐标，如直角坐 标和非直角坐标。 8 完整约束下，广义坐标数＝自由度数目。
虚位移
虚功
dT WF
WF 0 ——虚功方程，即虚位移原理
只包含P和Q，不含约束力， 故建立P和Q的简单关系。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
用动力学思想解 决静力学问题
第 17 章 虚位移原理
§17-1 约束 约束的运动学分类
静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面）；用约束力表 示；常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面）；用约束方程表 示；指运动限制条件。 一、约束和约束方程 自由质点系：运动不受任何限制。 限制条件用数学方程 非自由质点系：运动受到限制。 ——约束 表示即约束方程。 3
x2 y2 l 2
我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面 约束（或具有双面约束性质的单面约束）， 其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方 程表示。此处只讨论上述情形。
§17-2 自由度 广义坐标
一、自由度 具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度或自由 度数。 6
自由度的计算：