谱分析2010_PPT2—经典谱估计

（5）峰值和平滑谱的模糊和泄漏
•对于有大幅值范围的谱（像peaky spectra ），模糊和泄漏是特别重要的。

•对于平滑谱(smooth spectra )，模糊和泄漏重要性要小。

特别对于白
噪声周期图是个无偏谱估计器ˆ噪声，周期图是一个无偏谱估计器：注意:估计量是一个随机量。

无偏估计器指估计量均值等于待估计量真值。

{}p
E ()()φω=φω（6）周期图/相关图是一个渐近无偏谱估计器
ˆ•{}
p
Lim E ()()→∞
φω=φωN ˆ如果有可能增加N ，中的偏置将随着N 增加逐步消失。

•然而，周期图方法的主要问题是在大方差。

p
()φω
(2) 这两个因素造成的影响可否减少？——B-T 估计器BT
ˆ()φω1
j k
C
ˆˆ()r(k)e −−ωφω=∑
N （相关图）
k (1)
=−−N Truncating 和之截取（）
1j k
k (1)
ˆˆ()(k)r(k)e
(A)
M BT
M w −−ω=−−φω=∑
式中w (k) :一种延迟窗，对采样协方差序列的延迟作加权。

{w (k)}是一个偶函数，w (-k)=w (k) ，w (0)=1，w (k)=0 for |k|≥M ；w (k) 随着k 平
滑下降到0；M <N . 如果w (k)=1, |k|≤M -1，则为之a truncated version BT
ˆ()φωC ˆ()φωtruncated version.
1.7 一些一般的延迟窗
一些窗用以解决Smearing和Leakage之间的折衷，可以说这些窗的每些窗用以解决S i L k之间的折衷可以说这些窗的每一个看作为分辨力——统计精度之间折衷的一个点。

（）表，某些般的窗及其性质
1 2.1，某些一般的窗及其性质
These windows satisfy w(k)≡0 for |k|≥M, and w(k)=w(-k); the defining equations are valid for 0≤k≤(M-1).
21中那些固定的窗设计之外，还有一些窗保留一个设计参除了表2.1中那些固定的窗设计之外，还有些窗保留个设计参量，用于折衷分辨力和旁瓣泄漏。

两个这样的窗：Chebyshev窗和Kaiser窗。

Chebyshev窗：旁瓣波纹峰值级为常数（旁瓣级不随窗窗：旁瓣“波纹”峰值级为常数（旁瓣级不随频率增加而减小）。

Kaiser窗(2.6.8)：近似最佳窗——较之固定窗而γ
言调节参量对给定的主瓣宽度有较低的旁瓣级或者对给定言，调节参量，对给定的主瓣宽度有较低的旁瓣级，或者对给定的旁瓣级有较窄的主瓣宽度。

（2）窗与其自身的卷积——(i) 最佳窗设计，(ii) 把时间窗与协方差延迟窗关联起来。

上述窗中除了Bartlett窗之外，没有一个有非负Fourier变换。

窗与自身卷积产生这样种非负定窗。

Bartlett窗是矩形窗与自身的卷积。

自身卷积产生这样一种非负定窗。

以下讨论最佳窗设计和时间窗与协方差延迟窗的关联将利用窗与其自身的卷积。

(iv) 与为矩形时的差别B
ˆ()φωBT ˆ()φω(k)w •的方差高于B—T 利用的→ 的方差高于的方差。

•
Bartlett 方法利用固定的矩形延迟窗，在resolution-Leakage tradeoff 方面与
B ˆr (k)ˆr (k)B
ˆ()φωBT ˆ()φωB—T 方法相比柔性较小。

(v) Bartlett 估计与基本周期图估计之比较
前者较后者分辨力和方差降低均为因子L=N/M .
(vi) 在一类中的性能B
ˆ()φωBT
ˆ()φω矩形窗主瓣窄于其它延迟窗，旁瓣高于其它延迟窗：
(a) 矩形窗有最大的等效时间宽度，(b) 时间—带宽乘积是常数。

因此，在
类B T 估计器中B tl tt 估计器有()th l t i (d h th 一类B—T 估计器中，Bartlett 估计器，有(a) the least smearing (and hence the best resolution), (b) the most significant leakage (and hence the largest variance).
（2）Welch 方法
较之Bartlett 方法，两点细化(refining ）：
(a)数据段允许重叠(b)每个数据段计算周期图前加窗
(a) 数据段允许重叠，(b) 每个数据段计算周期图前加窗。

(iii) 为什么要对Bartlett方法作修正得到Welch方法？
()
(a) 原因1：重叠
(2.7.10)PSD的方差。

重叠，更多周期图在()中平均，希望减小估计的的方差
(b) 原因2：加窗
周期图计算中加窗，希望在估计的PSD之偏置/分辨特性上有更多控制。

(c) 原因3：时间窗（而不是延迟窗）
——
每段数据端点处数据采样较小加权这种去相关（decorrelation）更有效地通过平均减小方差。

(iv) Welch方法中加窗周期图Bartlett方法中非加窗周期图(iv)Welch~Bartlett
前者较后者提供了控制估计谱的偏置/分辨特性更多的柔性。

前者较后者提供了较低的方差，但差别并不很明显
前者较后者提供了较低的方差，但差别并不很明显。

(v) Welch估计器与B—T估计器的关系
(2.7.8) →(2.7.10)
(278)(2710)
(viii) 再谈Daniell 估计器~B—T 估计器
N 1M 1k j k ˆˆˆˆe (2724)()w(k)r(k)e (251)−−−ω−ωφφω•
同：都是相关图的a windowed version.j D
BT k (N 1)k (M 1)()w(k)r(k)(2.7.24)(2.5.1)=−−=−−ω==∑∑∼•不同：前者w (k)不像后者w (k)截取到M <N 。

(iX) Daniell 估计器谱窗的等效带宽和延迟窗的等效时间宽度()ωW (k)W e βe
N 虽然M 不能精确认为是延迟窗的一个“truncation point”，但它实质上起着B—估计器中“truncation point”的作用
D
ˆ()φωe e e ,1/β=β=β=N M
T 估计器中truncation point 的作用。

（4）小结
(i)经典谱估计方法，包括(a)(b) B—T (c) Bartlett (d) Welch ()()基本周期图，()方法，()方法，()方法，(e) Daniell 方法，全部都是periodogram-based 方法。

(ii)基本周期图方法最大的问题是方差大。

基本周期图之外的所有方法目的都在减小方差但代价是降低分辨力所用的手段是数据分组平均周期图差，但代价是降低分辨力。

所用的手段是：(a) 数据分组平均周期图：Bartlett 和
Welch 方法；(b)局部围绕感兴趣的频率平均周期图值：Daniell 方法；(c) 平滑周期图：B—T 方法。

(iii) 这些方法的Unified 框架是B—T approach ：所有方法都是它的一个特殊形式。

41。