多项式的加法与乘法

多项式的加法与乘法
一、课题内容和要求
给定两个多项式，用程序实现这两个多项式的相加和相乘。

（可以利用单链
表法实现）
例如给定多项式X+3X 2-4X 3+5X 4和多项式X 2+3X 3-4X 4。

二、需求分析
整个程序中有两个大类，项结点的TERM 类和多项式的POL YNOMINAL 的
类。

TERM 类用以存放项结点，POL YNOMINAL 类用以构建多项式的每一项。

而在进行多项式的加法和乘法时要进行多次的插入和删除操作，因此采用线性表
的链接存储。

主要的实现函数有多项式类的输入输出函数，多项式的相加函数，多项式的
相乘函数，几个友元函数。

而多项式类的构造函数和析构函数也是必不可少的。

最后加上主函数即能完成课题内容和要求。

三、概要设计
先定义链表类型结点和一元多项式，然后申明各个功能函数，并编写功能函
数的算法，然后定义一个主函数，用于调用各个功能函数。

其中输入输出函数由
链表进行存储。

其系统结构如图所示：
一元多项式的加法乘法运算
一元多项式的创建 一元多项式的乘法 一元
多项式
的加法 一元多项式的消除
一元多项式的创建流程图如下：
N
Y
（1）一元多项式的创建流程图
开 始 创建一个含有n 个链表类型结点的项
按降幂分别输入各项系数和指数 系数指数均小0？ 一元多项式创建成功
（2）多项式相加流程图
开始
判断输入
的p多项
式系
数>=0?
P q指数相等时系
数相加
当q的系数大于p，则跳过q->exp大的项
当q的系数小于p，
则p的系数和指数生
成新的节点插入p 进行运算
开始
给出两个多项式
将系数相乘，指
数相加
将运算结果相加，并输
出
（3）多项式的相乘流程图
四、详细设计
在定义多项式类polynominal之前，首先构建一个项结点的c++类Term，用以存放系数coef和指数exp。

具体实现代码如下：
class Term
{ public:
Term(int c,int e);
Term(int c,int e,Term* nxt);
Term* InsertAfter(int c,int e); //在this指针指示的结点后插入新结点
private:
int coef;
int exp;
Term *link;
friend ostream &operator<<(ostream &,const Term &); //重载"<<"，输出多项式的一项
friend class Polynominal;
};
Term::Term(int c,int e):coef(c),exp(e)
{ link=0;
}
Term::Term(int c,int e,Term *nxt):coef(c),exp(e)
{ link=nxt;
}
Term* Term::InsertAfter(int c,int e)
{ link=new Term(c,e,link); //为新项申请结点的存储单元，并用Term函数将
return link; //c,e和this->link的值填入新结点的相应域
}
其中公有成员函数InsertAfter的功能是建立一个新的项结点，系数为c,指数为e，并将新结点插入调用该函数项结点及其后继结点之间。

执行过程如下：在图a所示的链表中，调用q1->InsertAfter（3,14）。

函数InsertAfter将执行第一条语句link=new Term（c,e,link）。

该语句中有两处link没有明确指定是哪个结点的link域，那么他们就是this指针指向的link域。

由于是q1调用的InsertAfter，按c++语法，this就是q1,link域就是q1指向的结点的link 域，因此可以将语句link=new Term（c,e,link）看成是q1->link=new Term （c,e,q1->link）。

先将执行该语句赋值号右边new Term（c,e,q1->link），即先申请新项结点的存储单元（如图b所示），然后调用Term类的三个参数的构造函数Term（int c,int e,Term *next）,将c、e和q1->link的值分别赋给新相结点的coef、exp和link域（如图c所示），最后执行赋值，即将新项结点的地址赋值给q1的link域，最终结果（如图d所示）。

qx
-1 2 10
q1 q
图(a)已有的链表
-1 2 10
qx
q1 q
新项结点
图（b）申请新结点存储单元
-1 2 10
qx
q1 q
3 14
新项结点
图（c ）c,e和q1->link赋值给新项结点的相应域-
-1 2 10
qx
q1 q
3 14
新项结点
（d）新项结点的地址赋值给q1->link
此时通过重载运算符“<<”实现一个项结点的输出。

输出时，用coefX^exp形式表示coef X EXP
例如，用-4x^2表示-4x2
下面还要构建多项式的c++类。

具体代码如下：
class Polynominal
{ public:
Polynominal();
Polynominal& operator =(Polynominal &);
void AddTerms(istream& in); //输入多项式的各项，构造多项式链表
void Output(ostream& out)const; //将多项式送输出流
void PolyAdd(Polynominal& r); //多项式相加 void PolyMul(Polynominal& r1, Term* r2);
void PolyMul(Polynominal& r1, Polynominal& r2); //多项式相乘
private:
Term* theList; //单循环链表的表头指针
void Clear();
friend ostream & operator << (ostream &, const Polynominal &); friend istream& operator >>(istream&, Polynominal &);
friend Polynominal& operator +(Polynominal &, Polynominal &); friend Polynominal operator *(Polynominal &, Polynominal &); };
上述程序中给出了多项式类Polynominal的定义，其中包括3个公有函数成员：AddTerm、Output和PolyAdd。

AddTerms函数通过输入流in，输入多项式的各项构造一个多项式的单循环链表；Output函数将多项式按降幂方式送输出流；PolyAdd函数将多项式r加到指针this指示的多项式上。

可以通过重载运算符“<<”,”>>”和“+”，并将它们定义为多项式类的友元函数的方法，使之更符合输入输出和多项式运算的书写习惯。

既然已经有了我们需要的两大类，现在就可以编写相应的具体实现函数，来实现我们需要的功能。

当然首先需要的是多项式类的构造和析构函数。

具体代码如下：
Polynominal::Polynominal() //创建多项式的空的单循环链表
{ theList=new Term(0,-1); //分配表头结点的存储单元
theList->link=theList; //构成循环链表
}
void Polynominal::Clear() //撤销多项式的单循环链表
{
Term* p=theList->link;
while(p!=theList)
{ theList->link=p->link; //删除p结点
delete p; //释放p之存储空间
p=theList->link; //p指向下1个待删除结点
}
}
有了上述条件现在就可以建立多项式的输入输出函数，具体代码如下：
void Polynominal:: AddTerms(istream & in) //按降幂输入各项，构造单循环链表
{ Term* q=theList;
int c,e;
for(;;)
{ cout<<"按降幂输入多项式的系数和指数（exp，coef）以（0，0）结尾。

"<<endl;
cin>>c>>e;
if (c==0&&e==0) break; //当输入的指数小于0时，构造过程结束
q=q->InsertAfter(c,e); //将c,e插入表尾结点q之后
}
}
void Polynominal::Output(ostream& out)const
{ int first=1; Term *p=theList->link;
for ( ; p!=theList ; p=p->link)
{ if (!first && (p->coef>0)) out<<"+"; //在非第一项的正系数前输出+号
first=0;
out<<*p; //调用Term类上重载的"<<"操作
}
cout<<endl;
}
AddTerms函数从输入流in按降幂输入各项（c,e）来构造多项式的单循环链表，当输入（0，1）时构造结束。

Output函数遍历单循环链表将多项式按降幂方式送输出流，它调用项类Term上重载的“<<”操作符实现按项输出。

当上述所有的基础功能模块都完成时，我们就可以着手开始编写最重要的函数代码，多项式的相加和相乘函数了。

首先来分析下多项式相加的算法。

设有多项式p(x)和q(x),分别用单循环链表表示。

现将两个多项式相加，结果仍称为q(x),p(x)不变，即实现q(x)<-q(x)+p(x)。

设p和q分别指向多项式p(x),q(x)的当前正进行比较的项结点，初始时分别指向两多项式中最高次幂的项结点。

q1指向q的前驱结点。

对p(x)进行遍历，根据指针p,q的exp域的大小情况做相应处理实现加法运算。

多项式相加的算法步骤如下：
（1）若p->exp<q->exp，则q指示的项应该成为结果多项式中的一项，所以q1和q向右移一项，指针p不动。

（2）若p->exp==q->exp，则系数相加，即q->coef=q->coef+p->coef。

如果q->coef不为零，则指针q1和q均右移一个节点，否则从q(x)中删除q指示的结点，指针p右移一项。

（3）若p->exp>q->exp,则复制p指向的结点，并将其插入在q1之后，指针p右移一项。

重复上述处理，直到p(x)中全部结点都处理完。

下面给出多项式的相加函数：
//程序2.10 多项式相加函数
void Polynominal::PolyAdd(Polynominal& r)
{//将多项式r加到多项式this上
Term* q,*q1=theList,*p; //q1指向表头结点
p=r.theList->link; //p指向第一个要处理的结点
q=q1->link; //q1是q的前驱，p和q就指向两个当前进行比较的项
while (p->exp>=0) //对r的单循环链表遍历,直到全部结点都处理完
{ while (p->exp<q->exp) //跳过q->exp大的项
{ q1=q; q=q->link;
}
if (p->exp==q->exp) //当指数相等时，系数相加
{ q->coef=q->coef+p->coef;
if (q->coef==0) //若相加后系数为0，则删除q { q1->link=q->link; delete(q);
q=q1->link; //重置q指针
}
else
{ q1=q; q=q->link; //若相加后系数不为0，则移动q1和q
}
}
else //p->exp>q->exp的情况
q1=q1->InsertAfter(p->coef,p->exp); //以p的系数和指数生成新结点，插入q1
p=p->link;
}
}
void Polynominal::PolyMul(Polynominal& r1, Term* r2)
{ Term *p=r1.theList->link,*q=theList;
while(p->exp>=0)
{ q=q->InsertAfter(p->coef*r2->coef,p->exp+r2->exp);
p=p->link;
}
}
void Polynominal::PolyMul(Polynominal& r1, Polynominal& r2) { Polynominal poly;
Term *p=r2.theList->link;
while(p->exp>=0)
{ poly.PolyMul(r1,p);
PolyAdd(poly);
poly.Clear();
p=p->link;
}
}
多项式相加函数完成后，我们来看看多项式相乘函数：
void Polynominal::PolyMul(Polynominal& r1, Term* r2)
{ Term *p=r1.theList->link,*q=theList;
while(p->exp>=0)
{ q=q->InsertAfter(p->coef*r2->coef,p->exp+r2->exp);
p=p->link;
}
}
void Polynominal::PolyMul(Polynominal& r1, Polynominal& r2) { Polynominal poly;
Term *p=r2.theList->link;
while(p->exp>=0)
{ poly.PolyMul(r1,p);
PolyAdd(poly);
poly.Clear();
p=p->link;
}
}
然后给出几个友元函数：
//程序2.11 多项式C++类的几个友员函数。

ostream& operator <<(ostream &out,const Polynominal &x)
{ x.Output(out);
return out;
}
istream& operator >>(istream& in, Polynominal &x)
{ x.AddTerms(in);
return in;
}
Polynominal& operator +(Polynominal &a, Polynominal &b)
{ a.PolyAdd(b);
return a;
}
Polynominal operator *(Polynominal &a, Polynominal &b)
{ Polynominal r;
r.PolyMul(a,b);
return r;
}
最后给出主函数：
void main()
{
Polynominal p,q,q1;
cin>>p; cout<<"p= "<<p;//输入输出p多项式
cin>>q; cout<<"q= "<<q;//输入输出q多项式
q1=q;
q=q+p;
cout<<"q2=p+q= "<<q;//q2表示两者相加之和
q1=q1*p;
cout<<"q1=q1*p= "<<q1;//q1表示两者相乘之积
}
五、测试数据及其结果分析
测试用例为：多项式X+3X2-4X3+5X4和多项式X2+3X3-4X4
图示为输入第一个多项式p：X+3X2-4X3+5X4
图示为输入第二个多项式并计算出结果。

六、调试过程中的问题
出现的问题有很多，现在只截取一个简单的且具有代表性的问题如图所示：
这个问题是众多小问题的一个代表，告诫我，以后要在编程中细心，不仅需要注意算法，同时也要注意细节。

七、程序设计总结
虽然多项式的加法和乘法运算这个程序不是很难，尤其在自己已经刚刚学过了数据结构单链表部分后，但在两个星期的编程中自己仍碰到了不少问题，暴漏了自己在编程中的不足，导致很多问题都要求助网络或同学。

由此坚定了我以后要踏踏实实学好编程，注重算法，更注重细节的准则。

，。