第七章平面问题的极坐标解

第七章平面问题的极坐标解
一.内容介绍
在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。

二.重点
1. 基本未知量和基本方程的极坐标形式；
2. 双调和方程的极坐标形式；
3. 轴对称应力与厚壁圆筒应力；
4. 曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题。

知识点
极坐标下的应力分量
极坐标下的应变分量
极坐标系的Laplace算符
轴对称应力分量
轴对称位移和应力表达式
曲梁纯弯曲
纯弯曲位移与平面假设
带圆孔平板拉伸问题
楔形体问题的应力函数
楔形体应力
楔形体受集中力偶作用
极坐标平衡微分方程
几何方程的极坐标表达
应力函数
轴对称位移
厚壁圆筒作用均匀压力
曲梁弯曲应力
曲梁作用径向集中力
孔口应力
楔形体边界条件
半无限平面作用集中力
讨论题：楔形体顶端应力和无穷远应力分析
§7.1 平面问题极坐标解的基本方程
学习思路:
选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点：
1. 极坐标下的应力分量；
2. 极坐标平衡微分方程；
3. 极坐标下的应变分量；
4. 几何方程的极坐标表达；
5. 本构方程的极坐标表达；
6. 极坐标系的Laplace算符；
7. 应力函数。

为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示。

在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。

首先推导平衡微分方程的极坐标形式。

考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ , 则CD面上的应力分量为
如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。

同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。

设单元体的厚度为1，如图所示，考察其平衡。

首先讨论径向的平衡，注意到，可以得到
简化上式，并且略去三阶微量，则
同理，考虑微分单元体切向平衡，可得
简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即
以下推导极坐标系统的几何方程。

在极坐标系中，位移分量为uρ，uϕ，分别为径向位移和环向位移。

极坐标对应的应变分量为：径向线应变ερ，即径向微分线段的正应变；环向线应变εϕ为环向微分线段的正应变；切应变γρϕ为径向和环向微分线段之间的直角改变量。

首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移uρ，uϕ所引起的应变。

如果只有径向位移uρ，如图所示，借助于与直角坐标同样的推导，可以
得到径向微分线段AD的线应变为；环向微分线段AB=ρdϕ的相对伸长为；
如果只有环向位移u 时，径向微分线段线没有变形，如图所示，环向微分线段的相对伸长为；
将上述结果相加，可以得到正应变分量
,
下面考察切应变与位移之间的关系。

设微分单元体ABCD在变形后变为A'B'C'D'，如图所示，
因此切应变为
γρϕ =η + (β - α)
上式中η 表示环向微分线段AB向 ρ 方向转过的角度，即；β 表示径向微分线段AD向ϕ 方向转过的角度，因此；而α 角应等于A点的环向位移除以该点的径向坐标ρ，即。

将上述结果回代，则一点的切应变
为。

综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为
由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成 ρ 和ϕ 就可以了。

对于平面应力问题，有
对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，ν 分别换为
就可以。

平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为。

由于σ x+σ y= σ ρ+σ ϕ为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的Laplace
算符转换为极坐标的形式。

因为，x=ρcosϕ，y=ρsinϕ，即。

将ρ和ϕ和分别对x和y求偏导数，可得
根据上述关系式，可得以下运算符号
则
将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的Laplace算符。

另外，注意到应力不变量，因此在极坐标系下，平面问题的由应力表达的变形协调方程变换为
如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。

不难证明下列应力表达式是满足平衡微分方程的，
这里(ρ，ϕ)是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。

将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得
显然这是极坐标形式的双调和方程。

总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。

在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式
求解应力，然后通过物理方程
和几何方程求解应变分量和位移分量。

§7.2 轴对称问题的应力和相应的位移
学习思路:
如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时，称为轴对称结构。

轴对称结构的应力分量与ϕ 无关，称为轴对称应力。

如果位移也与ϕ 无关，称为轴对称位移问题。

本节首先根据应力分量与ϕ无关的条件，推导轴对称应力表达式。

这个公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。

因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。

轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解答。

应该注意的问题是如何确定轴对称问题。

学习要点：
1. 轴对称应力分量；
2. 轴对称位移；
3. 轴对称位移函数推导；
4. 轴对称位移和应力表达式。

考察弹性体的应力与ϕ 无关的特殊情况，如图所示，
即应力函数仅为坐标ρ 的函数。

这样，变形协调方程
，即双调和方程成为常微分方程
如将上式展开并在等号两边乘以ρ4,可得
这是欧拉方程，对于这类方程，只要引入变换ρ =e t，则方程可以变换为常系数的微分方程，有
其通解为：
注意到t = ln ，则方程的通解为
将上式代入应力表达式，则轴对称应力分量为
上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。

现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。

对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，可得应变分量
根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。

将上式代入几何方程
，可得位移关系式
对上述公式的第一式
的积分，可得
其中f（ϕ）为ϕ的任意函数。

将上式代入公式的第二式，
则
积分后可得
这里g（ρ）为 ρ 的任意函数。

将径向位移
和环向位移的结果代入公式的第三式
，则
或者写作
上式等号左边为ρ的函数，而右边为ϕ 的函数。

显然若使上式对所有的ρ 和ϕ 都成立，只有
其中F为任意常数。

以上方程第一式的通解为
这里H为任意常数。

为了求出f（ϕ)，将方程的第二式对ϕ求一次导数，可得
其通解
为。

另
外
，
将上述公式分别代入位移表达式
，可得位移分量的表达式
位移分量的表达式
中的A，B，C，H，I，K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。

上述公式表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。

但是在轴对称应力中，假如物体的几何形状和外力，包括几何约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。

这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不论ρ和ϕ 取什么值，都应有uϕ＝0。

因此,B = H = I = K = 0。

所以，轴对称应力表达式可以简化为
而位移表达式简化为
上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E， 分别换为
即可。

§7.3 圆筒受均匀分布压力的作用
学习思路:
本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。

问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。

除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。

这个解答工程上称为拉梅（Lamé）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。

学习要点：
1. 厚壁圆筒内外作用均匀压力；
2. 厚壁圆筒受内压力；
设有圆筒或圆环，如图所示。

内半径为a，外半径为b，受内压力q
1及外压力q
2
的作用。

显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，则其位移也是轴对称的。

将轴对称应力公式代入本问题的边界条件
求解可
得
联立求解上述公式，可得。

将上述所得的A，C回代轴对称应力公式，可得Lamé解答
当外壁压力q
为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆筒应力为
2
根据上述分析，容易看到径向应力小于零，为压应力；而环向应力大于零，为拉应力。

最大应力为发生在内壁的拉应力，其值为。