辗转相除法与更相减损术

所以，24和30的最大公约数为2x3=6
20和36的最大公约数为2x2=2
18和42的最大公约数为2x3=6
回顾 求两个数的最大公约数的方法．
先用两个公有的质因数连续去 除，一直除到所得的商是互质 数为止，然后把所有的除数连 乘起来.
思考：如何求8251和6105的最大公约数？
知识探究（一）:辗转相除法
小结 1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整 数，用较大的数除以较小的数，若余数不为 零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止， 这时的较小的数即为原来两个数的最大公约 数. 2. 更相减损术，就是对于给定的两个正 整数，用较大的数减去较小的数，然后将差 和较小的数构成新的一对数，继续上面的减 法，直到差和较小的数相等，此时相等的两 数即为原来两个数的最大公约数.
3.辗转相除法与更相减损术的区别
二者算理相似，有异曲同工之妙 1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除 法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算 次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当 两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明 显。 2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减 数与差相等而得到（差为0） 。
练习
228，2008 4 1855，1120 840，1764
35
84
知识探究（二）:更相减损术
下面两组数的公约数是否一样？最大公约数呢？ 为什么？ （1）112、42；（2） 42、70. ∵112-42=70， ∴112与42的所有公约数都是70的约数， 故112与42的所有公约数也是42与70的公约数， ∵ 42+70=112， ∴ 42与70的所有公约数也是112与42的公约数， 即这两组数的公约数恰好相同， 故最大公约数也相同.
下面两组数的公约数是否一样？最大公约数呢？ 为什么？ （1）112、42；（2） 42、70. 解：∵ 112-42=70 70-42=28 42-28=14 28-14=14 ∴112与42的最大公约数为14
求98与63的最大公约数为多少？ 98-63=35， 63-35=28， 35-28=7， 28-7=21， 21-7=14， 14-7=7.
辗转相除法 更相减损术
约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0)
除得的商正好是整数而没有余数，我们 就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b 的倍数，b称为a的约数。 如果一个整数同时是几个整数的约数， 称这个整数为它们的“公约数”，亦称 “公因数”；公约数中最大的称为最大 公约数。
问题提出
1813÷333=5„148
333÷148=2„37
148÷37=4
8251和6105的最大公约数是37
设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数 (a，b)的步骤如下：用a除以b，得 a÷b=q......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b； 若r1≠0，则再用b除以r1，得 b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1， 若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去， 直到能整除为止。其最后一个为被除数的余 数的除数即为(a, b)。上述求两个正整数的 最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里 得算法.
更相减损术:168-93=75， 93-75=18， 75-18=57， 57-18=39， 39-18=21， 21-18=3， 18-3=15， 15-3=12， 12-3=9， 9-3=6， 6-3=3.
例2 求325，130，270三个数的最大 公约数. 因为325÷130=2„65，130÷65=2， 所以325与130的最大公约数是65. 因为270÷65=4„10，65÷10=6„5， 10÷5=2，所以65与270最大公约数是5. 故325，130，270三个数的最大公约 数是5.
以较大的数减较小的数，接着把所得 的差与较小的数比较，并以大数减小 数。继续这个操作，直到所得的减数 和差相等为止，则这个等数或这个等 数与约简的数的乘积就是所求的最大 公约数。 上述求两个正整数的最大公约数的方 法称为更相减损术。
理论迁移
练习1. 分别用辗转相除法和更相减 损术求168与93的最大公约数. 辗转相除法：168÷93=1„75 93÷75=1„18 75÷18=4„3 18÷3=6
“求两个正整数的最大公约数”是数 学中的一个基础性问题，它有各种解决 办法，小学我们是如何计算的？那还有 没有别的方法？（只利用加减乘除运算）
回顾 求两个数的最大公约数的方法． 例：①求24与30的最大公约数． ②求20与36的最大公约数．
③求18与42的最大公约数．
（ 1） 2 24 30 3 12 15 4 5 （ 2） 2 20 36 2 10 18 5 9 2 18 42 （ 3） 3 9 21 3 7
知识探究（一）:辗转相除法
30÷24=1„6 24÷6=4 24和6的最大公约数为6，和30和24的最大公约数 相同 40÷18=2„6 18÷6=3 所以40和18的公 约数为6 36÷20=1„16 20÷16=1„4 16÷4=4
所以36和20的公约数为4
知识探究（一）:辗转相除法
思考：如何求8251和6105的最大公约数？
对于8251与6105这两个数，由于其公有的质 因数较大，利用短除法求最大公约数就比较 困难.
注意到8251÷பைடு நூலகம்105=1„2146，那么8251与 6105这两个数的公约数和6105与2146的公约 数有什么关系？
求8251和6105的最大公约数
8251÷6105=1„2146
6105÷2146=2„1813 2146÷1813=1„333
30÷24=1„6
试分别写出30和24的公约数，24和6的公约数。
36÷20=1„16
试分别写出36和20的公约数，20和16的公约数。
40÷18=2„6
试分别写出40和18的公约数，18和6的公约数。
知识探究（一）:辗转相除法
（ 1） 2 24 30 3 12 15 4 5 （ 2） 2 20 36 2 10 18 5 9 2 24 3 12 4
6 3 1
2 20 16 2 10 8 5 4
2 18 3 9 3 6 3 1
2 18 42 （ 3） 3 9 21 3 7
知识探究（一）:辗转相除法
发现：两个整数a和b（ab≠0，a>b） 的公约数与a除以b的余数和除数a的公 约数相同。a÷b=q„r中，a和b的公约 数与b和r的公约数相同，因为他们的 公约数相同，所以他们的最大公约数 也相同