高考数学二轮专题复习系列(8)圆锥曲线新人教版

解法一：由 e= c a
2
a2 b2
,得 2
a2
1 ,从而 a2=2 b2,c=b. 2
设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上 .
则 x12+2 y1 2=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，
(x12－ x22)+2( y12－ y22)=0, y1 y 2 x1 x2
x1 x2 4, y1 y 2 2.
2
2
2
2
又 x1 2 b2
y1 b2
1,
x2 2b 2
y2 b2
1,
两式相减，得
x12
x
2 2
2
2b
y12
y
2 2
0.
2
b
(x1 x 2 )( x1 x 2 ) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 0,
F2
y A
C1
O
F1
x
B
又 x1 x2
4.y1
y2
2.得 y1 x1
x1 x 2 . 2( y1 y2 )
设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB=－ x0 , 2 y0
又 (x0,y0)在直线
1
1
y= x 上， y0=
f
1(x 0,y 0)=0
点 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交点
f
2(x 0,y 0) =0
方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线
就没有 交点 .
2. 圆
圆的定义
点集：｛ M｜｜ OM｜ =r ｝，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 .
圆的方程
依双曲线定义，有 |PF 1|－ |PF2|=4,
依已知条件有 |PF1| ·|PF2|0+2 c2,∴ c2＜ 17 , 3
又∵ c2=4+ b2＜ 17 ,∴b2＜ 5 ,∴ b2=1.
3
3
答案： 1
【例 2】 已知圆 C1 的方程为 x 2 2 y 1 2 20 ，椭圆 C2 的方程为 3
直线与圆相交
有两个公共点
直线与圆相切
有一个公共点
直线与圆相离
没有公共点
②直线和圆的位置关系的判定
(i) 判别式法
Aa Bb C
(ii) 利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=
与半径 r 的大小关系来判
A2 B2
定. 3. 椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表 .
曲 线
性 质
椭圆
双曲线
抛物线
轨迹条件
点集： ({M ｜｜ MF1+ ｜ MF2 ｜ =2a, ｜ F 1F2｜＜ 2a ＝
点集： {M｜｜ MF1｜ - ｜ MF2｜ . =±2a, ｜ F2F2｜＞ 2a}.
点集 {M｜ ｜ MF｜ =点 M 到直线 l 的距离 }.
圆形
标准方程 顶点 轴
x2 + y 2 =1(a ＞ b＞ 0) a2 b2
变点 的坐标与曲线的方程 .
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变
换叫 做坐标轴的平移，简称移轴 .
坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y) ，在新坐
标系 x ′O′y′中的坐标是 (x ′,y ′ ). 设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是
(1) 标准方程
圆心在 c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2
圆心在坐标原点，半径为
r 的圆方程是 x 2+y2=r 2
(2) 一般方程
22
当 D +E -4F ＞ 0 时，一元二次方程
x 2+y2+Dx+Ey+F=0
叫 做 圆 的 一 般 方 程 ， 圆 心 为 (- D ,- E ， 半 径 是 22
. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲
线叫 做方程的曲线 .
点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0 ，则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C上 f(x 0,y 0)=0 ；
点 P0(x 0,y 0) 不在曲线 C 上 f(x 0,y 0) ≠０
两条曲线的交点 若曲线 C1， C2 的方程分别为 f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0, 则
A1(-a,0),A 2(a,0); B1(0,-b),B 2(0,b)
对称轴 x=0,y=0 长轴长： 2a 短轴长： 2b
x2
-
y2
=1(a ＞ 0,b ＞
a2 b2
0)
A1(0,-a),A 2(0,a)
对称轴 x=0,y=0 实轴长： 2a 虚轴长： 2b
焦点
F1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上
.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用
“先定形，后定式，再定量 ”的步骤 .
定形 —— 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 .
定式 —— 根据 “形 ”设方程的形式， 注意曲线系方程的应用， 如当椭圆的焦点不确定在哪个
坐标轴上时，可设方程为 mx2+ny2=1( m＞ 0,n＞ 0).
定量 ——由题设中的条件找到 “式 ”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小
其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率 .
当 0＜ e＜ 1 时，轨迹为椭圆
当 e=1 时，轨迹为抛物线
当 e＞ 1 时，轨迹为双曲线
5. 坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换 ( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )
叫做 坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改
a2
x=±
c
准线垂直于实轴，且在 两顶点的内侧 .
e= c ,e ＞ 1 a
x=- p 2
准线与 焦点位于顶 点 两侧，且到顶点的距离 相等 .
e=1
4. 圆锥曲线的统一定义
平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线
l 的距
离之 比是一个常数 e(e ＞0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线 .
求圆锥曲线的方程
【复习要点】
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转
化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好
圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一
起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法
( ±c+h,k)
(x - h) 2 (y - k) 2
+
=1
b2
a2
(h, ±c+k)
双曲线
(x - h) 2 - (y - k) 2 =1
a2
b2
(y - k) 2 (x - h) 2
2-
2 =1
a
b
( ±c+h,k) (h, ±c+h)
焦线
a2
x=± +h
c
y=± a 2 +k c
=± a 2 +k c
高三数学第二轮专题复习系列 (8)-- 圆锥曲线
一、知识结构
1. 方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一
个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
F1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上
焦距
｜ F1F2｜ =2c ，
c= a2 - b2
｜ F1F2｜=2c,
c= a2 b2
y2=2px(p ＞ 0)
O(0,0)
对称轴 y=
P
F( ， 0)
2
焦点对称轴上
准线 离心率
a2
x=±
c
准线垂直于长轴，且在 椭圆外 .
e= c ,0 ＜ e＜ 1 a
y2 x2
1.
直线 AB的方程为 y 1 ( x 2)..
即y x 3
将y
x
3代入
x2 2b 2
y2 b2
1, 得
3x 2 12 x 18 2b2 0.
直线 AB与椭圆 C2 相交 .
24b 2 72 0.
由 AB
2 x1 x2
2 ( x1 x2 )2 4x1 x 2
20 . 3
2
得 2 24b 72
x2+y2+Dx+Ey+F=0化为
D 2 E 2 - 4F . 配 方 ， 将 方 程 2
D2
E 2 D2
(x+ ) +(y+ ) =
2
2
E 2 - 4F 4
当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点
(- D ,- E ); 22
当 D2+E2-4F ＜ 0 时，方程不表示任何图形 .
点与圆的位置关系
y=± a 2 +k c
对称轴 x=h y=k
x=h y=k
x=h y=k
x=h y=k
2
(y-k) =2p(x-h)
抛物线
(y-k) 2=-2p(x-h) (x-h) 2=2p(y-k)
(x-h) 2=-2p(y-k)
( p +h,k)
x=- p +h
y=k
2
2
(- p +h,k)
x= p +h
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，C2 的离心率为
2 ，如果 C1 与 C2 相交于 A、 B 两点，且线段 AB 恰 2
为圆 C1 的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。
解：由 e 2 , 得 c 2a
2 , a 2 2c2 ,b 2 c2 . 2
设椭圆方程为
x2
2
2b
y2
2
1.
b
设 A(x1, y1 ).B(x 2 , y2 ).由圆心为 (2,1).
. 特别是在 出的曲线方
三、 考纲中对圆锥曲线的要求 ： 考试内容： . 椭圆及其标准方程 .椭圆的简单几何性质 .椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程 .双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程 .抛物线的简单几何性质； 考试要求： . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四 ．对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有 3 题 (1 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 22 分左右 , 考查的知 识点约为 20 个左右 . 其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查以圆锥 曲线的基本概念和性质为主 , 难度在中等以下， 一般较容易得分， 解答题常作为数学高考中的 压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考 查圆锥曲线中的重要知识点 , 通过知识的重组与链接 , 使知识形成网络 , 着重考查直线与圆锥 曲线的位置关系 , 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
20 .
3
3
解得 b 2 8.
x2 y2
故所有椭圆方程
1.
16 8
【例 3】 过点 (1， 0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为 2 的椭圆 C 2
相交于 A、B 两点，直线 y= 1 x 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于 2
直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程 .
已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则 ｜ MC｜＜ r 点 M在圆 C内， ｜ MC｜ =r 点 M在圆 C 上， ｜ MC｜＞ r 点 M在圆 C内，
其中｜ MC｜= (x 0 - a)2 (y 0 - b)2 .
(3) 直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系
.
【例题】
2
【例 1】 双曲线 x 4
2
y b2
=1( b∈ N )的两个焦点
F 1、 F2， P 为双曲线上一点，
|OP|＜ 5,|PF1|,|F1F2|,|PF 2|成等比数列，则 b2=_________.
解：设 F 1(－ c,0）、 F 2(c,0) 、 P(x,y),则 |PF 1|2+|PF2|2=2(| PO|2+|F 1O|2)＜ 2(52+c2), 即 |PF 1|2+|PF 2|2 ＜50+2c2, 又∵ |PF 1|2+|PF2|2=(|PF 1|－ |PF2|)2+2|PF1| |·PF 2|,
(h,k) ，则
x=x′+h
x
′=x -h
(1)
或 (2)
y=y′+k
y
′=y -k
公式 (1) 或 (2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 .
中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程
中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表 .
方程
焦点
椭圆
(x - h) 2 (y - k) 2 a 2 + b 2 =1
y=k
2
2
(h, p +k)
y=- p +k
x=h
2
2
(h,- p +k) y= p +k
x=h
2
2
二、知识点、能力点提示 ( 一) 曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 程才能准确无误 . 另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标 .