精品试题鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似同步训练试卷(无超纲)

八年级数学下册第九章图形的相似同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点G 是BD 的中点，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如果AD ＝1，BC ＝4，那么GE ：BC 等于（ ）
A ．3：8
B ．1：4
C ．3：5
D ．2：3
2、如图，△ABC 中，∥DE BC ，25
AD AB ，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）
A ．2：3
B ．2：5
C ．4：9
D ．4：25
3、如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，交BC 于F ，BH ⊥AF
于H ，交AC 于G ，交CD 于P ，连接GE 、GF ，以下结论：①△OAE ≌△OBG ；②四边形BEGF 是菱形；
③BE =CG ；④1PG
AE =；⑤S △PBC ：S △AFC =1：2，其中正确的有（ ）个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4、如图，点P 在ΔABC 的边AC 上，下列条件中不能判定ABP ACB ∽△△的是（ ）
A ．ABP C ∠=∠
B ．APB AB
C ∠=∠
C ．::AP AB AB AC =
D ．::AB BP AC CB =
5、如图，点 D ，E 分别在△ABC 的边 AB ，AC 上，且满足△ADE ∽△ACB ， ∠AED = ∠B ，
若 AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4，则 CE 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6、如图，a ∥b ∥c ，AC
CE =1
2，DF ＝12，则BD 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
7、如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =．点E ，G 分别在边BC ，AD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是（ ）
A ．2
B
C ．52
D 8、如图，P 为线段AB 上的一点，分别以AP 、PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBF
E ，点P 、E 、C 在一条直线上，60DAP ∠=︒，AP a =，BP b =，若E
F 平分CFA ∠，则a
b
为（ ）
A
1
B 3
C D 9、如图，甲、乙中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对甲、乙中两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A ．都相似
B ．都不相似
C ．只有甲中两个三角形相似
D ．只有乙中两个三角形相似
10、如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 的长为___．
2、如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝_________________．
3、己知：
3
(0)
2
x
y
y
=≠，则
x
x y
=
+
___________．
4、两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为2
36cm，则较大的多边形的面积为______cm2．
5、如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，∥
DE BC，若:3:4
AD AB=，则AE
EC
=____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，延长BC到点F，使CF=AE．
(1)求证：DE =DF ；
(2)在（1）的条件下，把△ADE 绕点D 逆时针旋转多少度后与△CDF 重合；
(3)现把DCF 向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH ，AH 交ED 于点G ．若8AD =，求EG 的长．
2、如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点．
(1)联结CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．求证：PC 2＝PE •PF ；
(2)若AB 2＝BD •DP ，求证：∠BPC ＝90°．
3、如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
①当0α=︒时，
AE BD =________；②当180α=︒时，AE BD
=______． (2)拓展探究
试判断：当0360α︒≤<︒时，
AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长________．
4、如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，AD ＝2，AC ＝3，ABC 的角平分线
AF交DE于点G，交BC于点F．
(1)求证：ADE ACB
∽；
(2)求AG
GF
的值．
5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，
(1)求证：△ACE∽△BDC．
(2)若AD=1，求DE的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．
【详解】
解：∵AD ∥BC ，
∴△AOD ∽△COB ，
∵AD =1，BC =4，
∴OD ：OB =AD ：BC =1：4，
∴设OD =x ，OB =4x ，则BD =5x ，
∵点G 是BD 的中点，
∴BG =12BD =2.5x ，
∴OG =OB -BG =4x -2.5x =1.5x ，
∵GE ∥BC ，
∴△OGE ∽△OBC ，
∴GE ：BC =OG ：OB =1.5x ：4x =3：8．
故选：A ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG 、OB 表示出来．
2、D
【解析】
【分析】
先证明,ADE ABC ∽可得2,ADE ABC S AD S AB 从而可得答案.
【详解】
解： ∥DE BC ，
,ADE ABC ∴∽ 而25
AD AB =， 24.25ADE ABC S
AD S AB 故选D
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的面积之比等于相似比”是解本题的关键.
3、C
【解析】
【分析】
证明()AHG AHB ASA ∆≅∆，得出GH BH =，得出AF 是线段BG 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得出EG EB =，FG FB =，由正方形的形状得出1
4522.52
BAF CAF ∠=∠=⨯︒=︒，45ABE ∠=︒，90ABF ∠=︒，证出BEF BFE ∠=∠，得出EB FB =，因此EG EB FB FG ===，即可得出②正确；设
OA OB OC a ==
=，菱形BEGF 的边长为b ，证出CF ==，由正方形的性质得出OA OB =，90AOE BOG ∠=∠=︒，证出OAE OBG ∠=∠，由ASA 证明OAE OBG ∆≅∆
，①正确；求出OG OE a b ==-，GOE ∆
是等腰直角三角形，得出GE
，)b a b -
，整理得a =
，得出2(2AC a b ==，(1
AG AC CG b =
-=，由平行线得出1BG
AG PG CG ===1AE PG
=()EAB GBC ASA ∆≅∆，得出BE CG =，③正确；证明()FAB PBC ASA ∆≅∆，
得出BF CP =
，因此1212
PBC
AFC BC CP S CP S CF AB CF ∆∆===，⑤错误；即可得出结论． 【详解】
解：AF 是BAC ∠的平分线，
GAH BAH ∴∠=∠，
BH AF ⊥，
90AHG AHB ∴∠=∠=︒，
在AHG ∆和AHB ∆中，GAH BAH AH AH AHG AHB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AHG AHB ASA ∴∆≅∆，
GH BH ∴=，
AF ∴是线段BG 的垂直平分线，
EG EB ∴=，FG FB =，
四边形ABCD 是正方形，
14522.52
BAF CAF ∴∠=∠=⨯︒=︒，45ABE ∠=︒，90ABF ∠=︒， 67.5BEF BAF ABE ∴∠=∠+∠=︒，9067.5BFE BAF ∠=︒-∠=︒， BEF BFE ∴∠=∠，
EB FB ∴=，
EG EB FB FG ∴===，
∴四边形BEGF 是菱形；②正确；
设OA OB OC a ===，菱形BEGF 的边长为b ， 四边形BEGF 是菱形，
//GF OB ∴，
90CGF COB ∴∠=∠=︒，
45GFC GCF ∴∠=∠=︒，
CG GF b ∴==，90CGF ∠=︒，
CF ∴，
四边形ABCD 是正方形，
OA OB ∴=，90AOE BOG ∠=∠=︒，
BH AF ⊥，
90GAH AGH OBG AGH ∴∠+∠=︒=∠+∠，
OAE OBG ∴∠=∠，
在OAE ∆和OBG ∆中，OAE OBG OA OB AOE BOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()OAE OBG ASA ∴∆≅∆，①正确；
OG OE a b ∴==-，
GOE ∴∆是等腰直角三角形，
GE ∴，
)b a b ∴=-，
整理得a =，
2(2AC a b ∴==+
，(1AG AC CG b =-=，
四边形ABCD 是正方形，
//PC AB ∴，
∴1BG AG PG CG == OAE OBG ∆≅∆，
AE BG ∴=，
∴1AE PG
=
∴1
PG
AE
=，④正确；
OAE OBG
∠=∠，45
CAB DBC
∠=∠=︒，
EAB GBC
∴∠=∠，
在EAB
∆和GBC
∆中，
45
EAB GBC
AB BC
ABE BCG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
，
()
EAB GBC ASA
∴∆≅∆，
BE CG
∴=，③正确；
在FAB
∆和PBC
∆中，
90
FAB PBC
AB BC
ABF BCP
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
，
()
FAB PBC ASA
∴∆≅∆，
BF CP
∴=，
∴
1
2
1
2
PBC
AFC
BC CP
S CP
S CF
AB CF
∆
∆
===
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】
解：A 、∵∠A =∠A ，ABP C ∠=∠，
∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；
B 、∵∠A =∠A ，APB AB
C ∠=∠
∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；
C 、∵∠A =∠A ，::AP AB AB AC =，
∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；
D 、∵∠A =∠A ，::AB BP AC CB =，
∴无法判断△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
首先利用相似三角形的性质可求出AE 的长，即可求解．
【详解】
解：∵△ADE ∽△ACB ， &#xF0D0;AED &#xF03D; &#xF0D0;B ，
∴AB ：AE =AC ：AD ，
而AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4
∴10：AE =8：4，
∴AE =5
∴853CE AC AE =-=-= ．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出BD 的长．
【详解】
解：∵a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF ==12
， ∵DF =12， ∴12BD =12
， ∴BD =6，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解决问题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
连接EG 交AC 于O ，根据菱形和矩形的性质证明△CEO ≌△AGO ，推出AO=CO ，由勾股定理求出AC 得到AO ，再证明△AOG ∽△ADC ，得到
AG AO AC AD
=，代入数值即可求出AG ． 【详解】
解：连接EG 交AC 于O ，
∵四边形EFGH 是菱形，
∴EG ⊥FH ，OE=OG ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D =90°，AD BC ∥，
∴∠ACB =∠CAD ，
∴△CEO ≌△AGO ，
∴AO=CO ，
∵
AC
∴12AO AC =
= ∵∠AOG =∠D =90°，∠OAG =∠CAD ，
∴△AOG ∽△ADC ， ∴AG AO AC AD
=，
=， ∴AG =52
故选：C ．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，是图形类的综合题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
过点F 作FN EB ∥，交AB 延长线于N ，根据菱形的性质推出∠FBN =∠CPB =60DAP ∠=︒，证明△PBE 是等边三角形，△BFN 是等边三角形，求出BN=FN=BF=b ，证明△CEF ≌△MEF ，得到EM=CE=a-b ，求出
BM=BE-EM =2b-a ，证明△ABM ∽△ANF ，得到
AB BM AN NF =，即22a b b a a b b +-=+，化简得2230a ab b +-=，求
出a =，即可得到答案． 【详解】
解：过点F 作FN EB ∥，交AB 延长线于N ，
∵四边形APCD 、PBFE 是菱形，
∴AD PC ∥∥BF ，
∴∠FBN =∠CPB =60DAP ∠=︒，
∵四边形PBFE 是菱形，
∴PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB =60︒，
∴∠N=∠PBE =60︒=∠FBN，△PBE是等边三角形，∴△BFN是等边三角形，
∴BN=FN=BF=b，
∵EF平分CFA
∠，
∴∠EFC=∠EFM，
∵EF=EF，∠BEF=∠FEC=60︒，
∴△CEF≌△MEF，
∴EM=CE=a-b，
∵BE=PB=b，
∴BM=BE-EM=2b-a，
∵FN EB
∥，
∴△ABM∽△ANF，
∴AB BM AN NF
=,
∴
2
2
a b b a
a b b
+-
=
+
，
得22
30
a a
b b
+-=
∴a==，∵a>0，
∴a=，
∴a b 故选：D ．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程，是一道几何和代数的综合题，正确引出辅助线并熟练掌握各知识点综合应用是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据相似三角形判定定理对甲、乙中两个三角形逐一判定即可得答案．
【详解】
∵甲中两个三角形的两个内角分别为75°、35°和70°、75°，
∴两个三角形的另一个内角的度数分别为70°和35°，
∴两个三角形的三个内角分别对应相等，
∴甲中两个三角形相似， ∵8364
≠， ∴乙中两个三角形不相似，
∴只有甲中两个三角形相似，
故选：C ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，两角分别对应相等的两个三角形相似；两对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；熟练掌握判定定理是解题关键．
10、C
【解析】
【分析】
利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．
【详解】
解：AD DE EB ==， ∴13AD AB =，12
AD AE =． ////DF EG BC ，
ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽． ∴
2()ADF ABC S AD S AB ∆∆=，2()ADF AEG S AD S AE ∆∆=． 99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．
945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形解答．
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
由DE //BC 可得出∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，进而可得出△ADE ∽△ABC ，再利用相似三角形的性
质可得出BC
DE
＝
AB
AD
，代入AD＝2，AB＝3，DE＝4即可求出BC的长．
【详解】
解答：解：∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，
∴BC
DE
＝
AB
AD
，即
4
BC
＝
3
2
，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2、10
3
##
1
3
3
【解析】
【分析】
根据AC2＝AD•AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可．
【详解】
解：∵AC2＝AD•AB，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC CD AB BC
=
∵AB＝6，BC＝4，AC＝5，
∴5
64
CD =
解得：CD＝10
3
，
故答案为10
3
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是利用已知条件证得两个三角形相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求得结论．
3、3
5
##0.6
【解析】【分析】
由
3
(0)
2
x
y
y
=≠，设3,2(0)
==≠
x k y k k，代入计算即可求解．
【详解】
解：由
3
(0)
2
x
y
y
=≠可知，设3,2(0)
==≠
x k y k k，
∴
333
3255
===
++
x k k
x y k k k
，
故答案为：3
5
．
【点睛】
本题考查了比例的性质，属于基础题，计算过程中细心即可．
4、64
【解析】
【分析】
根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．【详解】
解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm 2，
∴较大多边形的面积为64cm 2，
故答案为：64．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
5、3
【解析】
【分析】
根据∥DE BC 可得
34
AD AE AB AC ==，再根据EC AC AE =-，即可求解． 【详解】
解：∵∥DE BC ， ∴34AD AE AB AC ==， ∴34
AE AC =， 又∵14EC AC AE AC =-=
， ∴34314
A AE EC C AC ==， 故答案为3，
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的有关性质．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)90°
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可用SAS 直接证明△ADE ≌△CDF ，即可证明DE =DF ；
（2）由（1）结论证明∠EDF =90°即可；
（3）由中点性质及平移性质可得BH =CF =AE =4，由勾股定理可得AH ，再证明△AEG ∽△AHB ，利用相似三角形的性质即可得到答案．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =CD =AD =BC ，∠BAD =∠BCD =∠ABC =∠ADC =90°，
∴∠DCF =90°，
在△ADE 和△CDF 中，
DA DC DAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （SAS ），
∴DE =DF ；
(2)
解：由（1）可△ADE ≌△CDF ，
∴∠ADE =∠CDF ，
∴∠ADE +∠EDC =∠CDF +∠EDC =90°，
∴∠EDF =90°，
即△ADE 绕点D 逆时针旋转 90度后与△CDF 重合；
(3)
解：∵点E 是AB 的中点，
∴AE =BE =CF =12AB =12
AD =4． 又由平移性质可得CF =BH ，
∴AE =BE =CF =BH =4，
由平移可得DF ∥AH ，
由勾股定理得AH
∴∠AGE =∠EDF =90°，
∴∠AGE =∠B =90°，
又∠EAG =∠HAB ，
∴△AEG ∽△AHB ，
∴
EG AE BH AH ==，
∴EG 【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，证明△ADE ≌△CDF 是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质得出DC ∥AB ，BC ∥AD ，证明△DCP ∽△BFP ，△DEP ∽△BCP ，由相似三角形的性质得出PC DP PF PB =，PE DP PC PB
=，则可得出结论； （2）证明△CDP ∽△BDC ，由相似三角形的性质得出∠DCP ＝∠BDC ，证出∠DPC ＝90°，则可得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴DC ∥AB ，BC ∥AD ，
∴△DCP ∽△BFP ，△DEP ∽△BCP ， ∴PC DP PF PB =，PE DP PC PB
=， ∴，
PC PE PF PC =， ∴PC 2＝PE •PF ；
(2)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝CD ，∠DCB ＝90°，
∵2·AB BD DP =
∴DC 2＝BD •DP ， ∴DC BD DP CD
=，
又∵∠CDP＝∠BDC，
∴△CDP∽△BDC，
∴∠DCP＝∠BDC，
∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，
∴∠DPC＝90°，
∴∠BPC＝90°．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3、
(2)当0°≤α＜360°时，AE
BD
的大小没有变化，证明见解析
(3)BD
【解析】
【分析】
（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是
边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的AE
BD
值是多少．②α＝180°时，可得
AB∥DE，然后根据AC
AE
＝
BC
DB
，求出
AE
BD
的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据EC
DC
＝
AC
BC
ECA∽△DCB，然后由相似三角形
的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB 上时，分别求解即可．
(1)
解：①当α＝0°时，
∵Rt △ABC 中，∠B ＝90°，
∴AC ＝
∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，
∴AE ＝12AC BD ＝1
2BC ＝1，
∴AE BD ②如图1中，
当α＝180°时，
可得AB ∥DE ， ∵AC AE ＝BC BD
，
∴
AE BD ＝AC BC
(2)
解：如图2，
当0°≤α＜360°时，
AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD ＝∠ACB ，
∴∠ECA ＝∠DCB ，
又∵EC DC ＝AC BC ∴△ECA ∽△DCB ，
∴AE BD ＝EC DC 0°≤α＜360°时，AE BD
的大小没有变化． (3)
解：①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，
在Rt △BCE 中，CE BC ＝2，
∴BE ＝1，
∴AE ＝AB +BE ＝5，
∵AE BD
∴BD
②如图3﹣2中，当点E 在线段AB 上时，
BE
1，AE ＝AB -BE =4﹣1＝3，
∵AE BD
∴BD ，
综上所述，满足条件的BD 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
4、 (1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由相似三角形的判定方法可证△ADE ∽△ACB ；
（2）由相似三角形的性质可得∠ADE ＝∠C ，由角平分线的性质可得∠DAG ＝∠CAF ，可证
△ADG ∽△ACF ，可求解．
(1)
证明：∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴△ADE∽△ACB；(2)
解：∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴AG AD
AF AC
=，
∵AD＝2，AC＝3，
∴
2
3 AG
AF
=，
∴AG
GF
＝2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．5、 (1)见解析
(2)
5
3 DE=
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得出A B
∠=∠，可证明ACE BDC
∽；
（2）由勾股定理求出4
AB=，由相似三角形的性质得出AC AE
BD BC
=，可求出DE的长，则可得出答案．
(1)
解：证明：90ACB ∠=︒，CA CB =，
1(18090)452
A B ∴∠=∠=︒-︒=︒， 又45CDB A ACD ACD ACE ACD DCE ∠=∠+∠=︒+∠=∠=∠+∠，
ACE BDC ∴∽；
(2)
解：由勾股定理得4AB ，
设DE 长为x ，
1AD =，
3BD ∴=，1AE x =+，
ACE BDC ∽， ∴AC AE BD BC
=，
解得53
x =， 即53
DE =． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明ACE BDC ∽．。