人教版高中数学必修五课时作业17：3.3.2 简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题
基础过关
1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，
x －y －2≤0，y －3≤0，
则目标函数
z ＝y －2x 的最小值为
( ) A.－7 B.－4 C.1
D.2
解析 可行域如图阴影部分(含边界).
令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过D 点时，z 取得最小值. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5，3). ∴z min ＝3－2×5＝－7. 答案 A
2.若满足条件⎩⎨⎧x －y ≥0，
x ＋y －2≤0，y ≥a
的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰
有9个，则整数a 的值为( ) A.－3
B.－2
C.－1
D.0
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点.故选C.
答案 C
3.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥5，
x －y ＋5≥0，x ≤3，
使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解
有无数个，则a 的值为( ) A.－3 B.3 C.－1
D.1
解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.
答案 D
4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2，
y ≤2，x ＋y ≥2，
则z ＝x ＋2y 的取值范围是________.
解析 如图，作出可行域，
作直线l ：x ＋2y ＝0，
将l 向右上方平移，过点A (2，0)时，有最小值2，过点B (2，2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2，6]. 答案 [2，6]
5.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元. 解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，
则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .
目标函数为z ＝200x ＋300y .
作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元. 答案 2 300
6.设x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥4，
x －y ≥－1，x －2y ≤2，
求x ＋y 的取值范围.
解 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，
x －2y ＝2，解得A (2，0).
z 最小值＝2，z 无最大值，
∴x＋y∈[2，＋∞).
7.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t救援物资的任务.该公司有8辆载重6 t的A型卡车与4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？
解设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆.列表分析数据.
A型车B型车限量
车辆数x y 10
运物吨数24x 30y 180
费用320x 504y z
由表可知x，y满足线性约束条件
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧x＋y≤10，
24x＋30y≥180，
0≤x≤8，
0≤y≤4，
x，y∈N，
且目标函数z＝320x＋504y.
作出线性区域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5，0)时，z 最小，但A (7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8，0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，0辆B 型车，成本费最低.
所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低.
能力提升
8.已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，
x ≤1，y ≤2
上的
一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )
A.[－1，0]
B.[0，1]
C.[0，2]
D.[－1，2]
解析 作出可行域，如图所示，
因为OA
→·OM →＝－x ＋y . 所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1，1)时，z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；
过点Q (0，2)时，z 有最大值， z max ＝0＋2＝2，
所以OA →·OM →的取值范围是[0，2]. 答案 C
9.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，
则2y ＋2
x ＋1
的最大值是(
)
A.5
B.6
C.8
D.10
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)，z ＝2y ＋2
x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋1x ＋1，y ＋1
x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0，4)时，斜率最大，最大值为
4－（－1）0－（－1）
＝5，
∴z max ＝2×5＝10.故选D. 答案 D
10.某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品________吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大.
解析 设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
9x ＋4y ≤300，
4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15.
目标函数为S ＝7x ＋12y ，可行域如图阴影部分(含边界)所示，
从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，S 取最大值.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，
3x ＋10y －300＝0，
得A (20，24)，
故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元). 答案 20 24
11.已知⎩⎨⎧x ≥1，
x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，
则x 2＋y 2的最小值是________.
解析 令z ＝x 2＋y 2，画出可行域， 如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝
x 2＋y 2，
即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝
1＋4＝5，
∴z min ＝d 2＝5. 答案 5
12.某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积 2 m 2，可做A ，B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A ，B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小. 解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，
所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y . 可行域为如图所示的阴影部分(含边界)，
其中l 1：3x ＋6y ＝45，l 2：5x ＋6y ＝55， l 1与l 2的交点为A (5，5)，
目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，
此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25. 即甲、乙两种薄钢板各5张， 能保证制造A ，B 的两种外壳的用量， 同时又能使用料总面积最小.
13.(选做题)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，
x －y ＋1≥0，x ≤2.
(1)求2x ＋y 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值； (3)
求y
x 的最大值和最小值.
解
不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，x ≤2
表示的平面区域如图阴影部分所示.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2，∴A (1，2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1) (1)∵z ＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z .
当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z max ＝2×2＋3＝7.
当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内的点A (1，2)时，直线 在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z min ＝2×1＋2＝4. ∴2x ＋y 的最大值为7，最小值为4.
(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，
x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32
，
∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32在线段AB 上，也在可行域内，此时可行域内的点M 到原点的距离最
大，点N 到原点的距离最小. 又|OM |＝13，|ON |＝92，
即
92≤
x 2＋y 2≤13，
∴x 2＋y 2的最小值为9
2，最大值为13.
(3)∵y
x 表示可行域内一点(x ，y )与定点O (0，0)连线的斜率，由图知 k OB ≤y x ≤k OA ，即12≤y
x ≤2， ∴y x 的最大值为2，最小值为12.。