2013年高三数学一轮复习 专题五知能演练轻松闯关 新人教版

2013年高三数学一轮复习 专题五知能演练轻松闯关 新人教版
1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2
＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A 、B . (1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；
(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．
解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2
＝4，解之得m ＝0或m ＝45
.
故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距
离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2
，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. 2．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2
＝4y 是否相切？说明理由．
解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．
因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0
×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．
从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22
＝22，
故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2
＝8.
法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2
. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩
⎪⎨⎪
⎧
4＋m 2
＝r 2
，|2－0＋m |
2＝r ，解得⎩⎨
⎧
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x －m ，x 2
＝4y ，得x 2
＋4x ＋4m ＝0.
Δ＝42
－4×4m ＝16(1－m )．
当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 3．(2011·高考某某卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2
3
＋y 2
＝1.如图所示，
斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．
(1)求m 2＋k 2
的最小值；
(2)若|OG |2
＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．
解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意知t >0.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋t ，x 2
3
＋y 2
＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2
－3＝0.
由题意知Δ>0，所以3k 2
＋1>t 2
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt
3k 2＋1
，
所以y 1＋y 2＝2t
3k 2＋1
.
由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t
3k 2＋1
，
此时k OE ＝y E x E ＝－1
3k
.
所以OE 所在直线方程为y ＝－1
3k
x .
由题意知D (－3，m )在直线OE 上，得m ＝1
k
，即mk ＝1，
所以m 2＋k 2
≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，
此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2
取最小值 2.
(2)证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－1
3k
x ，
将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，
解得G ⎝
⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2
＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt
3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝
⎛⎭⎪⎫－3，1k ，
由距离公式及t >0得
|OG |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2
＋12＝9k 2
＋13k 2＋1， |OD |＝ －3
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 2＝9k 2
＋1k ，
|OE |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2
＋13k 2
＋1，
由|OG |2
＝|OD |·|OE |得t ＝k ，
因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．
4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，
右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲
线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上，
有x 20a 2－y 20
b
2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15
，可得a 2＝5b 2
，
c 2＝a 2
＋b 2＝6b 2， e ＝c a ＝305
. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，
得4x 2－10cx ＋35b 2
＝0.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝5c
2
，x 1x 2
＝35b
2
4
.①
设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →
，即⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.
又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2
，有
(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2
.
化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2
.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，
所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2
.
由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )
＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2
，
②式可化为λ2
＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
5．设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.
(1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2
＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58
|AB |，求椭圆的方程．
解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以
a －c
2
＋b 2
＝2c .整理得
2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c
a
－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.
(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2
＋4y 2
＝12c 2
，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．
A ，
B 两点的坐标满足方程组⎩⎨
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2
，
y ＝3x －c .
消去y 并整理，得5x 2
－8cx ＝0.解得x 1
＝0，x 2＝8
5c .得方程组的解⎩⎨
⎧
x 1＝0，
y 1＝－3c ，
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝8
5c ，y 2
＝335c .
不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
85
c ，335c ，B (0，
－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33
5c ＋3c 2＝165
c . 于是|MN |＝5
8
|AB |＝2c .
圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |
2
.
因为d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2
＋12c －52＝0.得c ＝－267
(舍)，或c ＝2.
所以椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
6．(2012·某某调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值X 围．
解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)，
则右焦点为F (a 2
－1，0)．
由题意，知|a 2
－1＋22|2
＝3，解得a 2
＝3.
故所求椭圆的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m x 23
＋y 2
＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2
－1)＝0.
∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，
∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2
＋1，①
∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1
，
∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2
＋1
3mk
.
又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，
则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k
，即2m ＝3k 2
＋1，②
把②代入①，得m 2
<2m ，解得0<m <2.
由②得k 2
＝2m －13>0，解得m >12
.
综上可得，m 的取值X 围是1
2
<m <2.。