2021新高考数学限时集训2 排列、组合与二项式定理

专题限时集训(二)排列、组合与二项式定理
概率与统计
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()
A．120种B．90种C．60种D．30种
C[C16C25C33＝60.]
2．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()
A．10名B．18名C．24名D．32名
B[由题意知，第二天在没有志愿者帮忙的情况下，积压订单超过500＋(1 600—1 200)＝900份的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配
＝18(名)，故选B．]
货的概率不小于0.95，至少需要志愿者900
50
3．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)
＋0.63＝0.648.故选A．]
4．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
A．12种B．18种C．24种D．36种
D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝36(种)．
故选D．]
5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()
A．12 B．16 C．20 D．24
A[展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.]
6．(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()
A．10 B．20 C．30 D．60
C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.
所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C．
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C．]
7．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
A [记9个原始评分分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i (按从小到大的顺序排列)，易知e 为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A ．]
8．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑4
i ＝1p i
＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4
B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1
C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3
D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2
B [对于A ，当p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4时，随机变量X 1的分布列为
E (X 1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D (X 1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－
2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋
1.52×0.1＝0.65，所以D (X 1)＝0.65.
对于B ，当p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1时，随机变量X 2的分布列为
E (X 2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D (X 2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－
2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋
1.52×0.4＝1.85，所以D (X 2)＝ 1.85.
对于C ，当p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3时，随机变量X 3的分布列为
E (X 3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D (X 3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－
2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋
1.52×0.2＝1.05，所以D (X 3)＝ 1.05.
对于D ，当p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2时，随机变量X 4的分布列为
E (X 4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D (X 4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－
2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以D (X 4)＝ 1.45.所以B 中的标准差最大．]
9．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
( )
A ．112
B ．114
C ．115
D ．118
C [不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和
等于30的有3对，所以所求概率P ＝3C 210
＝115，故选C ．] 10．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A ．62%
B ．56%
C ．46%
D ．42%
C [不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96%＝100×60%－x ＋100×82%，所以x ＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C ．]
11．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区
新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是()
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．
法二：因为0.6＜0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．]
12．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是()
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化
比较平稳
A[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．
故选A．]
13．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
D[依据给出的柱形图，逐项验证．
对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D．]
14．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m 项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()
A．18个B．16个C．14个D．12个
C [由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，
其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；
②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．
故共有14个．故选C ．]
15．[一题两空](2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.
假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
16 23 [依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16.甲、乙两球都不
落入盒子的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13
，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.]
16．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
36 [由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C 24＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应
的3个小区，有A 33＝6种安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．]
1．(2020·泰安模拟)在中国国际大数据产业博览会期间，有A ，B ，C ，D ，E ，F 六名游客准备前往葫芦岛市的四个网红景点——“葫芦山庄、兴城古城、菊花岛、九门口”进行旅游参观．若每名游客只去一个景点，每个景点至少要去一名游客，其中A ，B 需要到同一景点旅游，则不同的旅游方法有( )
A ．120种
B ．240种
C ．360种
D ．480种
B [因为A ，B 需要到同一景点旅游，可以把A ，B 看作一个整体，故不同的
旅游方法有C 25A 44＝240种．]
2．(2020·大同调研)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A ．210
B ．180
C ．160
D ．175
B [法一：因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k
＝(－2)k C k 10x 10－k 2－2k ＝(－2)k C k 10x 5－52k ，令5－52
k ＝0，解得k ＝2，所以常数项为(－2)2C 210＝180，故选B ．
法二：因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n ＝10，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 210可以看成10个多项式x －2x 2相乘，要想得到常数项，则需在其中2个多项式中取－2x 2，余下的8个多项式中都取x ，则常数项为C 210⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 22 (x )8＝180.]
3．(2020·唐山模拟)在(x ＋y )(x －y )5的展开式中，x 3y 3的系数是( )
A ．－10
B ．0
C ．10
D ．20
B [法一：(x －y )5展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k
C k 5x
5－k y k (k ＝0，1，2，3，4，5)，所以(x ＋y )(x －y )5展开式的通项为(－1)k C k 5x 6－k y k 或(－1)k C k 5x
5－k y k ＋1，则当k ＝3时，有(－1)k C k 5x 6－k y k ＝－10x 3y 3，当k ＝2时，有(－1)k C k 5x
5－k y k ＋1＝10x 3y 3，所以x 3y 3的系数为0，故选B ．
法二：(x ＋y )(x －y )5＝(x ＋y )(x －y )(x －y )(x －y )(x －y )(x －y )，要想出现x 3y 3，有两种情况：(1)先在第一个多项式中取x ，再在后五个多项式中任选两个多项式，在
这两个多项式中取x ，最后在余下的三个多项式中取－y ，所以有x C 25x 2(－y )3＝－
10x 3y 3；(2)先在第一个多项式中取y ，再在后五个多项中任选三个多项式，在这三
个多项式中取x ，最后在余下的两个多项式中取－y ，所以有y C 35x 3(－y )2＝10x 3y 3.
所以x 3y 3的系数为0，故选B ．]
4．(2020·临沂模拟)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( )
A ．19
B ．16
C ．29
D ．518
C [由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142，112，241，
142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为418＝29，故选C ．]
5．(2020·江西红色七校第一次联考)下表是鞋子的长度与对应码数的关系：
已知人的身高y (单位：cm)与脚板长x (单位：cm)线性相关且回归直线方程为y
^＝7x －7.6.若某人的身高为173 cm ，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为( )
A ．40
B ．41
C ．42
D ．43
C [当y ＝173时，x ＝173＋7.67
＝25.8，对照表格可估计码数为42.] 6．(2020·安徽示范高中名校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化会议在芜湖举行，长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到
上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A ．2764 B ．916 C ．81256 D ．716
B [4名高三学生从这四个地方中各任意选取一个去旅游，共有44种可能结
果．设事件A 为“恰有一个地方未被选中”，则事件A 可能的结果有C 24A 34＝
144(种)，所以P (A )＝14444＝916.故选B ．]
7．(2020·惠州第二次调研)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和”，如40＝3＋37.在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是( )
[注：如果一个大于1的整数除了1和它本身外无其他正因数，则称这个整数为素数．]
A ．115
B ．117
C ．122
D ．126
C [不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数.40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数的和等于40，所以随机选取2个
不同的数，其和等于40的概率为3C 212
＝122，故选C ．] 8．(2020·兰州诊断)近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图如图所示．
年份代码
1 2 3 4 5 羊只数量/万只
1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草场植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若
利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则|r 1|＜|r 2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数．以上判断中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B [由散点图可知，羊只数量和草场植被指数成负相关，所以羊只数量与草场植被指数有相关关系，但不是函数关系，故①错；－1＜r 1＜0，－1＜r 2＜0，在去掉第一年数据之后，由题图可看出回归模型的相关程度更强，所以r 2更接近于－1，所以0＜|r 1|＜|r 2|＜1，故②正确；因为回归直线方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值，故③错．综上所述，判断中正确的个数是1，故选B ．]
9．(2020·南昌模拟)已知一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x 6，
y 6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为y ^＝－2x ＋4，若x 1，x 2，x 3，…，x 6的平
均数为1，则y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 6＝( )
A ．10
B ．12
C ．13
D ．14
B [回归直线过样本点的中心(x ，y )，因为x ＝1，所以y ＝－2×1＋4＝2，所以y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 6＝6×2＝12.故选B ．]
10．(2020·南京模拟)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，则学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为( )
A ．512
B ．112
C ．775
D ．475
C [首先将5名学生分为3组，若按3，1，1进行分组，有C 35种分组方法；
若按2，2，1进行分组，有C 15C 24A 22
种分组方法，再将分好的三组分别安排到三个比赛项目，有A 33种安排方法，综上所述，不同的安排方法共有⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 35＋C 15C 24A 22×A 33＝150种．学生甲被单独安排去冰球比赛项目，则剩余的4名大学生安排到剩余的两个
比赛项目，同理有⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 34＋C 24A 22×A 22＝14种不同的安排方法，则所求概率为14150＝775，故选C ．]
11．[多选](2020·济南模拟)若(1－ax ＋x 2)4的展开式中x 5的系数为－56，则下列结论正确的是( )
A ．a 的值－2
B ．展开式中各项系数和为0
C ．展开式中x 的系数为4
D ．展开式中二项式系数最大为70
BD [(1－ax ＋x 2)4＝[(1－ax )＋x 2]4，故展开式中x 5项为C 34C 33(－ax )3x 2＋C 24C 12
(－ax )(x 2)2＝(－4a 3－12a )x 5，所以－4a 3－12a ＝－56，解得a ＝2.(1－ax ＋x 2)4＝(x
－1)8，则展开式中各项系数和为0，展开式中x 的系数为C 78(－1)7＝－8，展开式
中二项式系数最大为C 48＝70，故选BD ．]
12．[多选](2020·日照模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋
1)5，则( )
A ．a 0＝－32
B ．a 2＝－80
C ．a 3＋4a 4＝0
D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1
ABC [令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋
a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T r ＋1＝C r 5y
5－r (－2)r ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40.故C 正确．故选ABC ．]
13．[多选](2020·滨州模拟)下图是某商场2020年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第三季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%). 根据该图，以下结论中不一定正确的
是()
A．电视机销量最大的是第四季度
B．电冰箱销量最小的是第四季度
C．电视机的全年销量最大
D．洗衣机的全年销量最小
ABD[对于A，对比四个季度中，第四季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．同理，易知B不一定正确．在四个季度中，电视机在每个季度的销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C正确，对于D，洗衣机在第四季度所占百分比不是最小的，故D不一定正确．]
14．[多选](2020·东营模拟)下图是国家统计局2019年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论正确的是()
全国居民消费价格涨跌幅
A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨
B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌
C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大
D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快
ABD[由折线图分析知2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨，故A正确；2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比上涨的有2018年7月、8月、9月、10月、12月和2019年2月，下跌的有2018年3月、4月、5月、6月、11月和2019年3月，故B正确；2018年9月、10月全国居民消费价格同比涨幅均是2.5%，同比涨幅最大，故C错误；2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确．]
15．[多选](2020·枣庄模拟)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均数约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数约为75分
ABC[由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)分的考生人数最多，所以选项A正确．不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以选项B正确．平均分约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5(分)，所以选项C正确．设中位数约为x0分，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，选项D错误．故选ABC．]
16．[多选](2020·德州模拟)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4
的正四面体一次．记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则( )
A ．P (A )＝12
B ．P (
C )＝13 C ．P (AB )＝14
D ．P (ABC )＝18
AC [由题意知P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12.因为A ，B 是相互独立事件，C
与A ，B 不是相互独立事件，所以P (ABC )＝18是错误的，P (AB )＝14，故选AC ．]
17．[多选](2020·威海模拟)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身
高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝
1.16x －30.75，以下结论中正确的是( )
图1
图2
A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C ．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
ABC[对于选项A，15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的极差小于臂展的极差，故A正确；对于选项B，由左下到右上，为正相关，正确；选项C就是把x＝190代入回归方程得到预估值189.65，正确；而对于选项D，相关关系不是确定的函数关系，所以选项D说法不正确．故选ABC．] 18．[多选](2020·聊城模拟)江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z(单位：分)服从正态分布N(33，42)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z(单位：分)服从正态分布N(44，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．从统计的角度看，下列说法合理的是()
(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到
B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大
D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到
CD[对于选项A，江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到，因为P(Z≤43)<P(Z≤45)，且P(33－12<Z≤33＋12)≈0.997 3，所以P(Z≤43)<P(Z≤45)≈0.5＋0.5×0.997 3≈0.998 7，所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的，所以选项A不合理；对于选项B，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到，因为P(44－4＜Z≤44＋4)≈0.954 5，所以P(Z≤48)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到，因为P(33－8＜Z≤33＋8)≈0.954 5，所以
P(Z≤41)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，二者可能性一样，所以选项B不合理；对于选项C，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到，因为P(33－4＜Z≤33＋4)≈0.682 7，所以P(Z≤37)≈0.5＋0.5×0.682 7≈0.841 4，所以“江先生8：06出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 4，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为P(Z≤44)＝0.5，所以“江先生8：06出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5，又0.841 4＞0.5，所以选项C是合理的；对于选项D，江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为P(44－6<Z≤44＋6)≈0.997 3，所以P(Z≤38)≈(1－0.997 3)×0.5≈0.001 4，所以“江先生8：12出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小，所以选项D合理．所以选CD．]
19．[多选](2020·菏泽模拟)2019年9月25日，阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片，在业界标准的ResNet-50测试中，含光800推理性能达到78 563 IPS，比目前业界最好的AI芯片性能高4倍；能效比500 IPS/W，是第二名的3.3倍．在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速．如图是2014－2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是()
中国集成电路设计产业销售情况
A．2014－2018年，中国集成电路设计产业的销售额逐年增加
B．2014－2017年，中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降
C．2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高
D．2018年与2014年相比，中国集成电路设计产业销售额的增长率约为140.5% AD[对于A，由题图可得2014－2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A正确；对于B，2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高，所以B错误；对于C，2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%)，所以C错误；对于D，2018年与2014年
相比，中国集成电路设计产业销售额的增长率为2 519.3－1 047.4
1 047.4×100%≈140.5%，
所以D正确．故选AD．]
20．(2020·江西红色七校第一次联考)(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为________．
－320[(x－2y＋1)(2x＋y)6＝x(2x＋y)6－2y(2x＋y)6＋(2x＋y)6，(2x＋y)6展开式的通项T r＋1＝C r6(2x)6－r(y)r＝C r626－r x6－r y r，x(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为C3623＝160；－2y(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－2×C2624＝－480；(2x＋y)6展开式中无x4y3项．综上(x－2y＋1)(2x＋y)6展开式中x4y3的系数为－320.]
21．(2020·惠州第二次调研)某工厂为了解产品的情况，随机抽取了100个产品作为样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为________．
32[样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，所以数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为22×8＝32.]
22．(2020·成都模拟)某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如下表：
已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为y＝b
x ＋9，则b ^的值为________．
6.5 [由表，得x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝10＋15＋20＋30＋355
＝22，由22＝2b ^＋9，解得b ^＝6.5.]。