画法几何与工程制图 第三章 点的投影
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工程制图__《画法几何及土木工程制图》习题解答
【2-3】已知直线AD和点C、B的两面投影，判别C、B是否在 AD上，已知点E在AD上，AE:ED为3：5，作出AD的侧面投影 和点E的三面投影。
【2-4】作直线AB的真长及其对投影面H、V的倾角α 、β ，在AB 上作与点A相距25mm的点C的两面投影。
【2-5】求作直线CD的真长及与投影面V、W的倾角α 、β 。
【1-6】已知点A(40,20,60)；点B(0,0,50)；点C在点A的正前方 10mm；点D在点A之下50mm、之右15mm，且在V面上；点E在点D的 正左方20mm。作诸点的两面投影，并表明可见性。
【2-1】判别下列直线对投影面的相对位置。
【2-2】过点A作下列直线的三面投影。⑴一般位置直线AB，B在 A之上5mm、A之左20mm、A之后10mm;⑵正平线AC，C在A的右上方， α＝30°，长25mm;⑶正垂线AD，D在A之正前方15mm;⑷侧平线 AE，E在A的后下方，β＝45°,长20mm。
【4-7】作图检验点D和直线AE是否在△ABC平面上。
【5-1】在平行四边形ABCD平面上取一点E，使其距离V面25mm， 距离W面10mm，求作点E的两面投影。
【5-2】已知矩形平面ABCD上的△EFG的水平投影，作出其正面 投影。
【5-3】补全平面图形ABCDEFG的正面投影。
【5-4】已知平行四边形ABCD上有一个直角等腰三角形△EFG，FG 为水平线，直角顶点E在FG的后上方，求作平面ABCD的α 倾角， 并完成直角等腰△EFG的两面投影。
【17-3】求作穿圆孔的正六棱柱表面相贯线，并作出其侧面投影。
【17-4】求作四棱锥与圆柱的相贯线。
【17-5】求作三棱柱与圆锥的相贯线。
【17-6】求作圆台与四棱柱的相贯线。
画法几何及工程制图第3章投影变换
a
X
V H
a
b1 a1e1
b
β1
e
c
b e
c1
V面倾角
c
变换H面（求β1）
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-垂直面变换为平行面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
a
X
V H
a
a1
b c
Why X1轴这么选？
b
c
c1
实形
b1
械20§工20程/310学./22院4变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为平行面
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位
置的直线或平面，或者将特殊位置的直线转换为有 利于求解的特殊位置。
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面
6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面
m1
m2 a2 b2
d2
Why？
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例4]求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
分析
当两平面的交线垂直于投影面时，两平面 在该投影面上的投影为两相交直线，它们的夹 角即反映两平面间的夹角。
械20§工20程/310学./22院4 变换投影面法-六个基本问题-例子
线）和度量问题（实长、实形和倾角）。
实形
a c
c
实长
k
l
b
e a
a X
a
c
b k
工程制图__《画法几何及土木工程制图》习题解答
【11-1】作圆柱的水平投影，并补全圆柱表面上的点A、B、C、 D、E、F、G、I的三面投影。
【11-2】作圆锥的正面投影，并补全圆锥表面上直线和曲线的 三面投影。
【11-3】作球的侧面投影，并补全球面上的曲线ACB和ADFEB的 水平投影和侧面投影。
【11-4】已知轴线为正垂线的环以及环面上的点A、B、C、D、E、 F、G、P、Q、R、T的水平投影，求作环的正面投影以及 这些点的正面投影。
【9-8】已知等边△ABC的一边AB，平面的倾角β ＝30°，顶点C 在AB的前上方，补全△ABC的两面投影。
【例】求作直线AB上与△CDE、△CDF平面等距的点G。
【例】求作直线AB与△CDE平面的夹角θ 。
【10-1】作六棱柱的水平投影，并作出三棱柱表面上折线ABCDE 的另外两个投影。
【9-4】已知点A与直线BC的距离为10mm，求作点A的水平投影。
【9-5】作两交叉线AB、CD的公垂线，并注明它们之间的最短距 离。
【9-6】已知两交叉直线AB、CD的距离为10mm，补全CD的正面投 影。
【9-7】已知正方形ABCD的对角线BD在直线PQ上，补全正方形ABCD 的两面投影。
【14-9】补全圆柱筒被截切后的水平投影，并做出其侧面投影。
【14-10】补全圆锥被截切后的侧面投影，并作出其水平投影及 截断面实形。
【15-1】求作圆锥被平面截切后的正面投影和侧面投影，并补全 其水平投影。
【15-2】求作圆锥被平面截切后的水平投影和侧面投影。
【15-3】求作半球被平面截切后的正面投影。
【10-5】已知正垂面P上的曲线的侧面投影，求作这条曲线的另 外两个投影。
【10-6】已知平行四边形平面上曲线的正面投影，求作这条曲线 的侧面投影。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
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机械设计：绘制机械零件图、装配图等
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平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
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平面投影的实际应用
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平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
画法几何工程制图道路与桥梁制图课件第三章标高投影.pptx
§3-1 点、直线和平面的标高投影
标高投影：在水平投影图上加注物体上某些特殊点、线、
平面的高程。即在物体的水平投影上以数字标注出各点 的高度。
一、点的标高投影
A
a6 c0 a6
b-3
用标高投影表示
012 3
co b-3 0 1 2 3
B
二、直线的标高投影
1、直线的表示法
三种常见的表示法
等高线
b9
1/1 d0 c0
1/1
0
a3 3/2
b3 d0
5
c0
L1
1
2 a3
L3
1
2 b3
L2
解：1.求出三个坡面的水平距离L1、L2、L3; L1＝L2=3x1/1=3 L3=3x2/3=2
2.作出三个坡面的等高线； 3.求出地面与坡面及坡面与坡面的交线。
§3-2 曲面的标高投影
一、曲面的表示法
在标高投影中，表示曲面就是用一系列的水平面与曲面相截，画 出这些平面与曲面的交线的标高投影。
５ ４
３ ２ １
０
【例题3-5】一弯曲倾斜道路与干线相连，干道顶面标高为＋4，设 地面标高为零，
三、地 形 面
由于地面是不规则的曲面，因此必须用标高投影来表示它。即用等 高线来表示。其等高线是不规则曲线，有如下特性： （1）等高线一般是封闭曲线； （2）除悬崖绝壁的地方外，等高线不相交； （3）等高线越密表明地势越陡，反之越陡。
5
等高线
4P
②互相平行； ③平距相等。
3
地面线标高+0
2
平距
5
1
4 3 21
0
0
坡度比例尺
（最大坡度线的水平投影）
点的投影
[例2] 已知点A(6,3,4),B点在A点的右、前、上方各2个
的投影
单位，C点在B点的正下方3个单位，求各点的投影。
b
a c
2
X
6
2
3
Z
4
a"
0
b" c"
YW
a b (c)
2
3
YH
[ ]
[例3] 已知点A(10,15,20),点B距W、V、H面分别为20mm、 影投的点求 3例 10mm、15mm，点C在点A之左15mm，之前5mm、 之下10mm，求各点的投影。
点A到W面的距离为：
Aa"=a’az=aayH =X坐标；
点A到V面的距离为：
Aa’=a"az=aax =Y坐标；
点A到H面的距离为：
Aa=a"ayW=a’ax=Z坐标；
Z A到W面
A到V面 Va' aZ
距离
距离
A
A到H面X ax
O
a" W
距离
a
aY
H
Y
A到W面
距离 Z
点的H面投影反映点的X、Y坐标；
水平投影面（水平面、H面） 正立投影面（正面、V面） 投影轴：X轴。
四个分角：H、V两投影面将空间划分为四个分角。
A点的投影：H面投影a , V面投影a’。
投影面的展开：V面不动，H面绕X轴向下旋转与V面重合。
实际画图不画外框线
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ Ⅳ
a' V
X X ax H
a
V第
Ⅰ
A
分
角
aH H
V a'
X ax
a H
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
画法几何01——点投影
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
[例题2] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求点A的投影。
a
a
9
8 a
5
课下作业： 1.画法几何练习册P10
• 注意事项： • 画法几何作业册不装订，仅用夹子夹成册。 • 空间点用大写字母（A）表示，点的投影
用对应的小写字母表示（ a ，a，a）。 • 被挡住的投影加( ) • 答案用墨线，辅助线一律用细实铅笔线。 • 辅助线不能用虚线。 • 题目问什么答什么。
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a oW
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
投影面展开
V a
●
Z
az
W ●a
不动 V a
●
Z
向右翻
az
X
ax
a● H
A
O
Y X ax
●
ay
ay
a●
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
Z az
a
●
X ax
O
Y
ay
a●
ay
Y
点的投影规律:
平行投影法投影特性
斜角投影法
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
第一章 第一节 点的投影
点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A●
● a
A在P面上的投影。
点在一个投影面上
的投影不能确定点的空 间位置。
工程制图__《画法几何及土木工程制图》习题解答
【7-6】求作一直线IJ垂直于△ABC，与直线DE、FG都相交。
【8-1】求作直线AB的真长和倾角α 、β 。
【8-2】求作点A与直线BC间的真实距离。
【8-3】求作吸气罩相邻壁面之间夹角的真实大小。
【8-4】求作两平行线AB、CD所确定平面的倾角α 和β 。
【8-5】求作正垂面平行四边形ABCD的真形
【10-2】作左端面为正垂面的T形侧垂柱的水平投影，及棱柱表 面上的点A、B、C、D、E、F的三面投影。
【10-3】作三棱锥的侧面投影，并作出三棱锥表面上的折线ABCD 的另外两个投影。
【10-4】作四棱台的正面投影，补全四棱台的侧面投影，并作出 其表面上的点A、B、C、D、E、F、G、H的另外两个投影。
【18-1】求作穿孔半圆柱筒的相贯线。
【18-2】补全拱顶房屋的水平投影。
【18-3】求作两圆柱的相贯线。
【18-4】求作圆锥与圆柱的相贯线。
【18-5】求作圆台与半球的相贯线。
【18-6】求作圆柱与四分之一圆环的相贯线。
【18-7】求作组合回转体表面相贯线的投影。
【9-1】已知直线DE平行于△ABC平面，与△ABC平面的距离为5mm， 求作DE的水平投影。
【9-2】已知等腰△ABC的底边BC，其对V面的倾角β ＝45°，三角 形高为20mm，补全△ABC的两面投影。
【9-3】已知点D与△ABC平面的距离为12mm，BC为水平线，补全 △ABC的正面投影。
【17-3】求作穿圆孔的正六棱柱表面相贯线，并作出其侧面投影。
【17-4】求作四棱锥与圆柱的相贯线。
【17-5】求作三棱柱与圆锥的相贯线。
【17-6】求作圆台与四棱柱的相贯线。
【17-7】求作三棱柱与圆锥的相贯线。
画法几何与水利工程制图03
3.1 点3.2 直线3.3 平面3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置任何物体的表面都可以看成是由点、线和面所组成，任何复杂的空间几何问题都可以抽象成点、线、面的相互关系问题。
因此，要正确、迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题,须掌握点、线、面的表示方法和投影性质。
过空间点A的投射线与投影面P的交点a称为点A在投影面P上的投影。
仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。
点的投影a可以是过a的投射线上任一点（如A、A1、A2等）的投影。
正投影法采用多面正投影来确定点的空间位置。
点A在V/H两投影面体系中的投影:根据正投影的原理，已知点A的水平投影及正面投影则可确定点A的空间位置。
因此，点的两面投影即可完全确定点的空间位置。
1.点的三面投影2.点的投影规律投射线Aa和Aa′构成平面Aaa x a′，因Aa⊥H面，Aa′⊥V面则Aaa x a′⊥H面，又⊥V面因三平面互相垂直，其交线必互相垂直，故a′a x⊥OX，aa x⊥OX投影面展开后，得a′a⊥OX，又因Aaa x a′是一矩形，故aax=Aa′=点A至V面的距离a′a x=Aa=点A至H面的距离同理可得：a′a″⊥OZa′az=Aa″=点A至W面的距离a″a z=Aa′=点A至V面的距离2.点的投影规律综上所述，点的三面投影规律是：(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。
即：a′a⊥OX；a′a″⊥OZ；aa x= a″a z(2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离。
即：a′a x= a″a y W= Aa (点A至H面的距离)；aa x= a″a z= Aa′(点A至V面的距离)；a′a z= aa y H= Aa″(点A至W面的距离)。
2.点的投影规律3.点的投影与直角坐标的关系互相垂直的三个投影轴构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用坐标值A（x,y,z）表示。
画法几何制图—投影法及点的投影
2、点在两投影面体系中的投影
A点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a′
两投射线形成的平面A 与0X轴必 两投射线形成的平面Aa′a与0X轴必 交于一点aX。 。
V
a′
A
X
aX
H
O
a
三峡大学
3、点在两投影面体系中的投影规律 a’ ax a a
H V A
O
点到H 点到H面 的距离
a’
X O
X
H
ax a
三峡大学
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影面V 过空间点A的投射线与投影面V的交 点即为点A 面上的投影。 点即为点A在V面上的投影。
A●
V
●
a′ ′
点在一个投影面上的投影, 点在一个投影面上的投影 可否确定点的空间位置? 可否确定点的空间位置 V 不能确定点的空间位置。 不能确定点的空间位置。
Z 上 下 a′ ′ Z
Z a z
●
●
a″ ″
V
a′ ′ ● ax Y
●
az
●
Z ax X Y O ay ay
A X
O
●
a″ ″
W ay
X
后 前 a
●
Y
X
a
H
Y 3.点的相对位置 点的相对位置: 点的相对位置
Y
1.点的投影特性 两个垂直，一个相等（Y） 点的投影特性: 两个垂直，一个相等（ ） 点的投影特性
三峡大学
已知点的两投影，求其第三投影。 例：已知点的两投影，求其第三投影。 z
d’ f’ x d a’ e’ a a’’ 0 d’’ f’’ e’’
YW 三个投影要满足点的 投影规律： 投影规律： 两个垂直， 两个垂直，一个相等 相等）。 （即Y相等）。 相等
画法几何与工程制图 第三章 点的投影
10
30 10
20
10 20 15
15
二、重影点及其可见性
上
后
下
上 下
前
左右Biblioteka ① 三面垂直 ② 三面投影
A点在H面投影 —— a A点在V 面投影 —— a A点在W面投影 —— a″
2.点的三面投影
③三面展开
形成点的三面投影图
二.点的三面投影规律
a'
A
az a″
a' ax
az
a″
ax
a a
a ' a ⊥ox a 'a″⊥oz aax= a″az
—— ——
长对正 高平齐
——
宽相等
例题
【例 3-1】 已知B点的两个投影 ， 求作第三投影
b b
Z
b
bz
b
X
bx
0
YW
b
YH
量取宽相等的方法 ：
①用尺子直接量取 ②
③
④
bb
Z Z
bbz z z
bb
X X
bbxxx
O O
Y Y W W YW W
45°
bb
Y YH H H
三.点的投影与坐标
y z
A
z
x
展开后
y
x
将三面体系当作笛卡尔直角坐标系
A到W面的距离为A点的x值
A到V面的距离为A点的y值 A到H面的距离为A点的z值
（ x , y , z ） A点的坐标的表示形式
规定正向？
例题
【例3-2】已知点A（20，15，10），求作其三面投影图。
先找出ax ay az
四、其他分角内点的投影
工程制图-第三章点-直线、平面分析教案资料
画法几何及水利工程制图 仝基斌
侧平线动画演示 上一页 下一页
15
正平线、水平线和侧平线投影图及投影特性
名
正平线
称
（AB∥V面）
投 影 图
水平线 （AB∥H面）
侧平线 （AB∥W面）
投 （1）a′b′反映实长， 反 （1） ab反映实长，反
影
映角α、γ。
映角β、γ。
特 性
（2）ab∥OX， a″b″∥OZ 均小于实长。
2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向 z坐标→判别前后的方向
两点的相对位置动画演示
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2020/6/18
画法几何及水利工程制图
仝基斌
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10
【例三】已知点A的三面投影 ，并知B点在A点 的左边5mm,下边10mm，后边 5mm，求B点的三面投影
（2） a′b′∥OX a″b″∥OYH 均小于实长。
（1） a″b″反映实长， 反映角α、β
（2） a′b′∥OZ ab∥OYW 均小于实长
画法几何及水利工程制图 仝基斌
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14
二、特殊位置直线
1．投影面平行线：( ∥一个投影面而， ∠另外两个投影面 )
正平线 (∥ V面； ∠H、W面） 水平线 (∥ H面 ； ∠V、W面） 侧平线 (∥ W面 ； ∠V、H面）
正平线动画演示
水平线动画演示
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2020/6/18
4
2.点在三投影面体系中的投影规律：
（1）点的投影连线 ⊥相应的投影轴。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ （2）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应
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—— —— ——
长对正 高平齐 宽相等 例题
【例 3-1】 已知B点的两个投影 ， 求作第三投影
b b
Z
b
bz
b
X
bx
0
YW
b
YH
量取宽相等的方法 ：
①用尺子直接量取 ②
③
④b bZFra bibliotekZbzz bz
b b
X X
bxx bx
O O 45°
YWW YW YW
b b
YHH YH
三.点的投影与坐标
y
A
z x 展开后 y x
z
将三面体系当作笛卡尔直角坐标系 A到W面的距离为A点的x值 A到V面的距离为A点的y值 A到H面的距离为A点的z值
（ A点的坐标的表示形式 x , y , z ）
规定正向？
例题
【例3-2】已知点A（20，15，10），求作其三面投影图。 先找出ax ay az
四、其他分角内点的投影
第一分角内点A 第一分角内点A 第二分角内点B 第二分角内点B 第三分角内点C 第三分角内点C 第四分角内点D 第四分角内点D
第二节 点的空间位置
一、两点相对位置的判别和确定 二、重影点极其可见性
一、两点相对位置的判别和确定
左 上 上 前 右 下 左 下 右 右 左 上
前
前
X坐标值大的点在左方 Y坐标值大的点在前方 Z坐标值大的点在上方 例题
第三章 点的投影
第一节 点的三面投影
第二节 点的空间位置
第一节 点的三面投影
一、三面体系及点的三面投影 1、三面体 2、点的三面投影 二、点的三面投影规律 三、点的投影与坐标 四、其他分角内点的投影
一、三面体系及点的三面投影
1.三面体系 1.三面体系
互相垂直的三个平面把空间分为八个部分 2 6
八个分角
例【3-3】： 已知A点为（30，10，20），B点在A点右方20mm， 前方15mm，下方10mm，求A、B两点的三面投影， 并画出它们的直观图。
10 30 10
20
10 20 15
15
二、重影点及其可见性
上 后 下 上 下
前
左
右
1
5
3
7
4
8
2.点的三面投影 2.点的三面投影
① 三面垂直 ② 三面投影
A点在H面投影 —— a A点在V 面投影 —— a′ A点在W面投影 —— a″
2.点的三面投影 2.点的三面投影
③三面展开
形成点的三面投影图
二.点的三面投影规律
a'
A
az a″
a' ax
az
a″
ax a a
a ' a ⊥ox a 'a″⊥oz aax= a″az