南京市2015届高三9月调研考试数学试题

南京市2015届高三年级9月学情调研卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为 ．
2．已知复数z ＝1
1＋i
，其中i 是虚数单位，则|z |＝
3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，
则应从高一年级抽取 名学生．
4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ． 5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，
则实数λ＝ ．
6．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ． 7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程
为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ．
8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高 是 ．
9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实 数a 的取值范围为 ．
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋
2c ＝2b ，sin B ＝
2sin C ，则cos A ＝ ．
11．若f (x )＝⎩⎨⎧a x ， x ≥1，
－x ＋3a ，x ＜1
是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围
为 ．
12．记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|OA →＋OB →|的最大值是 ． 14．已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为 ．
（第6题图）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π
2
，－2)．
（1）求φ的值；
（2）若f (α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π
6)的值．
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． （1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ； （2）若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB 平面CMN ．
A 1 A
B C
B 1
C 1 M N （第16题图）
17．（本小题满分14分）
已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n ， {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21， S 4＋b 4＝30．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）记c n ＝a n b n ，n ∈N*，求数列{c n }的前n 项和． 18．（本小题满分16分）
给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的
“伴随圆”．已知椭圆C 的离心率为
3
2
，且经过点(0，1)． （1）求实数a ，b 的值；
（2）若过点P (0，m )(m ＞0)的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆C 1所截得的弦长为22，求实数m 的值．
19．（本小题满分16分）
如图（示意），公路AM 、AN 围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2．在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km ，5km ．现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B 点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
20．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝ax 3＋|x －a |，a ∈R ．
（1）若a ＝－1，求函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程；
（2）若g (x )＝x 4，试讨论方程f (x )＝g (x )的实数解的个数；
（3）当a ＞0时，若对于任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024，求满足条件的正整数a 的取值的集合．
·
A M N
P （第19题图） α
C
B
南京市2015届高三年级学情调研卷 数学附加题 2014.09
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1 ． （1）求实数b ，λ的值；
（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下，得到的曲线 为C '：x 2＋2y 2＝2，求曲线C 的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝3＋3
2
t ，
y ＝2＋12
t
(t
为参数 )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝
3＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)．若点P 是圆C
上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1
上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1
→．
（1） 当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围；
（2） 若λ＝2
5
，记二面角B 1－A 1B －E 的的大小为θ，求|cos θ|．
23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3
（第22题图） A B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
（1
（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．
2015届高三年级学情调研卷 数学参考答案及评分标准 2014.09 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．π 2．22 3．32 4．1
2
5．5
6．35 7．2 8． 3 9．(0，9
4
]
10．2
4
11．[1
2
，＋∞) 12．2－2n －1 13．8 14．(0，1)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
解：（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π
2
，－2)，
所以f (π
2
)＝2sin(π＋φ)＝－2，
即sin φ＝1． …… 4分
因为0＜φ＜2π，所以φ＝π
2
． …………………… 6分
（2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． …………… 8分
因为f (α2)＝6
5，所以cos α＝35
．
又因为－π
2＜α＜0，所以sin α＝－45
． ……… 10分
所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2
α－1＝－725
． (12)
分
从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－243
50
． ……
14分 16．（本小题满分14分） 证明：（1）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．
因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝1
2
A 1
B 1．……… 2分
在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ． A 1
A
B C
B 1
C 1
M N
P
故NP ∥AB ，且NP ＝1
2
AB ．
因为M 为AB 的中点，所以AM ＝1
2
AB ．
所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ．
所以四边形AMNP 为平行四边形． 所以MN ∥AP ． …………… 4分 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，
所以MN ∥平面AA 1C 1C ． ……………… 6分 （2）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． … 8分
因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC ．
因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC 1B 1B ，
所以CN ⊥平面ABC ． ……………… 10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …… 12分 因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，
所以AB ⊥平面CMN ． …………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．
由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．………… 3分
由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，
8＋6d ＋2q 3
＝30，
解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．
所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． ………… 7分 （2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．
记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ． 则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1 ＋(n ＋1)×2n ，
2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1， 所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， …… 11分 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． …… 14分 18．（本小题满分16分） 解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ．
由题意，得b ＝1，c a ＝3
2
，c 2＝a 2＋b 2，
解得a ＝2，b ＝1． ………… 4分
（2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5．
显然直线l 的斜率存在．
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． …………… 6分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
故方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，
x 24
＋y 2＝1 （*） 有且只有一组解．
由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0． 从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．
化简，得m 2＝1＋4k 2．① …………… 10分 因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离d ＝
5－2＝3．
即|m |
k 2＋1
＝3． ② ……… 14分
由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．
因为m ＞0，所以m ＝3． …………… 16分 19．（本小题满分16分） 解：（方法一）
如图1，以A 为原点，AB 为x
因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y 设点P (x 0，y 0)． 因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5， 得∣2x 0＋y 0∣5
＝5，解得x 0＝1或x 0＝－所以点P (1，3)． …………4分
显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)．
令y ＝0得x B ＝1－3
k
． …… 6分
由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x
解得y C ＝6－2k k ＋2． …………………… 8分
设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9
k 2＋2k
＝－1＋8k －9
k 2＋2k
． …………… 10分
由S '＝ －2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－3
4或k ＝3．
当－2＜k ＜－34时，S '＜0，S 单调递减；当－3
4
＜k ＜0时，S '＞0，S 单调
递增．… 13分
所以当k ＝－3
4
时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15．
答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分 （方法二）
如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系． 因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ． 设点P (x 0，y 0)．
因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3． 由P 到直线AN 的距离为5， 得∣2x 0＋y 0∣5
＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，
所以点P (1，3)． ……… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)．
令y ＝0得x B ＝1－3
k
． …… 6分
由⎩
⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x 解得y C ＝6－2k k ＋2． …………… 8分 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k
＝－1＋8k －9
k 2＋2k
． …… 10分
令8k －9＝t ，则t ∈(－25，－9)，从而k ＝t ＋9
8
．
因此S ＝－1＋t (t ＋98)2＋2×t ＋98
＝－1＋64t
t 2＋34t ＋225
＝－1＋
64
34＋t ＋
225
t
．………… 13分 因为当t ∈(－25，－9)时，t ＋225
t
∈(－34，－30]，
当且仅当t ＝－15时，此时AB ＝5，34＋t ＋225
t
的最大值为4．从而S
有最小值为15．
答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分 （方法三） 如图2，过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，
垂足为E 、F ，连接PA ．设AB ＝x ，AC ＝y ． 因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，5， 即PE ＝3，PF ＝5．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC ＝12⋅x ⋅3＋12⋅y ⋅ 5 ＝12(3x ＋5y )． ① …… 4分因为tan α＝－2，所以sin α＝2
5
．
所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 2
5
． ② ……… 8分
由①②可得12⋅x ⋅y ⋅ 25＝1
2
(3x ＋5y )．即35x ＋5y ＝2xy ． ③ (10)
分
因为35x ＋5y ≥2155xy ，所以 2xy ≥2155xy ．
解得xy ≥155． …………………13分 当且仅当35x ＝5y 取“＝”，结合③解得x ＝5，y ＝35．
所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 2
5
有最小值15．
答：当AB ＝5km 时该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2… 16分 20．（本小题满分16分） 解：（1）当a ＝－1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝－x 3＋x ＋1从而f ′(x )＝－3x 2＋1．当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0．…… 3分
（2）f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4．
所以x 4－ax 3＝|x －a |，从而x 3(x －a )＝|x －a |．
·
A M
N
P B C （第19题图2）
E F
此方程等价于x ＝a 或⎩⎨⎧x ＞a ，x ＝1或⎩
⎨⎧x ＜a ，
x ＝－1． …………………… 6分
所以当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1；
当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1； 当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1． …… 9分 （3）当a ＞0，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，
所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0．
所以当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1024f (x )∈[1024
f (a ＋2)
，
1024
f (a )
]， 当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[ f (a ＋2)，＋∞)． ………… 11分 因为对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)
＝1024，所以[1024f (a ＋2)，1024
f (a )
]⊆[ f (a ＋2)，＋∞)． (13)
分
从而1024f (a ＋2)
≥f (a ＋2)．所以f 2(a ＋2)≤1024，即f (a ＋2)≤32，也
即a (a ＋2)3＋2≤32．
因为a ＞0，显然a ＝1满足，而a ≥2时，均不满足．
所以满足条件的正整数a 的取值的集合为{1}． ……… 16分
2015届高三年级学情调研卷
B ．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－b －2＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－λ． ………… 3分 从而⎩
⎨⎧2－b ＝λ，－2＝－λ．解得b ＝0，λ＝2． … 5分
（2）由（1）知，A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2013． 设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C '上一点P (x 0，y 0)，
则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2013⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
2x x ＋3y ， 从而⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0
＝x ＋3y ． …………… 7分
因为点P 在曲线C '上，所以x 02＋2y 02＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1．
所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1． … 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一）
直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ………………………… 3分 因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)， 从而点P 到直线l 的距离
d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|
12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π
6)|
2． ……… 7分
所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1……10分 (方法二)
直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1．
从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|
12＋(－3)
2
＝3． …… 6分 所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系． 由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3，5)．因为CE →＝λCC 1→
，所以E (0，3，5λ)．
从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分
当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0，
所以EB →·EA 1→
＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，
解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，4
5) ……… 5分
（2）当λ＝25时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→
＝(2，－3，3)．
设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1
→＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，
2x －3y ＋3z ＝0， 取x ＝1得y ＝53，z ＝1所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，5
3
，1)… 7分 易知，
平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)． 因为cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2| n 1|·| n 2|＝
1
439
＝3 4343，从而|cos θ|＝3 4343
… 10分
23．解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C
1
3C 25＝3
10，
P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25
＝3
10，
所以X
从而E (X )＝10⨯110＋5⨯310＋2⨯
310＋0⨯3
10
＝3.1元． ………… 6分
（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由（1）知，P (A )＝7
10
，
（第22题图）
从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝
91 100
．
答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为
91
100
．…………… 10分．。