江苏省镇江市丹阳第五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省镇江市丹阳第五中学高三数学理上学期期末试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数与，若与的交点在直线的两侧，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B【知识点】函数的图像B8
先求与直线y=x的交点坐标为（2，2）和（-2，-2）．
当x=2时，x3=8；x=-2时，x3=-8．
将y=x3的图象向上（t＞0）或向下（t＜0）平移|t|个单位，即得函数g（x）的图象．若f（x）与g（x）的交点在直线y=x的两侧，则|t|＜6，即-6＜t＜6．
【思路点拨】结合函数图象，借助图象的平移来进行判断．
2. 数．在复平面内，z所对应的点
在（）
（Ａ）第一象限（Ｂ）第二象限（Ｃ）第三象限（Ｄ）第四象限
参考答案：
答案：B
3. 执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于
A. B. C. D.
参考答案：
C
,不成立
,不成立
,成立
输出，故选C．
4. 函数y=cos 2x的图象的一个对称中心是（）
(A)() (B) () (C) (-) (D) (0,0)
参考答案：
B
5. 已知向量m＝(－1，1)，n＝(1，λ)，若m⊥n，则m＋n与m之间的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案：
6. 等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为（）
A. 3
B. 3或4
C. 4或5
D. 5
参考答案：
B
7. 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为
A．1 B．-1 C．i D．-i
参考答案：
B
8. 已知，且，则
A． B． C． D．
参考答案：
，，，，则
，故选
9. 已知则( )
A.B. C. D.
参考答案：
B
所以即,故选B.
10. 已知不等式组表示的平面区域为若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某地区3月1日至30日的天气情况及晚间空气湿度统计如下表，比如，根据表中数据可知3月1日无雨，且当日晚间空气相对湿度等级为C．若气象工作者根据某天晚间的相对湿度等级预报第二天有雨的概率，则3月31日有雨的概率为_______．
参考答案：
12. 设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是．
参考答案：
作出直线所围成的区域，
如图所示，，当时，满足题意.
13. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前项和）,则
.
参考答案：
3
略
14. 已知实数x，y满足，则的最大值是．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值
【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示，
由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率
结合图形可知，当直线过OB时斜率最小，OA斜率最大，
由于可得A（3，2），此时k==
故答案为：．
【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．
15. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，
，则______．
参考答案：
6
设公比为，因为，所以，则，所以，又
，即，所以。

16. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .
参考答案：
17. 函数的最小正周期是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图所示，PA为0的切线,A为切点，PBC是过点O的割线，PA =10,PB =5、
(I)求证：;
（Ⅱ）求AC的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵为⊙的切线，∴，
又∴∽．∴．…………………4分
（Ⅱ）∵为⊙的切线，是过点的割线，∴．
又∵,，∴，…7分
由（Ⅰ）知，，∵是⊙的直径，
∴．∴,
∴AC=……………10分
19. 已知函数f（x）=aln（x+b），g（x）=ae x﹣1（其中a≠0，b＞0），且函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线重合．
（1）求实数a，b的值；
（2）记函数φ（x）=xf（x﹣1），是否存在最小的正常数m，使得当t＞m时，对于任意正实数x，不等式φ（t+x）＜φ（t）?e x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和方程；求得g（x）的导数，求得切线的斜率和方程，由切线重合，可得方程，解得a，b；
（2）等价变形可构造函数，则问题就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．求出m （x）的导数，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，求出导数，单调区间，运用零点存在定理可得h （x）的零点以及m（x）的单调性和最值，结合单调性，即可判断存在．
【解答】解：（1）∵f（x）=aln（x+b），导数，
则f（x）在点A（0，alnb）处切线的斜率，切点A（0，alnb），
则f（x）在点A（0，alnb）处切线方程为，
又g（x）=ae x﹣1，∴g'（x）=ae x，
则g（x）在点B（0，a﹣1）处切线的斜率k=g'（0）=a，切点B（0，a﹣1），
则g（x）在点B（0，a﹣1）处切线方程为y=ax+a﹣1，
由，解得a=1，b=1；
（2），
构造函数，则问题就是求m（t+x）＜m（t）恒成
立．，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，
则，显然h'（x）是减函数，又h'（1）=0，
所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
而，
h（1）=ln1+1﹣ln1=1＞0，h（e）=lne+1﹣elne=1+1﹣e=2﹣e＜0，
所以函数h（x）=lnx+1﹣xlnx在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，令为x1和x2（x1＜x2），并且有在区间（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0，即m'（x）＜0；在区间（x1，x2）上，h（x）＞0，即m'（x）＞0，
从而可知函数m（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上单调递减，
在区间（x1，x2）上单调递增．m（1）=0，当0＜x＜1时，m（x）＜0；
当x＞1时，m（x）＞0，
还有m（x2）是函数的极大值，也是最大值，题目要找的m=x2，
理由：当t＞x2时，对于任意非零正数x，t+x＞t＞x2，
而m（x）在（x2，+∞）上单调递减，
所以m（t+x）＜m（t）一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；
当0＜t＜x2时，取x=x2﹣t，显然m（t+x）=m（x2）＞m（t），
题目要求的不等式不恒成立，说明m不能比x2小；
综合可知，题目所要求的最小的正常数m就是x2，
即存在最小正常数m=x2，当t＞m时，对于任意正实数x，
不等式m（t+x）＜m（t）?e x恒成立．
20. 已知.
（1）解不等式；
（2）若关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
（1）；（2.
试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）
（3）的应用.（4）掌握一般不等式的解法：
（1），（2）.
试题解析：（1）当时由解得
当时，不成立
当时，解得
综上有的解集是
（2）因为，所以的最小值为3
要使得关于x的不等式对任意的恒成立，只需
解得,故a的取值范围是
考点：（1）考察绝对值不等式的意义；（2）绝对值不等式的应用.
21. 设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x﹣a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…
22. 设数列的首项，且记
(I)求
( II)判断数列是否为等比数列，并证明你的结论s
(Ⅲ)证明参考答案：
略。