2021届浙江省杭州市学军中学高三下学期适应性考试数学试题及答案

2021届浙江省杭州市学军中学高三下学期适应性考试数
学试题
一、单选题
1．设{1,4,2}A x =，{}2
1,B x =，若B A ⊆，则x = （ ）
A ．0
B ．0或2
C ．0或2-
D ．0或2±
答案：C
根据题意分24x =和22x x =两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案. 解：当24x =时，得2x =±，
若2x =，则24=x 不满足集合中的元素的互异性，所以2x ≠；
若2x =-，则{}1,4,4A
-＝，{}14B ＝，，满足题意， 当22x x =时，0x =或2（舍去），0x =满足题意， ∴0x =或2-， 故选：C ．
2．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：B
根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 解：若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；
若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；
∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.
故选：B .
点评：本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 3．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：B
解：由三视图可知高为22
11
(13)23,223232
h V =-=∴=⨯⨯⨯⨯=,应选B 4．已知函数(221
()log 1f x x x x
=
+，则（ ） A ．()f x 在（0，+∞）上单调递增 B ．对任意m ∈R ，方程()f x +m =0必有解 C ．()f x 的图象关于y 轴对称 D ．()f x 是奇函数 答案：C
A 选项：对()f x 求导，进一步判断单调性；
B 选项：判断函数的奇偶性，以及根据单调性判断函数()f x 的图像在x 轴上方，从而得出结论. CD 选项：根据B 选项可知结论. 解
：
A
选
项
：
函
数
()
f x 定义域为
x ≠，
(()
2
22221()log 1111ln 2f x x x x x x x x ⎛⎫'=-
++++++ (
)222
log 1ln 21x
x x x -+++=
设(
222()log 1ln 21
g x x x x =
-+++
()()()
1122
2222
11121122()ln 21x x x
g x x x x --+⋅++⋅'=
+=
=
在（0，+∞）上，所以()0g x '<，即()g x 单调递减，()(0)0g x g <=故()0f x '< ∴当0x >时，()0f x '<，即()f x 在（0，+∞）上单调递减，故A 错误； B
选项：
(
(2221
11()log log log =()f x x x f x x
x x
⎛⎫-=
-==- ∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称，在(,0)-∞，()f x 单调递增，在(0+)∞，
，()f x 单调递减， 当0
x >时1x
>，(
2log 0x
>，(21
()log 0f x x x
=+> ∴()f x 的图像在x 轴上方，
∴当0m >时，()y f x =与 y m =-的图像无交点，说明方程()f x +m =0无解，故B 错误； C 选项：根据B 选项可知()f x 是关于y 轴对称C 正确； D 选项：根据B 选项可知()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：C.
点评：求函数单调性的方法：
1. 变化趋势法；
2. 复合函数法；
3. 定义证明方法；
4. 等价形式法；
5. 导数法， 注意：不管使用什么方法，首先都要确定定义域和求分界点；
5
．若22n
x ⎛ ⎝
展开式各项系数和为1128-，则展开式中常数项是第（ ）项
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
答案：D
由题意，令1x =，求出n 的值，从而写出二项展开式的通项公式，然后令x 的幂指数为0即可求解.
解：解：
22n
x ⎛- ⎝展开式各项系数和为1128-，
∴令1x =
得，211121822
n
n
⎛⎫=-⎛=-- ⎝ ⎪⎝⎭， 7n ∴=，
∴
二项展开式的通项公式()
2
777143
1
771122r
r
r
r
r
r r r T C x C x
---
+⎛⎫⎛⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭
，
令71403
r
-
=，得6r =， 所以，展开式中常数项是第7项. 故选：D.
6．甲箱子里装有3个白球和2个红球，乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为X ，摸出的红球的个数为Y ，则
A ．()1
12P X =>，且()()E X E Y < B ．()1
12P X =>
，且()()E X E Y > C ．()1
12
P X ==，且()()E X E Y <
D ．()1
12
P X ==，且()()E X E Y >
答案：D 解
：
X
可取
0,1,2
，()()22131121
0;154552252
P X P X ==⨯===⨯+⨯=
；
()31325210P X ==⨯=，()11311
012521010
E X =⨯+⨯+⨯=，
Y 可取0,1,2
()()()31331211211
0;1;2521052522525P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯===⨯=
，
()3119012102510E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()1
1,2
P X E X E Y ∴==>，
故选D.
7．已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．a b ab +=
B ．4a b +>
C ．2
2
(1)(1)2a b -+-< D ．226a b +>
答案：C
根据题意表示出35log 15,log 15==a b ，利用对数的换底公式即可判断选项A ，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B ，C ，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D. 解
：
因
为
3515
a b ==，
35log 15,log 15
==a b ，对A ，
1515351111log 3log 51log 15log 15+=+=+=a b ，所以1a b ab
+=，即a b ab +=，故A 正确； 对B ，由基本不等式可得2(0,0)a b ab a b +≥>>，因为a b ，a b ab +=，所以2ab ab >，
即224>a b ab ，得4ab >，所以4a b +>，故B 正确；
对C ，2
2
2
2
2
2
2
2()(1222()2)(1)2=+-++=+-+=-+--+>a b a b a b ab a a b b ，故C 错误；
对D ，2222()2()2()=+-=+++-a b ab a b a a b b ，令(4)+=>a b t t ，2
()2=-f t t t ，则函数
2()2=-f t t t 在(4,)+∞上单调递增，所以min ()(4)8>=f t f ，
即2
2
2
()2()8=++-+>a b a b a b ，所以226a b +>成立，故D 正确； 故选：C.
点评：一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.
8．设,a b 为非零向量2b a =，则b 与b a -的夹角的最大值为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
12
π
答案：A
利用数形结合画图求出答案.
解：作图，不妨令,OA a OB b ==，∴b a AB -= ∴b 与b a -的夹角为∠OBA , 故∠OBA 最大值就是AB 与圆相切时， 此时∠90OAB =°2OB OA =,所以∠OBA =
6
π.
故选：A.
9．如图，己知12,F F 分别为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，
且满足()
21122,0F P a F P F F F P =+⋅=，线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，若224F P F Q =，则双
曲线 C 的离心率为（ ）
A 21
B ．
212
C ．
54
D ．
52
答案：A
取2F P 的中点E ，由已知得12F E F P ⊥，由三线合一得12F F P 是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示12cos ∠F F E ，再由双曲线的定义表示1FQ ，在12F QF 中，由余弦定理列式，得关于,a c 的等式关系，即可求得离心率.
解：取线段2F P 的中点E ，连接1F E ，因为()
11220F P F F F P +⋅=，所以12F E F P ⊥， 所以
12F F P 是等腰三角形，且1122F P F F c ==，在12Rt F EF 中，
212122cos 24a
F E a
F F E F F c c
∠===，
连接1F Q ，又24
=
a
F Q ，点Q 在双曲线C 上，所以由双曲线的定义得，1
22-=FQ F Q a ， 所以194
=a
F Q ，在12F QF 中，
2222221221121229(2)()()44cos 24224
+-+-∠===⋅⨯⨯a c a F F F Q FQ a F F Q a F F F Q c c ，
整理得221621=c a ，所以离心率21
4
==
c e a . 故选：A
点评：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c
e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．
10．对于数列{}n x 若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，恒有
1121n n n n x x x x x x M +--+-++-≤，则称数列{}n x 为有界数列.记n S 是数列{}n x 的前n 项
和，下列说法错误．．
的是（ ） A ．首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是有界数列 B ．若数列{}n x 是有界数列，则数列{}n S 是有界数列 C ．若数列{}n S 是有界数列，则数列{}n x 是有界数列
D ．若数列{}n a 、{}n b 都是有界数列，则数列{}n n a b 也是有界数列 答案：B
根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A 、C 正确；设*
1,n x n =∈N ，可判断B 错误；根
据数列{}n a 和数列{}n b 的有界性，用1||n n a a +-和1||n n b b +-来控制11n n n n a b a b ++-，即可选项D.
解：解：对A:设满足题设的等比数列为{}n a ，则1
(||1)n n a q q -=<， 当2n ≥时，122
1|||||||1|n n n n n a a q q q q -----=-=-，
所以
1121||||||n n n n a a a a a a +--+-++-1
|1|(1||||)n q q q -=-++
+1|||1|
|1|1||1||
n q q q q q --=-<--，
即1121|1|
||||||1||
n n n n q a a a a a a q +---+-++-<
-，
所以首项为1，公比为(||1)q q <的等比数列是有界数列，故A 正确；
对B: 事实上，设*
1,n x n =∈N ，则10n n x x +-=，易知数列{}n x 是有界数列，而此时n S n =，
所以1121n n n n S S S S S S n +--+-++-=，由n 的任意性，知数列{}n S 不是有界数列，故B
错误；
对C ：因为数列{}n S 是有界数列，所以存正数M ，对任意*n ∈N 有
1121n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即11n n x x x M ++++≤，
于是11211121222n n n n n n n x x x x x x x x x x x +-+--+-++-≤+++
++12M x ≤+，
所以数列{}n x 是有界数列，故C 正确；
对D ：若数列{}n a 、{}n b 都是有界数列，则存在正数1M ，2M ，使得对任意*n ∈N ，有
11211n n n n a a a a a a M +--+-+
+-≤；11212n n n n b b b b b b M +--+-+
+-≤，
又
因
为
112211
n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+11221111n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-+
+-+≤+
同理，可得21n b M b ≤+，
所以111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-
()()111211111+n n n n n n n n n n b b a a a b a b M a a M b b +++++≤+--++-≤-，
所以11112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++---+-+
+-
()()()()211211111121++n n n n n n n n M a a a a a a M b b b b b b b a +-+---+
+-+≤++--+
+-
()()211211M M M M b a +≤++，
数列{}n n a b 也是有界数列，故D 正确. 故选：B
点评：关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义. 二、填空题
11．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A 、B 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 答案：52
由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理相加计算.
解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，
有3
424A =种选拔方法；
②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C 项目，在剩下的4人中任选2人参加A 、B 项目，有
2412A =种选拔方法；
③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A 项目，在剩下的4人中任选2人参加B 、C 项目，有
2412A =种选拔方法；
④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B 项目，有1
44A =种选拔方法，则有
241212452+++=.
故答案为：52 12．已知函数111()(0,1),()121x
x
f x a a
g x a x
-=
+>≠=-+，若对任意的[1,)x ∈+∞，不等式()(1)3()f x g x f x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是_________.
答案：(0，1)
(2，+∞)
()(1)3()f x g x f x -<-恒成立等价于
11123
02
x
x a +--<恒成立，构造函数()h x 1112
23
x x a =
+--，然后利用导数求函数的最大值即可. 解：∵1()1x
g x x -=+，∴()21x g x x --=
∵11
()(0,1)12
x
f x a a a =+>≠-
因此()(1)3()f x g x f x -<-，即[]()(1)13f x g x -+<
∴2113112x a x x -⎛⎫⎛⎫+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+-，即1112132
x a x ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭+-
∵[1,)x ∈+∞ ∴
111232x a x +-<，即11123
02
x x a +--< 令()111232x
h x a x =+--，∴()()ln 32
1x x a a h x a -'=-- 当1a >时，()0h x '<，即()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递减 ∴()()max 113
10122
h x h a ==+-<-解得2a > 故2a > 当01a <<时，
101x
a <-，则()1112313010222x h x a x ⎛⎫
-<+-<-< ⎪⎭
+-⎝= 即当01a <<时，()0h x <在[1,)x ∈+∞恒成立 综上：a ∈(0，1)(2，+∞) 故答案为：(0，1)
(2，+∞)
点评：恒成立问题解题思路： （1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
13．如图，在△ABC 中，CA =CB =3，A B =3，点F 是BC 边上异于点B ，C 的一个动点，EF ⊥AB 于点
E ，现沿E
F 将△BEF 折起到△PEF 的位置，则四棱锥P-ACFE 的体积的最大值为_________.
答案：
2
4
设EF x =，则BE PE ==(0x <<
，设PEB θ∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四
棱锥P AFEC -体积为
2
sin )x θ⨯，利用正弦函数的最大值以及导数求得
31(32)(042
y x x x =
-<<的最大值可得结果.
解：在△ABC 中，CA =CB A B =3，
由余弦定理可得：222cos
22
BC BA AC B BC BA +-===
⋅，所以6B π=
设EF x =，则BE PE ==(02
x <<
，
设PEB θ∠=，则四棱锥P AFEC -的高sin sin h PE θθ==，
四边形AFEC 的面积为
211322242
x x ⨯⨯-=-，
则四棱锥P AFEC -2231
sin ))(32)4
x x x x x θ⨯≤=-，当且仅当sin 1θ=，2
π
θ=
时取等号，
令31(32)(04y x x x =-<<，
则213
(36)(1)(1)44
y x '=
-=-，
令0y '>，得02
x <<
，令0y '<，得2x <<
，
所以函数31(32)(04y x x x =
-<<在上递增，在上递减，
所以当2
x =
时，3
1(32)4y x x =-，
所以当,2
2x π
θ=
=时，四棱锥P AFEC -体积的最大值为4
.
故答案为：
4
点评：本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，解题的关键是利用体积公式求解体
积
223
1
sin))(32)
4
x x x x x
θ⨯≤=-，属于中档题.
三、双空题
14．设a，b为实数，若复数
12
1
i
i
a bi
+
=+
+
，则a+b=________，||
a bi
-=________.
答案：2
2
首先根据复数的乘法进行化简，再根据复数的相等列出方程组，解出,a b，再根据模长的公式即可求出||
a bi
-.
解：∵
12
1
i
i
a bi
+
=+
+
，∴()()
121
i i a bi
+=++
即()()
12i a b a b i
+=-++
∴
2
1
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
∴
3
2
1
2
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
||
a bi
-==
故答案为：
2；
2
15．函数2
2sin2sin()
y x x x R
=+∈的最小正周期是_____，值域是________.
答案：π
11
,
22
⎡-+
⎢
⎣⎦
利用二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，然后由正弦函数的性质可得结论.
解：函
数2
1cos21
2sin2sin2sin2)+
22
x
y x x x xϕ
-
=+=+=
-
，cosϕϕ
==()
x R
∈
∵1sin(2)1x ϕ-≤-≤
∴1171117sin(2)+222x ϕ-+≤-≤，即函数的值域为117117,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
最小正周期22
T π
π=
=. 故答案为：π，117117,22⎡⎤
-+⎢
⎥⎣⎦
. 16．若实数x ，y 满足约束条件24
122
x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
，则2y x -的最大值是____________；21
y x +最小值
是_______. 答案：83
-
1
2
先做出可行域，再数形结合求出最值即可. 解：根据条件作出可行域
令2y x t -=由图可知，直线2y x t =+经过点52,
33⎛⎫
⎪⎝⎭
时，t 最大，所以2y x -最大值为258
2333
-⨯=- 12122y y x x +
+=⨯，其中12y x
+可以看成可行域内的点(),x y 与10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭确定的直线的斜率 当直线经过点()2,0时，斜率最小11012224
y x ++==，故1
2122y y x x +
+=⨯
12= 故答案为：83-，1
2
点评：线性规划求目标函数最值得一般步骤：
1.作出可行域（一定注意是实线还是虚线）
2.找到目标函数对应的最优解对应点
3.将最优解带入目标函数求出最值.
17．已知直线:0l ax by c ++=被圆2
2
:16C x y +=截得的弦的中点为M ，若320a b c +-=，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为_________，OM 的最大值为_________.
答案：2
2
230x y y x +++=首先设出所求轨迹的点(),M x y ，然后根据l CM ⊥以及320a b c +-=消参数即可得到轨迹方
程；由于直线过定点，分析可知OM 最大即O 与圆22
230x y y x +++=的圆心之间的距离＋半
径.
解：圆2
2
:16C x y +=的圆心为()0,0，半径为4
设(),M x y ，显然,x b 不能同时为0，则 （1）若0,0x b ≠≠，则有,CM l y a k k x b
=
=- 又因为1CM l k k ⋅=-，所以1y a x b ⎛⎫
⋅-=- ⎪⎝⎭
，所以bx a y = 又因为320a b c +-=，所以332322bx bx by c a b b y y
+=+=+= 将,c a 带入直线:0l ax by c ++=
320bx bx by
x by y y
+⋅++=，即22230x y y x +++= （2）若0,0x b =≠，即()0,M y ，则此时直线为平行于x 的直线，即0a =，此时()0,2M -在
22230x y y x +++=上；
（3）若0,0x b ≠=，即直线为平行于y 轴的直线，此时0y =即()3,0M -，在
22230x y y x +++=上；
综上可知：点M 的轨迹方程为2
2
230x y y x +++=
圆2
2
230x y y x +++=的圆心为3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为2
所以max
OM
==
故答案为：2
2
230x y y x +++=点评：求动点轨迹方程的常用方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法. 四、解答题
18．已知a 、b 、c 分别为ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且cos cos 2b A a B b +=，
cos sin a C C b c +=+.
（1）求角A 的大小； （2）求ABC 的面积.
答案：（1）3
A π
=
；（2）3
ABC
S
=
. （1）利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换可求得1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，结合()0,A π∈可求得角A
的值；
（2）利用正弦定理可得出2c b =，利用余弦定理可求得2b 的值，再利用三角形的面积可求得结果.
解：（1）因为cos sin a C C b c +=+，
由正弦定理可得sin cos sin sin sin A C A C B C =+，
即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin A C A C A C C A C C A C =++=++，
sin sin cos sin A C C A C =+，
()
0,A π∈，则sin 0A >，cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，
()0,A π∈，则56
6
6A π
π
π-
<-
<
，故66A ππ
-=，因此，3
A π=；
（2）因为cos cos 2b A a B b +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin B A A B B +=， 即sin 2sin C B =，所以，2c b =，
因为2a =，由余弦定理可得222222242cos 423a b c bc A b b b b ==+-=+-=，则2
4
3
b =，
因此，14sin 23ABC S bc A =
==
△点评：方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长为2，11
2A B AC ==，M 是棱BC 的中点.
（Ⅰ）求证：1A M ⊥平面ABC ;
（Ⅱ）在线段B 1C 是否存在一点P ，使直线BP 与平面A 1BC 所成角的正弦值为330
20
? 若存在，求出CP 的值; 若不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，13432
2
CP CB =
=
. （1）由题意，证明1A M BC ⊥与1A M AM ⊥，根据线面垂直的判定定理即可证明1A M ⊥平面
ABC ；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，令1PC B C λ=，求出所需点的坐标，向量的坐标，法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可. 解：解：（1）证明：11
2A B AC ==2BC =，M 是BC 中点，
11,1A M BC A M ∴⊥=，
又12,3AA AM ==
22211AM A M AA ∴+=，
1A M AM ∴⊥，
1A M ∴⊥平面ABC ，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，
由（1）知平面A 1BC 的法向量为(
)3,0,0MA =
，()3,0,0A
，()1
0,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，
()1
1
1
3,2,1B C BC BB BC AA =-=-=--， 令()1
3,2,PC B C λλλλ==--，()01λ<<
则()()()0,2,03,2,3,22,BP BC CP λλλλλλ=+=-+-=--，
设直线BP 与平面A 1BC 所成角为θ，则
23330
sin cos ,20
3884
MA BP λθλλ-=<>=
=
⋅-+, 解得3
4λ=
或32
λ=（舍）， 所以当13
4
CP CB =时，满足题意，此时2
22333332
4242CP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭. 20．已知有穷数列{}n a 共有2k 项()
*
,2k N k ∈≥，首项12a =,设该数列的前n 项和为n S ，且
1(1)2n n a a S +=-+(1,2,3
,21)n k =-其中常数1a >.
（1）求证：数列{}n a 是等比数列 （2）若2
212k a -=，数列{}n b 满足()2121
log n n b a a a n
=(1,2,3,2)n k =，求出数列{}n b 的通
项公式
（3）若（2）中的数列{}n b 满足不等式122333
4222
k b b b -+-+⋯-≤，求出k 的值 答案：（1）证明见解析 （2）1(1)1
12121
n n n n b n n k k --⎡⎤=
+=+⎢⎥--⎣⎦(1,2,2)n k =
（3）2,3,4,5,6,7k =
（1）利用分类讨论的思想，分别对1n =时和221n k -时进行讨论，求得n a 与1n a +的关系，即可求解；
（2）结合（1）的结论和条件得n a 的表达式，对12
n a a a 进行化简，结合对数运算即可求得数列
{}n b 的通项公式；
（3）利用分类讨论对3
2
n b 与的大小进行判断，再结合不等式去绝对值，变形得关于k 的不等式，
即可求解．
解：（1）当1n =时，22a a =，则
2
1
a a a =； 当221n k -时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+， 1(1)n n n a a a a +∴-=-，
∴
1
n n
a a a +=， ∴数列{}n a 是等比数列．
（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)
21
2
12
222
n n n n n n n
n n
k a
a
a a a --+
+++--∴===，
1(1)1[]12121
n n n n b n n k k --=+=+--，(1,2,3,
2)n k =
（3）设32n
b ，解得12n k +，又n 是正整数，于是当n k 时，3
2
n b <； 当1n k +时，3
2
n b >
． 原式121233333
()()()()()22222k k k b b b b b +=-+-+⋯+-+-+⋯+-
121()()k k k b b b b +=+⋯+-+⋯+
211(21)(01)22[][]212121
k k k k k
k k k k k k +-+-=+-+=
---． 当
2
421
k k -，得2840k k -+，43423k -+，又2k ， ∴当2k =，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用．分类讨论思想、对数运算性质及绝对值不等式的解法，对运算能力要求高，属于难题
21．如图，已知椭圆2212:1(1)x C y a a
+=>和抛物线2
2:6C x y =，点P 在y 轴上且位于椭圆1C 的
上方.过点P 且不与y 轴重合的直线l 交椭圆1C 于两个不同的点A ，B ，交抛物线2C 于点M .记P 的纵坐标为b （b >1）.
（Ⅰ）求直线l 斜率k 的取值范围（用a ，b 表示）;
（Ⅱ）若点A ，M 是线段BP 的三等分点（点A 在点M 上方），求a 的取值范围.
答案：（Ⅰ）21 b k ->或21b k -<；（Ⅱ）(3,)+∞. （Ⅰ）根据题中直线与椭圆交于两个不同的点，则联立直线与椭圆方程后得到关于x 的方程有两个解，得出关于k 的不等式，求出k 的范围.
（Ⅱ）根据A,B 中点M 在抛物线上得b 和k 的关系式()224
2
61a k b a k
+=
，根据P,M 的中点A 在椭圆上
得b 和k 的关系式()22222414
a k
b a k +=
+，令22t a k =简化运算，0t >，以及4
21136a t t ⎛⎫
>+
⎪⎝⎭
，求出3a >解：（Ⅰ）直线:l y kx b =+，将直线l 的方程代入椭圆2
212:1x C y a
+=得
()()2
2
2
2221210a k x
a kbx a
b +-++=
由题意得0∆>，即22210a k b +->.
解得，21b k a ->或21
b k a
-<-.
（Ⅱ）设00(,)M x y 由（Ⅰ）中(
)()22
2
2221210a k
x
a kbx a
b +-++=得
2022
02211a kb x a k b y a k ⎧=-⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
将点M 代入抛物线2
2:6C x y =，
得()224
2
61a k b a k
+=
.
由于点A 在椭圆2212:1x C y a +=上，因此2
0202212x b y a ⎛⎫
⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪
⎝⎭
. 化简得，()2222
2
414
a k
b a k +=+.
令22t a k =， 由()2242
61a k b a k +=
得4
25491a t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
.
由()22222414
a k
b a k +=
+及22210a k b +->得，0t >.
由()2222
61a k b a k +=
及2
2
2
10a k b +->得4
21136a t t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
把4
25491a t t ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
代入可知，t 可以取遍所有正实数.
因此a >所以a
的取值范围是)+∞.
点评：利用交点有两个得判别式大于0，得关于k 的不等式；充分利用三等分点的作用，以及点在椭圆或抛物线上得b 和k 的关系式. 22．已知函数2()(2)(0)x
x f x ae
a e x a =+-->.
（Ⅰ）若函数()f x 存在两个零点，求实数a 的范围;
（Ⅱ）当函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且存在极值点0x ，证明:
（i ）1210x x -<<<;
（ii ）21201122x x x a
≤<+-. 答案：（Ⅰ）01a <<；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.
(1)利用导数讨论()f x 的单调性得到min 1()(ln )1ln 0f x f a a a =-=-
+<， 令1()1ln g x x
x =-+并讨论其单调性，结合(1)0g =即可 (2)(i)()f x 有两个零点12x x ，，结合(1)0,(0)0f f -><，
由零点的存在性定理和12x x <即可得出结果；
(ii)由上述可知20111ln 112x x a a a
=≤-<+-，根据()10f x =得 ()1011
112x x x x e e e x -+=+结合121111112x x e x x +≤≤++得出2102x x ≤即证. 解：解：（1）()()()211(0)x x f x e ae a '=+->
因为0,210x x e e >+>，令'()0f x = 则110ln x x ae e x a a
-=⇒=⇒=- 所以()f x 在(,ln )a -∞-递减，(ln ,)a -+∞递增 又有两个零点，所以min 1()(ln )1ln 0f x f a a a =-=-
+< 令1()1ln 0x
g x x =-+<，则()g x 在(0,)+∞上单调递增 又(1)0g =，所以(0,1)x ∈时()0<g x
故(0,1)∈a
（2）（i ）22(1)10,(0)20a a f f a e e e ⎛⎫-=++->=-< ⎪⎝⎭
而12,()10x f x x x →+∞→+∞∴-<<<
（ii ）由上知20111ln
112x x a a a =≤-<+- 而()10f x =有：1
121(2)0x x ae a e x +--= ()0111112,x x x x ae e e x a e ∴+=+=即()1011112x x x x e e e x -+=+
又()12111111102
x x e x x x +≤≤++< ()()1010112111121232x x x x x x e x e e e x x x --∴+≤+=+≤++
1011x x e x -∴≤+即()101ln 1x x x -≤+
又()()21111ln 102x x x x +≤-<211012x x x x ∴-≤-即2102
x x ≤ 21201122x x x a
∴≤<+- 点评：(1)利用导数求参数的范围常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
(2)破解含双参不等式证明题的3个关键点
①转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
②巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
③回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.。