人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习 数学归纳法

§2.3 数学归纳法
2.3.1 数学归纳法
一、基础过关
1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出
( )
A ．当n ＝6时命题不成立
B ．当n ＝6时命题成立
C ．当n ＝4时命题不成立
D ．当n ＝4时命题成立
2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则 ( ) A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立
B ．该命题对于所有的正偶数都成立
C ．该命题何时成立与k 取值无关
D ．以上答案都不对
3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12
n (n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1
(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是 ( )
A ．1
B.13 C ．1＋12＋13 D ．以上答案均不正确
5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则 ( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14
6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为
( )
A.24n －3
B.26n －5
C.24n ＋3
D.22n －1 二、能力提升
7．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为
( ) A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1
8．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1
(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋______________________. 9．用数学归纳法证明：
(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2
(n ∈N *)．
10．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
(n ∈N *)．
11．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．
(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；
(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．
三、探究与拓展
12．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12
(an 2＋bn ＋c )对一切正整数成立？并证明你的结论．
答案
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B
8.13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋1
9．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23
，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2
， 那么当n ＝k ＋1时，
(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3
) ＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3
， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．
10．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22
＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k 时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
， 那么当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k －1·k (k ＋1)2
＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k
·(k ＋1)－k ＋2k ＋22 ＝(－1)k
·(k ＋1)(k ＋2)2. 即当n ＝k ＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n 等式都成立．
11．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，
a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，
a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，
猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *)
. (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立，即a k ＝5×2k －2， 那么当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k
＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.
＝5＋5(1－2k －1)1－2
＝5×2k －1. 故当n ＝k ＋1时公式也成立．
由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5 (n ＝1)
5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *)
. 12．解 假设存在a 、b 、c 使上式对n ∈N *均成立， 则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，
此时可得 ⎩⎨⎧
1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，
解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，
下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12
×(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．
(1)当n ＝1时，命题显然成立．
(2)假设当n ＝k 时，命题成立．
即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k (k ＋1)2＝k (k ＋1)12
(3k 2＋11k ＋10)， 则当n ＝k ＋1时，有
1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12
(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12
(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝(k ＋1)(k ＋2)12
(3k 2＋5k ＋12k ＋24) ＝(k ＋1)(k ＋2)12
． 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对任何正整数n ，等式都成立．。