数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程
的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.
13.1 基本概念
(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y
∂∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂∂∂∂∂其中(,,)u x y ⋅⋅⋅是未知多元函数，而,,x y ⋅⋅⋅是未知变量；,,u u x y ∂∂⋅⋅⋅∂∂为u 的偏导数. 有时为了书
写方便，通常记
2
2,,,,x y xx u u u u u u x y x
∂∂∂==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂∂(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．
(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．
(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
例13.1.2：方程的通解和特解概念
二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =−的通解为
2
21(,)()()2u x y xy x y F x G y =−++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为
例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）
2241(,)252sin 2
u x y xy x y x y =−+−+称为方程的特解．
n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方程的通解含有n 个任意函数．
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数(),()F x G y 指定为特殊的4()25,()2sin F x x G y y =−=，则得到的解
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．
我们在解析几何中知道对于二次实曲线
22
ax bxy cy dx ey f +++++=其中,,,,,a b c d e f 为常数，且设24b ac δ=−13.2二阶线性偏微分方程的分类
上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.
下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y )的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
0,0,0δ>=<则当时，
222
22(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂（13.2.1）
其中,,,,,,A B C D E F G 为(,)x y 的已知函数．
定义为方程13.2.1的特征方程22(d )d d +(d )0
A y
B y x
C x −=(13.2.3)
它所对应的积分曲线族称为特征曲线族
在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情况讨论判别式2
4B AC ∆=−
当判别式2
40B AC ∆=−>时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解12(,) (,) x y C x y C φψ==及也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令13.2.1双曲型偏微分方程
作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：此变换是可逆的(,), (,)
x y x y ξφηψ==
2
(,,,,)0u u u u ξηξηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂∂21111((,)(,13.2.)(,)(,)4)u D u E u F u G ξηξηξηξη
ξηξη∂=+∂∂++或表示为此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式
偏微分方程(13.2.4)变为：
111122**22**(,(13.2)(,)(,)(.5)
,)u u D u E u F u G αβαβαβαβ
αβαβ∂∂−=+∂∂++2222(,,,,)u u u u u αβαβαβ∂∂∂∂−=Φ∂∂∂∂或表示为
此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式2(,)
tt xx u a u f x t =+波动方程即为双曲型偏微分方程或者进一步作变换,αξηβξη
=+=−,22αβαβξη+−==或
例13.2.1 原偏微分方程为:板书讲解
解：△
补充例题：学生自己先做，再演示答案
222222y x 0x y
u u ∂∂−=∂∂试将方程 化为标准方程。

当判别式2
40B AC ∆=−=时，方程(13.2.3)一定有重根d d 2y B x A
=，所以特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为(,
)x y c φ=因此令(,), x y y ξ
φη==作变换，则原方程变为13.2.2抛物型偏微分方程
--------13.2.6此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式
222222(,)(,)(,)(,)u D u E u F u G ξηξηξηξηξηη∂=++−∂
2
2(,,,,)0u u u u ξηηξη
∂∂∂+Φ=∂∂∂热传导（扩散）方程就属于这种类型．u t = a 2u xx + f(x,t)
抛物型方程又可记为
例13.2.2 原偏微分方程为:板书讲解
当判别式2
40B AC ∆=−<时，如上讨论得到特征方程的解为
偏微分方程(13.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族13.2.3椭圆型偏微分方程
12(,)i (,); (,)i (,)x y x y c x y x y c φψφψ+=−=(,), (,)x y x y ξφηψ==若令
作变换，则偏微分方程变为上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
22333322(,)(,)(,)(,)u u D u E u F u G ξηξηξηξηξηξη
∂∂+=++−∂∂-----13.2.7
椭圆型方程又可记为如下形式．
2
2(,,,,)0u u u u ξηη
ξη∂∂∂+Φ=∂∂∂22u ξ∂+∂222
2220U U U x y z ρε∂∂∂++=−∂∂∂拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程等都属于这种类型．静电场的电势方程----泊松(Poisson)方程
例13.2.3 原偏微分方程为:板书讲解
§13.3 二阶线性常系数偏微分方程的
进一步化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
13.3.1双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简
2
1111(,)u u u
d e f u G ξηξηξη
∂∂∂=++−∂∂∂∂111,,d e f 1(,)G ξη11(,)(,)
e d u e
ξη
ξηξη+=v 注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
我们不妨令
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
从而有
2
11(,)h J ξηξη
∂=−∂∂v
v (10.4.2)
其中
11()
111111, (,)(,)e d h d e f J G e
ξηξηξη−+=+=由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简
22
****
111122(,)u u u u d e f u G ξηξηξη
∂∂∂∂−=++−∂∂∂∂(10.4.3)
式中
*
**
111,,d e f
均为常系数．若令
**11(,)(,)
e d u e
ξη
ξηξη+=v 则有
(10.4.4)
2
2
**
1122
(,)h J ξηξη
∂∂−=−∂∂v v v (10.4.5)
其中
**11()
***2*2****1
1
1
1
11
1
1
2, (,)(,)e d h f e d e d J G e
ξηξηξη−+=−++=
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
2
22222
(,)u u u
d e f u G ξηηξη
∂∂∂=++−∂∂∂还可以进一步化简．上式中小写字母
222
,,d e f 均为常系数．
为了化简，不妨令
22(,)(,)
e d u e ξη
ξηξη+=v 从而有
2
222
(,)h J ξηη
∂=−∂v
v 13.3.12抛物型
13.3.3椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
22
333322
(,)u u u u
d e f u G ξηξηξη
∂∂∂∂+=++−∂∂∂∂还可以进一步进行化简．上式中小写字母的333
,,d e f 为常系数．
为了化简，不妨令
33(,)(,)
e d u e
ξη
ξηξη+=v 从而有
2
33(,)h J ξηξη
∂=−∂∂v
v 其中
33()
2
333333
(), (,)(,)e d h f e d J G e ξηξηξη−+=−−=
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：
[](,)
L u G x y =其中L 是二阶线性偏微分算符，G 是x,y 的函数．线性偏微分算符有以下两个基本特征：
11221122[][];
[][][];
L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+§13.5 二阶线性偏微分方程的特征其中
12
,,c c c 均为常数．进一步有如下结论：
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：u cu 为方程的解时，则也为方程的解；
(1).当也是方程的解；
12,u u 1122
c u c u +为方程的解，则(2)若
(3)线性偏微分方程的叠加原理(4)线性偏微分方程的积分解
叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性k u [] (1,2,)
k L u f k ==⋅⋅⋅即若是方程
（其中L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
1
k k
k u c u ∞
==∑收敛，且二阶偏导数存在（其中
(1,2,)k c k =⋅⋅⋅为任意常数），则1
k k
k u c u ∞
==∑一定是方程1
[] k
k k L u c
f ∞
==
∑的解
（当然要假定这个方程右端的级数是收敛的）．
3.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：I
II
u u
+为非齐次方程的通解；
I
u
II
u 为非齐次方程的特解，
为齐次方程的通解，则
(1)若
(2) 若
1122[](,),[](,),
L u H x y L u H x y ==则
1212[](,)(,)
L u u H x y H x y +=+
二阶线性偏微分方程
总结
基本概念
分类与化标准形式进一步化简
解的特性
作业
习题13.1 a c。