人教版选修【1-2】2.2.2《反证法》ppt课件

1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾。
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （4）与客观事实矛盾.
2、你认为反证法的使用情形有那些？
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。 练习：资料P65 课时 5
题型一
用反证法证明否定性命题
1．求证：1， 3，2 不能是同一等差数列中的三项．
证明：假设 1， 3，2 是公差为 d 的等差数列的三项， 则 1＝ 3－md,2＝ 3＋nd， 其中 m， n 为正整数． 由上面两式消去 d，得 n＋2m＝ 3(n＋m)． 因为 n＋2m 为有理数，而 3(n＋m)为无理数， 所以 列中的三项． 3(n＋m)， 因此假设不成立，即 1， 3，2 不能是同一等差数
点评：如果结论的反面只有一种，则只需将此 否定驳倒，这种比较单纯的反证法称归谬法．如果 结论的反面情况不只一种，则必须将其逐一驳倒， 才能推出命题结论正确．
思考？
今有A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒 谎，C说A、B都撒谎，则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
2.2.2直接证明与间接证明
—反证法
反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出 矛盾，由此说明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的证明方法叫反证法。
反证法的思维方法：正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确.
点评：采用反证法证明结论中至少或至多形式时，可以使 得推证方向明确、推证过程清晰，有利于问题的整体解决．
题型3 用反证法证明唯一性命题
例3 已知 a≠0，证明关于 x 的方程 ax＝b 有且只有一个根
b 证明：由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝a. 如果方程不只一个根，不妨设 x1，x2 是它们的两个不同的根， 即有：ax1＝b 且 ax2＝b，则有 a(x1－x2)＝0， 因为 x1≠x2，所以 a＝0，这与已知矛盾．故假设错误． 所以 a≠0，方程 ax＝b 有且只有一个根． 点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个根”两层意 b 思．由于 a≠0，因此方程至少有一个根 x＝a.从正面较难说明为什么 只有这个根．故我们采用反证法．
跟 踪 题型4 当正面入手较困难时宜用反证法 训 练
4．已知平面 M 内有两相交直线 a，b(交点为 P)和 平面 N 平行．求证：平面 M∥平面 N.
证明：假设平面 M 不平行于平面 N， 则平面 M 和平面 N 一定相交，设交线为 c. ∵a∥平面 N，∴a∥c.同理 b∥c. 则过 c 外一点 P 有两条直线与 c 平行． 这与公理 “ 过直线外一点有且只有一条直线和 已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立． 所以平面 M∥平面 N.
点评： 本题很好地体现了反证法证明否定性数学 命题的巨大作用， 同时也十分清晰地展示了反证法的 证明步骤．
跟 踪 题型2 用反证法证明“至少、至多”问题 训 练
中至少有一个小于 2.
1＋x 1＋y 2．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＞2.试证： y ， x
1＋x 1＋y 证明：假设 y ， x 都不小于 2， 1＋x 1＋y 即 y ≥2， x ≥2. 因为 x＞0， y＞0， 所以 1＋x≥2y， 且 1＋y≥2x. 把这两个不等式相加，得 2＋x＋y≥2(x＋y)， 从而 x＋y≤2.这与已知条件 x＋y＞2 矛盾． 1＋x 1＋y 因此 y ， x 都不小于 2 是不可能的， 即原命题成立．
跟 踪
3．求证：方程 训 练
x
2 ＝3 有且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有一个根．
x
证明 ：∵2 ＝ 3， ∴x＝ log23，这说明方程至少 有一个根． 下面用反证法证明方程 2x＝3 的根是唯一的． 假设方程 2x＝3 有两个根 x1，x2(x1≠x2)，则 2x1＝3， 2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果 x1－x2＞ 0，则 2x1－x2＞1，这与 2x1－x2＝1 相矛盾； 如果 x1－x2＜0，则 2x1－x2＜1，这也与 x1－ x2 2 ＝1 相矛盾，因此，x1－x2＝0，即 x1＝x2， 这与 x1≠x2 矛盾，所以方程 2x＝3 有且只有一个根．