专题14 三角函数与平面向量的综合应用

专题14 三角函数与平面向量的综合应用
一、基础回顾
1. 已知向量)cos 2,(cos ),sin ,2(2x x b x a ==→→，则函数→
→⋅=b a x f )(的最小正周期为 .
2. 已知向量)1,3(),sin ,(cos -==→→b a θθ，则→→-b a 2的最大值、最小值分别为 .
3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，则→
→⋅AC AB = .
4. 设G 为△ABC 的重心，且0sin sin sin =⋅+⋅+⋅→→→GC C GB B GA A ，则角B 的大小为 .
二、知识及思维梳理
1.三角和向量综合问题有哪些考查方向？
2.会运用到哪些数学思想方法？
三、典例精析
考点一 平面向量的平行与垂直问题
例1：设向量)sin 4,(cos ),cos 4,(sin ),sin ,cos 4(ββββαα-===→
→→a b a .
（1）若→→→c a 2-b 与垂直，求)tan(βα+的值； 的最大值；
16tan =β，求证：→
→b a ∥
练1：已知向量)cos ),((),sin 3cos ,1(wx x f n wx wx m =+-=→→，其中w>0，且→
→⊥n m ，
且函数)(x f 的图像上任意两条相邻对称轴的间距为2
3π. （1）求w 的值；
（2）设α是第一象限角，且)
24cos()4sin(,2623)223(αππ
απα++=+求f 的值.
考点二 平面向量与三角函数综合应用
例2：如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B 两点.
（1）如果A,B 两点的纵坐标分别为54,13
12,求)cos(αβ-的值; （2）已知点)3,1(-C ,求函数→
→⋅=OC OA f )(α的值域.
练2：已知向量)sin ,2(),1-(cos αα==→→n m ，，其中→
→⊥∈n m ，且)2,
0(πα. （1）求α2cos 的值； （2）若1010)sin(=-βα，且)2
,0(πβ∈，求角β的大小.
考点三 平面向量与解三角形综合运用
例3：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2
cos
cos 42cos cos 42C C C C ⋅=+. （1）求角C 的大小；
（2）若221-CA =→
→
CB ，求△ABC 面积的最大值.
练3：已知向量),a (),b (a b c n c a m --=+=→
→，，且0=⋅→
→n m ，其中角A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求B A sin sin +的最大值.
四、课后巩固
1.已知△ABC 的锐角三角形，向量)23,s (),1-cos 3(sin inA n A A m =+=→
→，，其中→→⊥n m 且. 则角A 的大小 . 的等比数列，则其最大角的余弦值为 .
)sin ,ββ，其中πβα<<<0，若4. 在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=30°，AD 是边BC 上的高，则→
→⋅AC AD = . 5. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足5
522cos =A ,3=⋅→
→AC AB . （1）求△ABC 的面积；
（2）若c=1，求a 的值.。