高一数学讲义：空间几何体--棱柱、棱锥、棱台

高二数学专题 空间几何体-棱柱、棱锥、棱台
[专题内容概述]
1、 立体几何的基础知识讲解；
2、三个基本问题（平面的性质；线线、线面、面面平行与垂直判定、性质；几何形体的性质和画法、面积与体积的计算）的解决方法与途径。

[专题涉及知识点]
平面的性质；空间直线与直线的位置关系；空间直线与平面的位置关系、平行垂直的判定与性质；空间平面与平面的位置关系、平行与垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征、画法；空间几何体的体积和表面积的计算；立体几何的综合问题。

一、知识要点讲解：
要点1、空间几何体--棱柱
◆棱柱的概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱；了解棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高、对角面等有关概念。

◆棱柱的分类：
（1）按棱与底面的位置关系分类：
（2）按底面多边形的边数分类：可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等； （3）几种特殊四棱柱之间的关系：
◆棱柱的性质：
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面是全等的矩形； （2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形； （3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形；
（4）长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

◆熟练运用棱柱的侧面积、体积公式，清楚直棱柱、正棱柱中的基本量及基本量之间的关系，从而解决棱柱中的线线、线面、面面关系的判断及面积、体积的计算。

（1）直棱柱的侧面积、体积公式：（注意侧面展开图）
（2）长方体中的基本量及基本量之间的关系：
长方体的一条对角线和与这一对角线交于一点的三条棱所 成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222
=++γβα
②长方体的一条对角线和经过这条对角线一端点的三个面所成 的角分别为δφθ,,，则2cos cos cos 222=++δφθ
（3）正棱柱中的基本量及基本量之间的关系：
①正棱柱中注意侧棱垂直于底面，底面为正多边形，此为正棱柱的性质； ②正方体是特殊的、简单的正四棱柱，注意以下结论：
正方体的四个顶点为一个正四面体的四个顶点，面对角线长为其棱长，如图中正四面体A BCD -（如图（1））；
正方体的面对角线形成的平面ABC 和平面DEF 平行且垂直、三等分正方体的对角线GH (如图（2）)； A 、B 、C 为正方体的共顶点的棱上的点，则ABC ∆为锐角三角形（如图（3））。

(1) (2) (3) [例1]设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。

以上四个命题中，真命题的个数是
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
[例2]如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形， 且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，
EF ∥AB ，2EF =，则该多面体的体积为
（A ）
3
（B （C ）43 （D ）32
[例3]若三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为cm 6的正三角形，侧棱长为cm 5，顶点1A 在ABC ∆所在平面上的射影为正ABC ∆的中心O ，则棱柱111C B A ABC -的侧面积为 （ ）
（Ａ）2
72cm （Ｂ）2
78cm （Ｃ）2
90cm （Ｄ）2
120cm
[例4]如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角形，︒=∠90BAC ，且1AB AA =，D 、
E 、
F 分别为1B A 、1CC 、BC 的中点。

（1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF 。

【练习1】下列命题中，正确的命题个数是 （ ） ①底面是正多边形的棱柱称为正棱柱； ②对角线都相等的平行六面体是长方体； ③有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ④棱长都相等的直四棱柱是正方体； ⑤平行六面体的对角线互相平分； ⑥底面是矩形的四棱柱是平行六面体。

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
【练习2】如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，当底面ABCD 满足条件______时，有111D B C A ⊥。

（填上你认为正确的一种条件即 可，不必考虑所有可能的情形） 【练习3】直三棱柱11DCC ABB -中，
︒=∠901ABB ，1,2,41===CC BC AB ，
DC 上有一动点P ，则1APC ∆周长的最小
值是_________。

【练习4】若ABC Rt ∆中两直角边为,a b ，斜边c 上的高为h ，
则
222
111h a b =+，如图，在正方体的一角上截取三 棱锥P ABC -，PO 为棱锥的高，
记2222
1111,M N PO PA PB PC
==++，那么，,M N 的大小关系是____________。

【练习5】在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M F E ,,分别为棱1,,BB BC AB 的中点。

（1）求证：⊥M D 1平面EF B 1； （2）求点1A 到平面EF B 1的距离。

【练习6】在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥底面
ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC
与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=
.
（Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；
（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，
说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.
要点2、空间几何体--棱锥 ◆棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；了解棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面等有关概念。

◆棱锥的分类：
（1）按底面多边形的边数分类：可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等；
（2）正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

◆棱锥的性质：
（1）棱锥被平行于底面的平面所截，所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥的高的平方比。

（2）正棱锥的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形的底边上的高相等；
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；
③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；侧面与底面所成的二面角都相等。

◆熟练运用棱锥的侧面积、体积公式，清楚正棱锥中的基本量及基本量之间的关系，从而解决棱锥中的线线、线面、面面关系的判断及面积、体积的计算。

（1）正棱锥的侧面积、体积公式： ①正棱锥的侧面积公式：
②锥体的体积公式：
（2）正棱锥中的基本量及基本量之间的关系：
如图，正n 棱锥（3,*
≥∈n N n ）， 高PO h =，斜高h PM '=，底面边长a ，
2
a
AM =
，底面正多边形外接圆半径OA R =， 内切圆半径（边心距）OM r =，侧棱PA l =，其中
三棱锥P OAM -由四个直角三角形构成，︒=∠=∠=∠=∠90OMA PMA POM POA ， 侧面与底面所成的二面角为α（α=∠PMO ），侧棱与底面所成的角为β（β=∠PAO ），
1
n
AOM ︒
=
∠180，有：........sin sin 22===-'=βαl h r h h ......cos )21(2222==-=+='α
r
a l r h
h ......1802sin a
R n
=
=°
◆掌握三棱锥的一些结论： （1）顶点在底面内的射影：
①若PA PB PC ==，则顶点P 在底面ABC 内的射影为 ABC ∆的外心；
②若侧棱,,PA PB PC 与底面所成的角相等，则顶点
P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的外心；
③若PC PB PC PA PB PA ⊥⊥⊥,,，则顶点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的垂心； ④若AC PB BC PA ⊥⊥,（或AB PC ⊥），则顶点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的垂心； ⑤若顶点P 到边,,AB BC AC 的距离相等，则顶点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的内心；
⑥若侧面PAB ，侧面PBC ，侧面PAC 与底面ABC 所成的二面角都相等，则顶点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的内心；
⑦若底面ABC 是等边三角形，则满足上述结论之一的三棱锥P ABC -，顶点P 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，三棱锥P ABC -成为正三棱锥。

（2）三棱锥体积公式的应用——“等积法”
三棱锥是最简单的棱锥，它的每一个顶点都可以做为棱锥的顶点，每一个面都可以做为棱锥的底面，这是三棱锥的特殊性质。

利用它可以变换顶点和底面，灵活地计算三棱锥的体积；尤其在求点到面的距离时，我们常把点面距离化归为某个三棱锥的高，利用变换顶点和底面求体积，通过方程思想求出此高，从而求得点到面的距离。

（3）正四面体是特殊的、简单的三棱锥。

要熟悉正四面体中的的基本量及基本量之间的关系，熟练解决正四面体的线线、线面、面面关系的判断及表面积、体积的计算。

（4）棱台：注意转化为棱锥来研究。

[例5]下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中，真命题的编号是_____________。

（写出所有真命题的编号）
[例6]已知三棱锥ABC S -，D 、E 分别是侧棱SA 及SB 的中点，过D 、E 、C 三点的平面把这个三棱锥截
为一个小三棱锥和一个四棱锥，则小三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为
（A ）1：1 （B ）1：2 （C ）1：3 （D ）1：4 [例7]如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为
[例8]在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，
90ADC ∠=︒，1
2
BC CD AD ==，PA PD =，E F ,为AD PC ,
的中点．
（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；
（Ⅱ）求证：AD PB ⊥．
[例9]如图所示，等腰ABC △
的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积． （1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．
【练习7】下列定义的棱锥中不是正棱锥的是 （ ） （A ）底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥； （B ）底面是正多边形，侧棱都相等的棱锥；
（C ）底面是正多边形，侧面与底面所成的角都相等的棱锥； （D ）侧棱都相等，侧面与底面所成的角都相等的棱锥。

【练习8】已知高为3的直棱柱C B A ABC '''-的
底面是边长为1的正三角形，则三棱锥ABC B -'的体积是 （A ）
14 （B ）12 （C
（D
【练习9】设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，,P Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积是
（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12
V
【练习10】已知正方形ABCD ，AB =2，若将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是____.
P
A
B
C
E
F
D
P
E
D F B
A
C
【练习11】如图，梯形ABCD 中，AD BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠=
,将ABD ∆沿对角
线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；
②三棱锥
A BCD '- ③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '.
其中正确命题的序号是
（A ）①② （B ）③④
（C ）①③ （D ）②④
【练习12】如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；
（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
【练习13】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面
ABCD ，M 和N 分别是AD 和BC 的中点.
（Ⅰ）求证：PM MN ⊥；
（Ⅱ）求证：平面PMN ⊥平面PBC ；
（Ⅲ）在PA 上是否存在点Q ，使得平面QMN ∥
平面PCD ，若存在求出Q 点位置，并证明， 若不存在，说明理由.
C
B A 1图 图 2。