2003年河北省中考数学试题及答案

2003年河北省初中升学统一考试
数学试卷
一、选择题：（每小题2分，共20分）
1、如果水位下降3m ，记作－3m，那么水位上升4 m，记作（）
A、1 m
B、7 m
C、4 m
D、－7 m
2、下列计算中，正确的是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐
弯的角度可能是（）
A、第一次向左拐300，第二次向右拐300
B、第一次向右拐500，第二次向左拐1300
C、第一次向右拐500，第二次向右拐1300
D、第一次向左拐500，第二次向左拐1300
4、化简的结果是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
5、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）
A
6、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程中，正确的是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
7、如图：这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（）
A 、平方米
B 、平方米
C 、平方米
D 、平方米
8、在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）
A 、直线＝上
B 、直线＝－上
C 、抛物线＝上
D 、双曲线上
9、如图：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
10、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水
槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系大致是下列图象中的（）
二、填空题：（每小题2分，共20分）。

的倒数是
2
、－
11。

，用科学记数法把它表示为
00004m
.0
、一种细菌的半径是
12。

＝
、分解因式
13
14、两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们订成一个三角形框。

的范围是
cm
架，那么第三根木棒长。

的解集为
、不等式组
15
16、乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间需要
种。

安排不同的车票
，那么原方程可化为关于
时，如果设
、在解方程
17。

的一元二次方程的一般形式是。

的侧面积为
，则它
6
，母线长为
4
、已知圆锥的底面直径为
18
19、如图：这是某机械传动部分的示意图，已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米，
分米。

分米，那么传动带的长为
6
轴心距为
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
••
•
1
=
n2
=
n3
=
n
第20题图
20、如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即
20
＝
）根时，需要的火柴棍总数为
根。

三、解答题：（8个小题，共80分）
21、（8分）已知，，求的值。

22、（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，E、F是对角线AC 上的两点，且AE＝CF。

求证：BE＝DF。

23、（8分）某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：（分
分数段（分）61～70 71～80 81～90 91～100
人数（人） 2 8 6 4
（1）参加这次演讲比赛的同学有人；
（2）已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么优胜率为；
（3）所有参赛同学的平均得分M（分）在什么范围内？
答：。

（4）将成绩频率分布直方图补充完整
24、（8分）如图：MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN交⊙O的弦BC 于点P，若PA＝2cm，PB＝5cm，PC＝3cm。

求⊙O的直径。

25、小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别作了预算，通过列表，并用（m2）表示铺设地面的面积，用（元）表示铺设费用制成下图，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）预算中铺设居室的费用为元／m2；铺设客厅的费用为元／m2（2）表示铺设居室的费用（元）与面积（m2）之间的函数关系为；
（3）已知在小亮的预算中，铺设1 m2的瓷砖比铺设1 m2的木质地板的工钱多5元，
购买1 m2的瓷砖是购买1 m2木质地板费用的，那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？
26、（12分）探究规律：如图1，已知直线∥，A、B为直线上的两点，C、P为直线上的两点。

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：。

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：
与△ABC的面积相等；
理由是：。

解决问题：
如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。

请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。

（不计分界小路与直路的占地面积）
（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；
（2）说明方案设计理由。

27、（12分）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为元，年销售量为万件，年获利（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。

（1）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（2）试写出与之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？
28、（12分）如图：已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝（为锐角），当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动，设OM＝，ON＝（＞≥0），△AOM的面积为，若、OA是方程的两个根。

（1）当∠MAN旋转300（即∠OAM＝300）时，求点N移动的距离；
（2）求证：
（3）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （4）试写出
随变化的函数关系式，并确定
的取值范围。

2003年河北省中考试题答案
一、CCABD, CBDAB.
二、11.-1
2
; 12.4×10-5; 13.(m+n)(m-n-3); 14.3<x<17; 15.x>3; 16.20; 17.y 2-3y-1=0;
18.12π; 19.(6π+6 3 ); 20.630.
三、21.原式 = xy + x ·1x + y ·1y + 1y ·1x = xy +1
xy +2.
∵x=2+ 3 , y=2- 3 , ∴xy=(2+ 3 )(2- 3 )=1 ∴原式 = 1+ 1
1
+2=4.
22.证明：∵AB=CD, BC=AD, ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF,
∴△ABE ≌△CDF. ∴BE=DF. 23.解：（1）20；（2）20%；（3）77≤M ≤86; (4)如图.
24.解：延长AP 交⊙O 与点D.
由相交弦定理可知：PA ·PD=PB ·PC. ∵PA=2cm, PB=5cm, PC=3cm, ∴2PD=5×3. ∴PD=7.5. ∴AD=PD+PA=7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A, AP ⊥MN, ∴AD 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的直径是9.5cm. 25.(1)135, 110. (2)y=135x, y=110x.
(3)解：设铺木质地板的工钱为每平方米x 元，购买木质地板每平方米的费用为y 元，则铺瓷砖的工钱为每平方米（x+5）元，购买瓷砖每平方米的费用为3
4
y 元.
根据题意，得 ⎩⎨⎧x+y=135(x+5)+34y=110 或 ⎩⎨⎧30(x+y)=4050
25(x+5+34
y)=2750 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧x=15
y=120.
由此得 x+5=20, 3
4
y=90.
答：铺设木质地板和瓷砖每平方米的工钱分别是15元和20元；购买木质地板和瓷砖每平方米的的费用分别为120元和90元. 26.探究规律：（1）△ABC 和△ABP, △AOC 和△BOP, △CPA 和△CPB; (2) △ABP.
因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 同
A
C
P B
O
D
M
底等高，因此，它们的面积总相等. 解决问题：（1）画法如图.
连结EC, 过点D 作DF//EC, 交CM 于点F, 连结EF, EF 即为所求直路的位置. （2）设EF 交CD 于点H, 由上面得到的结论，可知： S △ECF =S △ECD , S △HCF =S △EDH . ∴S 五边形ABCDE =S 五边形ABCFE , S 五边形EDCMN = S 四边形EFMN .
27.解：（1）依题意知，当销售单价定为x 元时，年销售量减少1
10(x-100)万件.
∴y=20-110(x-100) = - 1
10x+30.
即y 与x 之间的函数关系式是: y = -
1
10
x+30. （2）由题意，得：z = (30-110)(x-40)-500-1500 = - 1
10x 2+34x-3200.
即z 与x 之间的函数关系式是: z = - 110
x 2
+34x-3200. (3) ∵当x 取160时，z= - 1
10
×1602+34×160-3200 = - 320. ∴ - 320 = -
110
x 2
+34x-3200. 整理，得x 2-340+28800=0.
由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 当x=160时，y= - 1
10
×160+30=14; 当x=180时，y= -
1
10
×180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件. （4）∵z = -
110x 2+34x-3200= - 1
10
(x-170)2-310. ∴当x=170时，z 取最大值，最大值为-310.
也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资.
第二年的销售单价定为x 元时，则年获利为：
M
z = (30- 1
10
x)(x-40)-310 = -
110
x 2
+34x-1510. 当z =1130时，即1130 = -
1
10
+34 -1510. 整理，得 x 2-340x+26400=0. 解得 x 1=120, x 2=220. 函数z = - 110
x 2
+34x-1510的图象大致如图所示：
由图象可以看出：当120≤x ≤220时，z ≥1130.
所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内. 28.解：（1）解方程2z 2-5z+2=0得：z 1= 1
2 , z 2=2.
∵α为锐角， ∴OA=2, cos α= 1
2
.
∴α=600. 即∠POQ=∠MAN=600.
∴初始状态时，△AON 为等边三角形. ∴ON=OA=2.
如图，当AM 旋转到AM ’时，点N 移动到N ’.
∵∠OAM ’=300, ∠POQ=∠M ’AN ’=600, ∴∠M ’N ’A=300.
在Rt △OAN ’中，ON ’=2AO=2×2=4. ∴NN ’=ON ’
-ON=4-2=2.
)
A
Q O(M) M ’
N N ’ P
∴点N 移动的距离为2.
（2）在△OAN 和△AMN 中，∠AON=∠MAN=600, ∠ONA=∠ANM. ∴△OAN ∽△AMN.
∴AN MN = ON AN . 即AN 2=ON ·MN. （3）∵MN=ON-OM=y-x,
∴AN 2=ON ·MN=y(y-x)=y 2-xy. 过A 点作AD ⊥OP, 垂足为D,
在Rt △OAD 中，OD=OA ·cos600=2×1
2 =1, AD=OA ·sin600=
3 .
∴DN=ON-OD=y-1.
在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=( 3 )2+(y-1)2=y 2-2y+4. ∴y 2-xy=y 2-2y+4. 整理，得y=
42-x
. ∵y>0, ∴2-x>0, 即x<2.
又∵x ≥0, ∴x 的取值范围是：0≤x<2. （4）在△OAM 中，OM 边上的高AD 为 3 ， ∴S= 12 ·OM ·AD = 12 ·x · 3 = 3 2 x.
∵S 是x 的正比例函数，且比例系数 3
2
>0, ∴0≤S<
3
2
×2， 即0≤S< 3 .。