上海市第二工业大学附属龚路中学(五四制)2020-2021学年九年级上学期期中数学试题(教师版)

2020学年第一学期初三数学期中质量调研试卷
一．选择题
1. 已知线段 a 、 b 、 c 、 d ，如果 ab cd = ，那么下列式子中一定正确的是（ ） A. a b
c d = B. a b
d c = C. a d
c b = D. a c b
d = 【答案】C
【解析】
试题解析：∵ab=cd ， ∴a
c d b =，a d
c b =．
故选C ．
2. 如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（
）
A. 1:2
B. 1:4
C. 1:
D. 2:1 【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【详解】解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
3. 已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（ ）
A. 如果a b =，那么a b =
B. 如果a b =-，那么//a b ；
C. 如果//a b ，那么||||a b =；
D. 如果a b =-，那么a b =．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的定义可直接进行排除选项．
【详解】A、如果a b
=，a与b的大小相等，但方向不一定相同，故错误；
B、如果a b
=-，a与b的大小相等，但不一定平行，故错误；
C、如果//
a b，a与b的大小不一定相等，故错误；
D、如果a b
=-，那么a b
=，故正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查向量，正确理解向量的定义是解题的关键．
4. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )
A. DE
BC
＝
2
3
B.
DE
BC
＝
2
5
C.
AE
AC
＝
2
3
D.
AE
AC
＝
2
5
【答案】D 【解析】【分析】
根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AE
DB EC
=或
AD AE
AB AC
=时,DE BD,然后可对各选项进行判
断.
【详解】解：当AD AE
DB EC
=或
AD AE
AB AC
=时,DE BD,
即
2
3
AE
EC
=或
2
5
AE
AC
=.
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.
5. 在直角坐标平面内有一点P（3，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值（）
A. 3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由点P （3，4）可得点P 到x 轴、y 轴的距离为4、3，则 5OP ==，
∵OP 与x 轴正半轴的夹角为α， ∴4sin 5
α=
； 故选D ．
【点睛】本题主要考查正弦，熟练掌握求一个角的正弦值是解题的关键．
6. 已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，则另一个三角形的最小内角为（ ）
A. 72︒
B. 63︒
C. 45︒
D. 不能确定 【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．
【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为72,63︒︒，
则另一个三角形的第三个内角为180726345︒-︒-︒=︒，
因此，另一个三角形的最小内角为45︒，
故选：C ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 二．填空题
7. 已知线段a=9，c=4，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b=__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据比例中项可直接进行列式求解．
【详解】解：由题意得：
2b a c =⋅，
∵a=9，c=4，
∴236b =，即6b =；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项定义是解题的关键．
8. 如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3km 的两地在地图上的图距是_________cm ．
【解析】
【分析】
设两地在地图上的图距是xcm ，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，
【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm ， 根据题意得：1:
,30000050000
=x ∴x=6cm
故答案为：6．
【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
9. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC BC >），AB=4，则AC =__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据黄金分割比可直接进行列式求解．
【详解】解：由题意得：
12
AC AB =， ∵AB=4，
∴2AC =；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题关键．
10. 若a b c 234
==，且a b c 6-+=，则a b c +-=__________． 【答案】2
【解析】
【分析】
设a=2k ，b=3k ，c=4k ，代入a b c 6-+=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：由a b c 234
==可设a=2k ，b=3k ，c=4k ， 代入a b c 6-+=得：2k －3k ＋4k=6，
∴a=4，b=6，c=8，
∴a b c
+-=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．
11. 如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，如果AC : CE = 3:5，BF=6，那么DF=__________．
【答案】15 4
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例定理求解．【详解】∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴AC BD
AE BF
=，
BD AC
DF CE
=
又∵BF＝6，
∴BD=9
4
，
∴DF=
9
515
4
34 BD CE
AC
⨯
==．
故答案为：15
4
．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是找出对应的比例线段，由平行线分线段成比例定理得出比例式．
12. 已知在Rt △ABC 中，C 90∠=︒，tanA=
34
，BC=6，则AB 的长为__________． 【答案】10
【解析】
【分析】 先根据tanA 的定义和它的值求出AC ，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵C 90∠=︒，tanA =
BC AC =34，BC=6， ∴AC=8，
根据勾股定理得， 故答案为：10．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，求出AC 的值是解题关键．
13. 如果a 、b 、x 满足关系式()40a b x --=，那么x =______（用向量a 、b 表示）.
【答案】4b a -
【解析】
【分析】
把()40a b x --=看成关于x 的方程即可解决问题.
【详解】∵()
40a b x --=，
∴40a b x -+=，
∴4x b a =-，
故填：4b a -.
【点睛】此题考察平面向量，可以转化为关于x 的方程来解决问题.
14. 已知向量e 为单位向量，如果向量n 与向量e 方向相反，且长度为3，那么向量n =________．（用单位向量e 表示）
【答案】3-e
【解析】
因为向量e 为单位向量,向量n 与向量e 方向相反,且长度为3,所以n =3e -,
故答案为: 3e -.
15. 如图，正方形 CDEF 内接于直角.ABC ，点 D,E,F 分别在边 AC,AB 和 BC 上，当 AD=2，
BF=3 时，正方形 CDEF 的面积是_____.
【答案】6
【解析】
【分析】
首先设正方形CDEF 的边长为x ，易得△ADE ∽△ACB ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
【详解】设正方形CDEF 的边长为x ，则DE =CF =CD =x ，BC =CF +BF =3+x ，AC =AD +CD =2+x ，
∴DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE AD BC AC =， ∴232x x x =++， 解得：6x =±，
∴6DE =，
∴正方形CDEF 的面积是：6；
故答案为6.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
16. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且ADE B ∠=∠，如果:2:5DE AD =，
3BD =，那么AC =________．
【答案】152
【解析】
【分析】
根据ADE B ∠=∠，EAD DAB ∠=∠，得出AED ABD ∆∆∽，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵ADE B ∠=∠，EAD DAB ∠=∠，
∴AED ABD ∆∆∽， ∴DE BD AD AB =，即325
AB =， ∴152AB =， ∵AB AC =，
∴152AC =
， 故答案152 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解． 17. 在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB=12，AC=16，AE=4，若ABC 与ADE 相似，则
AD=__________． 【答案】
163或3 【解析】
【分析】
分类讨论：当△ADE ∽△ABC 和当△AED ∽△ABC ，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．
【详解】如图
∵∠DAE=∠BAC ，
∴当△ADE ∽△ABC ，
∴
AB AD AC AE =， 即12164
AD =， 解得：AD=3，
∴当△AED ∽△ABC ，
∴AB AE AC AD
=，
即
124
16AD
=，
解得：AD=
16
3
，
故答案为：
16
3
或3
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
18. 在ABC
∆中，90
ACB︒
∠=，10
AB=，
3
cos
5
A=，把ABC
∆绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'，如果A B''恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为________
【答案】
36
5
【解析】
【分析】
根据10
AB=，
3
cos
5
A=和勾股定理分别求出AC,BC的长度，利用旋转的性质和
3
cos cos
5
A A
==
'求出A M
'，进而求出'
AA的值
【详解】解析：如图ABC A B C
∆∆'''
旋转得
90
ACB︒
∠=，10
AB=，
3
cos
5
A=
22
6
8
AC
BC AB AC
∴=
∴=-=
由旋转可得A A ∠'=∠，6A C AC '==
3cos cos 5A A ∴==' 过点C 作CM AA ⊥'于点M
∴185
A M '= 36'2'5AA A M ∴==
【点睛】本题主要考查图形的旋转及解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
三．解答题
19. 计算：cot30°﹣sin60°+22cos30tan 45︒-︒
． 【答案】
3312+ 【解析】 【详解】试题分析：将特殊三角函数值代入计算即可.
试题解析：
解：原式3332233121-=-⨯- 331+ 331． 20. 已知：如图，ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD ：DC=2：1．
(1)设BA BC a b ==， ，先化简,再求作： 1(3)(2)2a b a b +-+
(直接作在图中)； (2)用+xa yb (x 、y 为实数)的形式表示 BD ．
【答案】（1）12a b +，作图见解析；（2） 3 123
BD a b =+． 【解析】
【分析】 （1）根据平面向量加减混合计算的顺序和法则，先化简,再作图；
（2）首先求出AC ，再根据AD ：CD=2：1，求出AD ，根据BD BA AD =+计算即可解决问题
【详解】解：（1）111(3)(2)32222a b a b a b a b a b +-+
=+--=+； 如图，延长CB 到点F ，使BF=12
BC ，连接FA ，FA 即为所求．
（2）∵()
23AC BC BA b a AD b a =+=-=-，AD ：DC=2：1， ∴AD=23
AC ， ∴()
23AD b a =-， ∵BD BA AD =+，
∴()
212333BD a b a a b =+-=+． 【点睛】本题考查平面向量，平面向量加法法则，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥CD 交BD 于点F ，如果AB ：CD=2：3，EF ＝6，求CD 的长．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理可证△ABE ∽△DCE ，列出比例式即可求出25BE BC =，然后根据相似三角形的判定定理可证△BEF ∽△BCD ，列出比例式即可求出结论．
【详解】解：//AB CD
∴△ABE ∽△DCE
23
BE AB EC CD ∴== 25
BE BC ∴= //EF CD
∴△BEF ∽△BCD
25
EF BE CD BC ∴== 6EF =
15CD ∴=．
【点睛】相似三角形的判定和性质是本题的考点，熟练掌握并运用平行线的性质是解题的关键． 22. 如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AC 的中点，CE BD ⊥交AB 于点E .
（1）求tan ACE ∠的值；
（2）求:AE EB .
【答案】（1）23；（2）:8:9AE EB = 【解析】
【分析】 （1）首先证明∠ACE=∠CBD ，在△BCD 中，根据正切的定义即可求解；
（2）过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P ，利用平行线的性质列出比例式即可解决问题.
【详解】解：（1）由90ACB ∠=︒，CE BD ⊥，
得ACE CBD ∠=∠.
在BCD ∆中，3BC =，122
CD AC ==，90BCD ∠=︒， 得2tan 3
CBD ∠=
， 即2tan 3ACE ∠=. （2）如图，过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P 点，
则在CAP ∆中，4CA =，90CAP ∠=︒，2tan 3ACP ∠=
， ∴28433
AP =⨯=， 又∵90ACB ∠=︒，90CAP ∠=︒，
∴//BC AP ，
∴::8:9AE EB AP BC ==.
【点睛】本题考查了正切与平行线分线段成比例，熟练掌握正切的定义，作辅助线构造平行是解题的关键. 23. 如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的高，连接DE ．
（1）求证：ABD ∽ ACE ；
（2）若∠BAC ＝60°，BC ＝DE 的长．
【答案】（1）见解析；（2）【解析】
【分析】
（1）找出公共角即可求出相似
（2）根据~ABD ACE ∆∆得出一个比例式AE AD AC AB
=，再根据两边对应成比例且夹角相等得出~ADE ABC ∆∆，再结合60的余弦值即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：,BD CE 是ABC ∆的高
90ADB AEC ∴∠=∠=
A A ∠=∠
~ABD ACE ∴∆∆
（2）~ABD ACE ∆∆
AB AD AC AE ∴
= AE AD AC AB
∴= A A ∠=∠
~ADE ABC ∴∆∆
DE AD BC AB
∴= 60BAC ∠=
1cos 2AD BAC AB ∴∠=
= 又6BC =
=
DE ∴=【点睛】本题主要考察了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键．
24. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF·
DF=BF·CF ．
(1)求证：AD·AB=AE·AC ；
(2)当AB=12，AC=9，AE=8时，求BD 的长与
ADE
ECF S
S 的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）BD=6，
128
ADE ECF S S = 【解析】
【分析】 （1）根据相似三角形的判定得出△EFC ∽△BFD ，得出∠CEF=∠B ，进而证明△CAB ∽△DAE ，再利用相似三角形的性质证明即可；（2）根据相似三角形的性质得出有关图形的面积之比，进而解答即可．
【详解】证明：（1）∵EF•DF=EF CF BF DF
= BF•CF， ∵∠EFC=∠BFD，∴△EFC∽△BFD ∴∠CEF=∠B，∴∠B=∠AED
∵∠CAB=∠DAE,
∴△CAB∽△DAE
∴AB AC AE AD
= ∴AD·AB=AE·AC.
(2)由（1）知AD·AB=AE·AC
∴AD=6，BD=6，EC=1
∵21()=36EFC BDF S CE S BD = ， ∴135EFC BCED S S =四边形 ∵24()9AED
ABC S AE S
AB == ∴45
ADE
BCED S S =四边形
∴
1
28
ADE
ECF
S
S
=.
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．
（1）当DF//AB时（图1），联结EF，求DE：DF值；
（2）当点F在线段BC上时（图2），设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
【答案】（1）
1
2
；（2）
92
9(232)
y x
x
=+≤；（3）6或7
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，即可求出DE：DF值；（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【详解】解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB＝62，
∵//
DF AB
，
1
2
CD AC
=，
∴
1
32
2
DF AB
==，
∴
3
2
2
DE=，
∴在Rt△DEF中，
3
21
2
2
32
DE
DF
==；
（2）过点E作EH⊥AC于点，则
2
2
HE HA x
==，
∴
2
3
HD x
=，
根据∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD，
∴HD HE CF DC
=，
∴
22
3
22
63
x x
y
-
=
-
，
∴
92
232) y x
=+<≤；
（3）∵
1
323
2
CE AB
≥=>，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能：①当DC=DE时，点F在边BC上，
过点D作DG⊥AE于点G（如图①），
可得：AE ＝2AG ＝2，即点E 在AB 中点，
∴此时F 与C 重合，
∴BF=6；
②当ED=EC 时，点F 在BC 的延长线上，
过点E 作EM ⊥CD 于点M （如图②），
可证：△DFC ∽△DEM ，
可证：~DFC DEM ∆∆
CF CD DM EM
∴= 333322
CF ∴=+ 1CF ∴=
7BF ∴=
综上所述，BF 为6或7．
【点睛】本题主要考查了是一道综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．运用分类讨论的思想是解决本题的关键．。