青岛版-数学-九年级上册-何时运用根的判别式

何时运用根的判别式
一元二次方程2ax bx c ++=0（a≠0）根的判别式指的是代数式△=24b ac -的值，它的正负性决定了一元二次方程有没有实数根的命运，因此，根的判别式在一元二次方程中有着举足轻重的作用，可是什么情况下运用根的判别式呢？一般而言，常见的有以下三种情形需要运用根的判别式.
一、判定一元二次方程根的情况时，运用根的判别式
例1、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根；
B ．有两个相等的实数根；
C ．没有实数根；
D ．无法确定.
解析：欲知一元二次方程根的情况，必须明确根的判别式的值.
因为△=()()224248m m m m ---=-+=()2
2m -+4，显然，不论m 为何值，总有()22m -+4＞0，即△＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，选A.
点评：列出根的判别式△=()()224248m m m m ---=-+后，不能至此就断言△＞0，应再运用配方法将△化为4)2(2+-m ，然后由非负数的性质再得出△＞0，否则，解答是不够完整的.
二、已知一元二次方程两根情况时，运用根的判别式
例2、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A.k ＞14-
B.k ＞14-且0k ≠
C.k ＜14-
D.14k ≥-且0k ≠ 解析：因为方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，
所以△=（2k+1）2-42k ＞0，解之，得k ＞-14
； 又2k ≠0，k≠0，故k 的取值范围是k ＞-14
且k≠0，选B. 点评：由△＞0，解得k ＞-14
后，要记住此取值范围是在二次项系数2k ≠0的前提下得到，因此，别忘了k≠0.
三、在运用根和系数关系时，运用根的判别式
例3、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当22120x x -=时，求m 的值．（友情提示：若1x ，2x 是一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠两根，则有12b x x a +=-，12c x x a
⋅=） 解析：（1）欲求m 的取值范围，关键在于建立关于m 的不等式.注意一元二次方程有无实数根与根的判别式之间的关系，可得△=()2
2214m m --=-4m+1≥0，解之，得m≤14， 即实数m 的取值范围是m≤14
； （2）注意题目的提示，有1x +2x =-（2m-1），
由2212
0x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，则(21)0m --=，解得12m =
， 又m≤14，所以12
m =不合题意，舍去； 若120x x -=，则12x x =，从而△=-4m+1=0，14m =
，满足m≤14． 故当22120x x -=时，14
m =． 点评：解决第（2）问时，由120x x +=，解得12m =
后，如果没有考虑根的判别式的正负性，则便会掉进命题者设计的陷阱.。