全国的成人高中高考数学模拟试卷试题--精选及包括答案

2014 年景人高考数学模拟试题 1
一．选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项
切合题目要求的。

（1）已知会合M x | 1 x 3 , B x | 2 x 1 ，则M B （B ）
A. ( 2,1)
B. ( 1,1)
C. (1,3)
D. ( 2,3)
（2）若tan 0 ，则 a
A. sin 0
B. cos 0
C. sin 2 0
D. cos20
1
i ，则 | z |
（3）设z
i
1
1 2
C. 3
D. 2
A. B.
2 2 2
（4）已知双曲线x2 y2 1(a 0) 的离心率为2，则a
a2 3
A. 2
B.
6
C.
5
D. 1
2 2
（5）设函数 f (x), g (x) 的定义域为R ，且 f ( x)是奇函数，g( x) 是偶函数，则以下结论中正确的是
A. f (x)g( x) 是偶函数
B. | f ( x) | g(x) 是奇函数
C. f ( x) | g( x) | 是奇函数
D. | f ( x) g( x) | 是奇函数
（6）设 D , E, F 分别为ABC 的三边BC , CA, AB的中点，则EB FC
A. AD
B. 1
AD C.
1
BC D. BC 2 2
（7）在函数①y cos | 2x |，② y | cos x | ，③ y cos( 2x) ,④ y tan(2x ) 中，最小正
6 4
周期为的所有函数为
A. ①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
（9）履行右边的程序框图，若输入的a, b, k 分别为1,2,3，则输出的 M() 2071615
A. B. C. D.
3258
）已知抛物线 C：y 2
x 的焦点为F,A x0,y0
5
（10 是 C 上一点，AF 4
x0 ，则x0 （）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
（11 ）设 x ，y知足拘束条件x y a,
ay 的最小值为7，则a x y
且 z x
1,
A． -5 B. 3
C． -5 或 3 D. 5 或 -3
（12 ）已知函数 f ( x) ax 3 3x2 1，若 f ( x) 存在独一的零点 x0，且 x0 0 ，则 a 的取值范围是
A.2,
B.1,
C., 2
D., 1
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分
（13 ）将 2 本不一样的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 _____. （14 ）甲、乙、丙三位同学被问到能否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；
乙说：我没去过 C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________.
e x 1 , x 1,
（15 ）设函数 f x 1 则使得 f x 2 建立的x的取值范围是________.
x3 , x 1,
（16 ）如图，为丈量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为丈量观察点.从 A 点测得M 点的仰角 MAN 60 ，C 点的仰角 CAB 45 以及MAC 75 ；从 C 点测得MCA 60 .
已知山高 BC 100m ，则山高 MN ________ m .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12 分）
已知 a
n
是递加的等差数列，a2， a4是方程 x2 5x 6 0 的根。

（ I ）求a n 的通项公式；
（ II ）求数列a n
的前 n 项和. 2n
（18）（本小题满分12 分）
从某公司生产的某种产品中抽取 100 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量表得以下频数散布表：
质量指标值分组[75 ，85) [85， 95) [95 ，105) [105 ，115) [115， 125) 频数 6 26 38 22 8
（ I ）在答题卡上作出这些数据的频次散布直方图：
（ II ）预计这类产质量量指标值的均匀数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ III ）依据以上抽样检查数据，可否定为该公司生产的这类产品切合“质量指标值不低于95的产品起码要占所有产品的80%”的规定？
(19)( 此题满分 12分 )
如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为O，且AO平面BB1C1C.
（1）证明：B1C AB;
（2）若AC AB1 , CBB160 , BC 1,求三棱柱ABC A1B1C1的高 .
（20） （本小题满分 12 分）
已知点 P(2,2) ，圆 C : x 2
y 2 8 y 0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段
AB 的中点为 M ， O 为坐标原点 .
（ 1）求 M 的轨迹方程；
（ 2）当 OP
OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积
（21）（本小题满分 12 分）
设函数 f x
a ln x
1 a x
2 bx a 1 ，曲线 y
f x 在点 1， f 1
处的切线斜率为 0
2
（ 1）求 b;
a （ 2）若存在 x 0
1, 使得 f x 0
a
1
，求 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、 24 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，解答时请写
清题号 .
（22）（本小题满分
10 分）选修 4-1，几何证明选讲
如图，四边形
ABCD 是 O 的内接四边形， AB 的延伸线与
DC 的延伸线交于点 E ，且 CB CE .
（ I ）证明：
D E ；
（ II ）设 AD 不是
O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB MC ，
证明：
ABC 为等边三角形 .
（23）（本小题满分
10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 C :
x 2
y 2
1 x
2 t
，直线 l : 2 （ t 为参数）
4
9
y
2t
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程；
（2）过曲线C上随意一点P作与l夹角为 30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值 .（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲
若 a 0, b 0, 且1
1 ab
a b
（ I ）求a3 b3 的最小值；
（ II ）能否存在a, b ，使得2a 3b 6 ？并说明原因.
参照答案
一、选择题
1-5. BABDA
6-10. CCBDC
11-12. BA
二、填空题
13. 2
14. A
15.
(
,8] 16. 150
3
三、解答题 17. 解：
（1）方程 x 2 5x 6 0 的两个根为
2， 3，由题意得因为 a 2 2, a 4 3
设数列 { a } 的公差为 d ，则 a
a 2d ，故 1 3 n
4
d
，进而 a 1
2
2
1 n
2
因此 { a n } 的通项公式为 a n
1
a n 2
a n
n 2
（2）设 {
2 n } 的前 n 项和为 S n ，由（ 1）知 2 n
2 n 1 ，则
S n 3 4 n 1 n 2
2
2
3
...
2
n
①
2
2
n
1
1
S n 3 4 ... n 1 n 2
②
2 23
24
2n 1 2n
2
① - ②得
1 S n
3 1 1
... 2 4 23 24
3
1
(1 n 1 1 )
4
4 2 因此， S n
n 4 2 2n 1
18.解：
n 1 n 2 2n 1 2n 2
n 2
2n 2
（ 1）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（ 2）量指的本均匀数
80 6 90 26 100 38 110 22 120 8
x
100
100
量指的本方差
因此，种品量指的均匀数估100，方差的估 104.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
（ 3）依意38 22 8
= 68％ < 80 ％
100
因此企生的种品不切合“ 量指不低于95 的品起码要占所有
品的 80％”的定。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分
19.
（ 1）明：
接 BC1，O B1C 与 BC1的交点，因面
BB1C1C 菱形，因此B1C BC1
又 AO平面BB1C1C，所以B1C A O，故
B1 C平面A B O
因为 AB平面ABO，故B1C AB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（ 2）解：
做 OD BC ，垂足D，接AD，做 OH AD ，垂足H。

因为 BC AO, BC OD ，故 BC 平面 AOD ，因此OH BC 又 OH AD ，因此OH 平面 ABC
CBB1 60 ，因此CBB1等三角形，又3
因BC 1，可得OD
4
因为AC
1
B1C
1 AB1，因此 AO
2
2
由 OH AD OD OA ，且AD OD 2 OA2 7 ，得 OH 21
4 14
又 O B1C的中点，因此点B1到平面 ABC 的距离21
，故三棱柱 ABC A1B1C1的7
高21
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分7
20．解：
（ 1）方法一：
C 的方程可化x2 ( y 4) 2 16 ，因此，心 C (0, 4) ，半径4，
M (x, y) ， CM ( x, y 4), MP (2 x, 2 y) ，
由知 CM MP 0 ，故
x(2 x) ( y 4)(2 y) 0 ，即 ( x 1)2 ( y 3) 2 2
因为点 P 在 C 的内部，因此 M 的迹方程是( x 1)2 ( y 3) 2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯6分
方法二：
C 的方程可化x2 ( y 4) 2 16 ，因此，心 C (0, 4) ，半径4，
M (x, y) ，
k AB y 2
, k CM y 4 ，x 2 x
y 2 y 4
则
k AB , k CM
x
x 2
因此 k AB k CM y 2 y 4
1 x
2 x
化简得， x2 y2 2 x 6 y 8 0 ，即 ( x 1)2 ( y 3)2 2 因此 M 的轨迹方程是( x 1)2 ( y 3)2 2
（ 2）方法一：
由（ 1）可知M的轨迹是以点N (1,3) 为圆心， 2 为半径的圆因为 |OP | |OM | ，故O在线段PM的垂直均分线上，
又 P 在圆 N 上，进而 ON PM
因为 ON 的斜率为3，因此l的斜率为1 ，
1 x 8 3
因此 l 的方程为y
3 3
又 | OM | | OP | 2 2 ，O到l的距离为4 10
,| PM | 4 10 ，因此POM 的面积为5 5
16
5
方法二：
依题意， | OP | 2 2 ，因为 | OM | | OP | 2 2
因此， M 也在x2 y 2 8 上
x2 y2 8
因此
y2
x2 2x 6y 8 0
两式相减，得2x 6 y 16 0 ，即 y 1 x 8 ，此方程也就是l 的方程
3 3
由（ 1）知，M的轨迹方程是( x 1)2 ( y 3) 2 2 ，
设此方程的圆心为N ，则N (1,3)
|1 9 8 |
因此 d
10
又 | NP |
(1 2)2
(3 2)2
2
因此 | MP |
2 2 4 10
2
5 5
8 O 到 l 的距离 h
10
因此， S POM
1
8 4 10
16 2 10
5
5
上所述， l 的方程 y
1 x 8 ， POM 的面 16
a
3 3
5
21. （ 1）解： f
( x)
(1 a) x b
x
由 知 f (1)
a (1 a)
b 0
解得 b 1
4 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（2）解： f (x) 的定 域 (0,
) ，由（ 1）知， f (x)
aln x
1 a x
2 x ，
a (1 a) x 1
1 a
(x
a
)( x 1) 2
f ( x)
1
x
x
a
（ⅰ）若 a
1
a
1 ，
2 ，
a
1
故当 x (1, ) ， f (x)
0, f (x) 在 (1,
) 增，
x 0 1 ，使得 f ( x 0 )
a
f (1)
a 因此，存在 的充要条件
，
即
1
a
a
a 1
a
1
1
， 2
a 1
解得
2 1 a 2 1
（ⅱ）若
1
a
1， 1 a 1 ，
2
a a
故当 x (1, ) ， f ( x) 0 ；
1 a
当 x
( a
, ) ， f (x) 0 ；
1 a
因此 f (x) 在 (1,
a
) 减，在 ( a
,
) 增，
1 a
1 a
因此，存在 x 0
1 ，使得 f ( x 0 )
而 f ( a
) a ln 1
a a 2
1
a 1 2(1 a)
（ⅲ）若 a
1 ， f (1)
1 a a
2 1
2
a
的充要条件
f ( a
)
a
a 1 1 a
a 1
a
a
，因此不合 意
a 1 a 1
1 a
a 1
上所述，
a 的取 范 是 (
2 1, 2 1) (1,
) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
22. （本小 分 10 分）
（1） 明：由 得，
A ，
B ，
C ，
D 四点共 ，因此，D CBE
又 CB CE ， CBE E
因此
D
E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
（ 2 ） 明：
BC 的中点 N ， MN ， 由 MB
MC 知
MN
BC ，故 O 在直 MN 上
又 AD 不 是 O 的 直 径 ， MAD 的 中 点 ， 故
OM
AD ，即 MN AD
因此 AD // BC ，故
A
CBE
又
CBE E ，故 A E ，由（ 1）知，
DE ，因此 ADE 等 三
角形。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
23. 解：
（1）曲 C 的参数方程
x 2cos （
参数）
y 3sin
直 l 的一般方程 2x y 6 0
（2）曲 C 上随意一点 P(2cos
,3sin ) 到 l 的距离
d
5
| 4cos
3sin
6 |
5
| PA |
d 2 5
|5sin(
) 6 |，此中
角，且 tan
4 sin 30
5
3
当 sin( ) 1， | PA | 获得最大，最大22 5 5
当 sin( ) 1 ， | PA | 获得最小，最小2 5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分5
24. 解：
（1）由ab 1 1 2
，得 ab 2 ，且当a b 2 等号建立a b ab
故 a3 b3 2 a3b3 4 2 ，且当 a b 2 等号建立
因此 a3 b3的最小 4 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）由（ 1）知，2a 3b 2 6 ab 4 3
因为 4 3 6 ，进而不存在a, b ，使得2a 3b 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。