2019年上海初三二模数学压轴题 -考点分类版

2018 学年初三二模压轴题汇编
目录
18 题：考点一：翻折 (4)
【2018 学年闵行区.18 题】 (4)
【2018 学年虹口区.18 题】 (4)
【2018 学年静安区.18 题】 (4)
考点二：旋转 (5)
【2018 学年普陀区.18 题】 (5)
【2018 学年奉贤区.18 题】 (5)
【2018 学年黄浦区.18 题】 (5)
【2018 学年长宁区.18 题】 (6)
【2018 学年徐汇区.18 题】 (6)
【2018 学年崇明区.18 题】 (6)
【2018 学年浦东新区.17 题】 (7)
【2018 学年松江区.18 题】 (7)
考点三：其他 (7)
【2018 学年杨浦区.18 题】 (7)
【2018 学年金山区.18 题】 (7)
【2018 学年嘉定/宝山区.18 题】 (8)
【2018 学年浦东新区.18 题】 (8)
【2018 学年青浦区.18 题】 (8)
24题：考点一：相似三角形的存在性问题 (9)
【2018 学年松江区.24 题】 (9)
【2018 学年虹口区.24 题】 (10)
考点二：直角三角形的存在性问题 (11)
【2018 学年嘉定/宝山区.24 题】 (11)
考点三：特殊四边形的存在性问题 (12)
【2018 学年崇明区.24 题】 (12)
考点四：与角相关的问题 (13)
【2018 学年徐汇区.24 题】 (13)
【2018 学年黄浦区.24 题】 (14)
【2018 学年杨浦区.24 题】 (15)
【2018 学年静安区.24 题】 (16)
【2018 学年青浦区.24 题】 (17)
考点五：与线段相关的问题 (18)
【2018 学年闵行区.24 题】 (18)
【2018 学年长宁区.24 题】 (19)
【2018 学年浦东新区.24 题】 (20)
考点六：面积相关的问题 (21)
【2018 学年普陀区.24 题】 (21)
【2018 学年奉贤区.24 题】 (22)
【2018 学年金山区.24 题】 (23)
25题：考点一：圆与直线的位置关系问题 (24)
【2018 学年普陀区.25 题】 (24)
考点二：圆与圆的位置关系问题 (25)
【2018 学年杨浦区.25 题】 (25)
【2018 学年浦东新区.25 题】 (26)
【2018 学年徐汇区.25 题】 (27)
【2018 学年静安区.25 题】 (28)
考点三：相似三角形的存在性问题 (29)
【2018 学年长宁区.25 题】 (29)
【2018 学年黄浦区.25 题】 (30)
【2018 学年金山区.25 题】 (31)
考点四：等腰三角形的存在性问题 (32)
【2018 学年崇明区.25 题】 (32)
考点五：特殊四边形的存在性问题 (33)
【2018 学年奉贤区.25 题】 (33)
【2018 学年虹口区.25 题】 (34)
考点六：面积问题 (35)
【2018 学年闵行区.25 题】 (35)
考点七：与角相关的问题 (36)
【2018 学年松江区.25 题】 (36)
考点八：与线段相关的问题 (37)
【2018 学年青浦区.25 题】 (37)
考点九：其他（点在圆上，即半径相等） (38)
【2018 学年嘉定/宝山区.25 题】 (38)
考点一：翻折
【2018 学年闵行区·18 题】
压轴题之 18 题
如图，在 A BC 中， AB = AC = 5，BC =
2
， D 为边 AC 上一点（点 D 不与点
A 、C 重合）.将 ABC 沿直线 BD 翻折，使点 A 落在点 E 处，联结CE .如果CE / / A
B ， 那么 AD : CD = .
【
2018 学年虹口区·18 题】
如图，在矩形 ABCD 中，AB =6，点 E 在边 AD 上且 AE =4，点 F 是边 BC 上的一个动点，
将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，A 、B 的对应点 A 1、B 1 与点 C 在同一直线上，A 1B 1 与边 AD 交于点 G ，如果 DG =3，那么 BF 的长为 ▲
．
【2018 学年静安区·18 题】
A
E
D
B
C
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (2 3, 0)，B (0, 6)，M (0, 2) .点Q 在直线 AB 上，把 BMQ 沿着直线 MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联结 PQ .如果直线 PQ 与直线
AB 所构成的夹角为60 ，那么点 P 的坐标是
.
5
考点二：旋转
【2018 学年普陀区·18 题】
如图，AD 是 A BC 的中线，点 E 在边 AB 上，且 DE ⊥ AD ，将 BDE 绕着点 D 旋 转，使得点 B 与点C 重合，点 E 落在点 F 处，联结 AF 交 BC 于点G ，如果 AE = 5
， BE 2
那么
GF 的值等于 .
AB
【2018 学年奉贤区·18 题】
如图，矩形 ABCD ， AD = a ，将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF ，顶点 A 、D 、C 分别与点 E 、F 、G 对应（点 D 与点 F 不重合）.如果点 D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段 DF 的长是 .（用含a 的代数式表示）
【2018 学年黄浦区·18 题】
如图，在 ∆ABC 中，∠ACB = 90︒ ，sin B = 3
，将∆ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，得到 ∆A B C ，
5
1 1
点 A 、B 分别与点 A 1 、B 1 对应，边 A 1B 1 分别交边 AB 、BC 于点 D 、E ，如果点 E 是边 A 1B 1 的
中点，那么 BD
= ▲
．
A
B 1C
A 1
D
C
E
B
B 1
如图，在
A BC 中，A
B =A
C = 5，BC = 8 ，将 A BC 绕着点C 旋转，点A、B 的对
应点分别是点A '、B ' ，若点B ' 恰好在线段AA '的延长线上，则AA ' 的长等于. 【2018 学年徐汇区·18 题】
如图，在Rt ABC中，∠ACB=90 ，AB=6，cos B=2
，先将 A BC绕着顶点C顺时3
针旋转90 ，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到 A'CB '（点A '、C、B ' 的对应点分别是点A、C、B ），联结A ' A、B ' B ，如果 A A ' B 和 A A 'B '相似，那么A 'C 的长是.
【2018 学年崇明区·18 题】
如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，∠BAC = 30︒，将△ABC 绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D，AD、BC 的延长线相交于点E.如果线段DE 的长为
边AB 的长为▲．
，那么
A
B C
2
如图2，已知在 ABC 中，AB=3，AC=2，∠A=45°，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC 上的点A1处，点C 落在点C1 处，那么AC1
A C
【2018 学年松江区·18 题】
如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．将△ABC 绕点 B 旋转得到
△DBE，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F，那么CF 的长为．
考点三：其他
【2018 学年杨浦区·18 题】
如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E，交边AD 于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4，如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是
【2018 学年金山区·18 题】
一个正多边形的对称轴共有10 条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于▲．
如图，点M 的坐标为(3,2) ，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =-x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是▲ ．
l
【2018 学年浦东新区·18 题】
定义：如果P 是圆O 所在平面内的一点，Q 是射线OP 上一点，且线段OP、OQ 的比例中项等于圆O 的半径，那么我们称点P 与点Q 为这个圆的一对反演点，已知点M、N 为圆O 的一对反演点，且点M、N 到圆心O 的距离分别为4 和9，那么圆O 上任意一点A 到AM
点M、N 的距离之比=
AN
【2018 学年青浦区·18 题】
我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1 个单位/秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2 个单位/秒的速度向点B 运动，P、Q 两点分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为▲ ．
压轴题之函数综合题
考点一：相似三角形的存在性问题 【2018 学年松江区·24 题】
如图，抛物线 y = ax 2
+ 4x + c 过点 A （6，0）、B （3， 3
），与 y 轴交于点 C ．联结 AB
2
并延长，交 y 轴于点 D ．
（1） 求该抛物线的表达式；
（2） 求△ADC 的面积；
（3） 点 P 在线段 AC 上，如果△OAP 和△DCA 相似，求点 P 的坐标．
x
y D
B
O
A
C
【2018 学年虹口区·24 题】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax2 +bx + 8 与x 轴相交于点A（-2，0）
和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P 的坐标；
（2）点E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点E 的坐标；
（3）点Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q 的坐标．
y
P
C
D
A O
B x
【2018 学年嘉定/宝山区·24 题】
在平面直角坐标系xOy 中，如图7，抛物线y =mx 2 - 2x +n （m 、n 是常数）经过点A(-2,3) 、B(-3,0) ，与y 轴的交点为点C ．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 和直线BC 的夹角为15º，求线段CD 的长度；（3）设点P 为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC 为直角三角形时，求点P 的坐标．
【2018 学年崇明区·24 题】
如图，抛物线y =x2 +bx +c 交x 轴于点A (1, 0) 和点B，交y 轴于点C (0, 3) ．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使PC =PO ，求点P 的坐标；
（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M，交抛物线于点N．当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M、N 的坐标．
考点四：与角相关的问题
【2018 学年徐汇区·24 题】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-1
x2 +bx +c 与直线y =
1
x - 3 分
4 2
别交于x 轴、y 轴上的B、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点
D ，联结CD 交x 轴于点
E .
（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；
（2）求∠DCB 的正切值；
（4）如果点F 在y 轴上，且∠FBC =∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标.
如图7，已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点O (0, 0)、A (2, 0)，直线y = 2x 经过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB，过点C 作CE ∥ x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F .
（1）求抛物线的表达式；
（2）当BC =CE 时，求证：∆BCE ∽∆ABO ；
（3）当∠CBA =∠BOC 时，求点C 的坐标.
已知开口向下的抛物线y =ax2 - 2ax + 2 与y 轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x 轴的交
点为C，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M，直线AB 与直线OD 交
于点N.
（1）求点D 的坐标；
（2）求点M的坐标（用含a 的代数式表示）；
（3）当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值.
在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P(-3, 4) .
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q ，它与y 轴交点为B ，联结PB、PQ .设点B 的坐标为m ，用含m 的代数式表示∠BPQ 的正切值；
（3）联结AP ，在（2）条件下，射线PB 平分∠APQ ，求点B 到直线AP 的距离.
已知：如图10，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）经过点A（6，-3），对称轴是直线x=4，顶点为B，OA 与其对称轴交于点M，M、N 关于点B 对称．（1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标；
（2）联结ON、AN，求△OAN 的面积；
（3）点Q 在x 轴上，且在直线x=4 右侧，当∠ANQ=45°时，求点Q 的坐标．
BF 4 EF = 1 考点五：与线段相关的问题
【2018 学年闵行区·24 题】
已知抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过点 A (1, 0)、B (3, 0) ，且 y 轴的公共点为点C .
（1） 求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；
（2） 求∠ACB 的正切值；
（3） 点 E 为线段 AC 上一点，过点 E 作 EF ⊥ BC ，垂足为点 F .如果 ， 求 BCE 的面积.
超预期做自己
【2018 学年长宁区·24 题】
如图，已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =4
x2 +bx +c 经过原点，且与x 轴交于
9
点A ，点A 的横坐标为6 ，抛物线顶点为点B .
（1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；
（2）过点O 作OP / / AB ，在直线OP 上点取一点Q ，使得∠QAB =∠OBA ，求点Q 的坐标；（3）将抛物线向左平移m(m > 0) 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，CB : DB = 3 : 4 ，求m 的值.
【2018 学年浦东新区·24 题】
已知抛物线 y = 1
x 2 + bx + c 经过点 M (3, -4) ，与 x 轴相交于点 A (-3, 0) 和点 B ，与 y 轴 3
相交于点 C.
（1） 求这条抛物线的表达式；
（2） 如果 P 是这条抛物线对称轴上一点，PC=BC ，求点 P 的坐标；
（3） 在第（2）小题的条件下，当点 P 在 x 轴上方时，求∠PCB 的正弦值.
考点六：面积相关的问题 【2018 学年普陀区·24 题】
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = - 2
x + 4m (m > 0) 与 x 轴、 y 轴分别交于点
3
A 、
B ，如图所示，点
C 在线段 AB 的延长线上，且 AB = 2BC . （1） 用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；
（2） 抛物线 y = - 1 x 2
+ bx + 10 经过点 A 、C ，求此抛物线的表达式；
3
（3） 在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点 P ：使得S PAB = 2S OBC ，如果存
在，求出点 P 的坐标，如果不存在，试说明理由.
如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y =ax2 +bx + 2 与x 轴交于点A(-2, 0) 和点B(4, 0) .
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD 中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F .
①当D
②联结BF ，当 DBC 的面积是 BCF 面积的3
时，求点C 的坐标.
2
已知：抛物线y=-x2+bx+c，经过点A(-1,-2)，B(0，1).
（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.
（2）若点B'与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B'，设此时抛物线顶点为点P'.
①求∠P'BB'的大小.
②把线段P'B'以点B'为旋转中心顺时针旋转120 ，点P'落在点M 处，设点N 在（1）中
N 的坐标.
超预期
做自己
压轴题之几何综合
考点一：圆与直线的位置关系问题
【2018 学年普陀区·25 题】
如图 1，在Rt A BC 中，∠ACB = 90 , AB = 5, cos∠BAC =
4
, 点O 是边AC 上一个5
动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作 O， O与射线AB交于点D；以点C 为圆心，CD 为半径作 C ，设OA =x .
（1）如图 2，当点D 与点B 重合时，求x 的值；
（2）当点D 在线段AB 上，如果 C 与AB 的另一个交点E 在线段AD 上时，设AE =y ，试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）在点O 的运动过程中，如果 C 与线段AB 只有一个公共点，请直接写出x 的取值范围.
考点二：圆与圆的位置关系问题 【2018 学年杨浦区·25 题】
已知圆 O 的半径长为 2，点 A 、B 、C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO ，点 D 为 BC 的中点. （1） 如图 1，联结 AC 、OD ，设∠OAC =α，请用α表示∠AOD ；
（2） 如
图
2，当点 B
AC 的中点时，求点 A 、D 之间的距离；
（3） 如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E ，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的
圆相切，求弦 AE 的长.
已知AB 是圆O 的一条弦，P 是圆O 上的一点，过点O 作MN⊥AP，垂足为点M，并交射线AB 于点N，圆O 的半径为5，AB=8.
（1）当
P
是
优
AB 的中点时（如图8），求弦AP的长；3
（2）当点N 与点B 重合时，试判断：以点O 为圆心，
2
并说明理由；
为半径的圆与直线AP 的位置关系，（3）当∠BNO=∠BON，且圆N 与圆O 相切时，求圆N 半径的长.
如图，在 A BC中，AC=BC=10，cos C=3
，点P是AC边上一个动点（不与点5
A、C 重合），以PA 长为半径的 P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E .
（1）当 P 与边BC 相切时，求 P 的半径；
（2）联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的 Q 与 P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.
已知：如图，梯形ABCD 中，AD / / BC，AD = 2，AB =BC =CD = 6 .动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E（点E 与点C 不重合），联结PE、PC . 设BP =x，PC =y .
（1）求证：PE / / DC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD ，当∠PDC =∠B 时，以D 为圆心、半径为R 的 D 与 P 相交，求R 的取值范围.
考点三：相似三角形的存在性问题
【2018 学年长宁区·25 题】
如图，在Rt ABC 中，∠ACB = 90 ，AC = 3，BC = 4 ，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作 P 交边AB 于另一点D ，ED ⊥DP ，交边BC 于点E .
（1）求证：BE =DE ；
（2）若BE =x，AD =y ，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED 交CA 延长线于点F ，联结BP ，若 BDP 与 DAF 相似，求线段AD 的长.
F B
图 2
C
【2018 学年黄浦区·25 题】
已知四边形 ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC = 2∠C ，点 E 是射线 AD 上一点，点 F 是射线 DC
上一点，且满足∠BEF = ∠A .
（1） 如图 1，当点 E 在线段 AD 上时，若 AB=AD ，在线段 AB 上截取 AG=AE ，联结 GE .
求证：GE=DF ；
（2） 如图 2，当点 E 在线段 AD 的延长线上时，若 AB =3，AD =4， cos A = 1
，设 AE = x ，
3
DF = y ，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域；
（3） 记 BE 与 CD 交于点 M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段 AE 的
长.
A
E D
A D E
G F B
C
图 1
D
E
【2018 学年金山区·25 题】
如图，在 Rt ∆ABC 中，∠C = 90
， AC = 16 cm ， AB = 20 cm ，动点 D 由点C 向点 A 以每秒1cm 速度在边 AC 上运动，动点 E 由点C 向点 B 以每秒 4
cm 速度在边 BC 上运动，
3
若点 D ，点 E 从点C 同时出发，运动t 秒( t > 0 )，联结 DE .
（1） 求证： ∆DCE ∽ ∆BCA ． （2）
设经过点 D 、C 、 E 三点的圆为⊙ P .
①当⊙ P 与边 AB 相切时，求t 的值. ②在点 D 、点 E 运动过程中，若⊙ P 与边 AB 交于点 F 、G （点 F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边 AB 于点 M ，当∆PFM 与 ∆CDE 相似时，求t 的值.
C
A
B
备用图
C
D
P
E
A
B
超预期做自己
考点四：等腰三角形的存在性问题【2018 学年崇明区·25 题】
如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，AB =DC = 8 ，BC = 12 ，cos C =3
，点E 为
5
AB 边上一点，且BE = 2 ．点F 是BC 边上的一个动点（与点B、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG =∠B ．设BF 的长为x，CG 的长为y．
（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；
（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长．
B F C
考点五：特殊四边形的存在性问题
【2018 学年奉贤区·25 题】
如图，已知 A BC，AB =2，BC = 3，∠B = 45 ，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD . （1）设BD 为x ，点D、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E 是弧DF 的中点，求BD : CD 的值；
（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长.
D
G E
F
P
Q
【2018 学年虹口区·25 题】
如图，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =3，AB =4，点 P 为射线 BC 上一动点，以 P 为圆心， BP 长为半径作⊙P ，交射线 BC 于点 Q ，联结 BD 、AQ 相交于点 G ，⊙P 与线段 BD 、AQ 分别相交于点 E 、F ．
（1） 如果 BE=FQ ，求⊙P 的半径；
（2） 设 BP=x ，FQ=y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3） 联结 PE 、PF ，如果四边形 EGFP 是梯形，求 BE 的长．
A
B
C
考点六：面积问题
【2018 学年闵行区·25 题】
如图 1，点P 为∠MAN 的内部一点，过点P 分别作PB ⊥AM、PC ⊥AN ，垂足分别为点B、C .过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D .BE ⊥AP ，垂足为点E .
（1）求证：∠BPD =∠MAN ；
（2）如果sin ∠MAN =3 10
，AB = 2 10，BE =BD ，求BD 的长；
10
（3）如图 2，设点Q 是线段BP 的中点.联结QC、CE ，QC 交AP 于点F .如果
∠MAN = 45 ，且BE / /QC
，求的值.
S
CEF
S
PQF
2 【2018 学年松江区·25 题】
如图，已知 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC= 4 ，BC=16．点 O 在边 BC 上，以 O 为圆心，OB 为半径的弧经过点 A ．P 是弧 AB 上的一个动点．
（1） 求半径 OB 的长；
（2） 如果点 P 是弧 AB 的中点，联结 PC ，求∠PCB 的正切值；
（3） 如果 BA 平分∠PBC ，延长 BP 、CA 交于点 D ，求线段 DP 的长．
O
O
（备用图）
图
2 图 1 【2018 学年青浦区·25 题】
已知：在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，D 是 AB 的中点. 以 CD 为直径的⊙Q 分别交 BC 、BA 于点 F 、E ，点 E 位于点 D 下方，联结 EF 交 CD 于点 G ．
（1） 如图 1，如果 BC =2，求 DE 的长；
（2） 如图 2，设 BC =x ，
GD
=y ，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域； GQ
（3） 如图 3，联结 CE ，如果 CG =CE ，求 BC 的长．
图 3
考点九：其他（点在圆上，即半径相等）
【2018 学年嘉定/宝山区·25 题】
在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），
点M 是弦BC 的中点．
（1）如图1，如果AM 交OC 于点E ，求OE : CE 的值；
（2）如图2，如果AM ⊥OC 于点E ，求sin ∠ABC 的值；
（3）如图3，如果AB : BC = 5 : 4 ，点D 为弦BC 上一动点，过点D 作DF ⊥OC ，交半径OC 于点H ，与射线BO 交于圆内点F ．
探究一：如果设BD =x ，FO =y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；
探究二：如果以点O 为圆心，OF 为半径的圆经过点D ，直接写出此时BD 的长度；请你完成上述两个探究．
图1 图3。