2020年高考数学(理)之纠错笔记专题10 圆锥曲线

【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别． 【试题解析】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由 QP QF FP FQ ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
故动点 P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线． 【参考答案】动点 P 的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
易错点 2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线 C：y＝ x 2－2x＋2和直线 l：y＝kx(k≠0)，若 C 与 l 有两个交点 A 和 B，求线段 AB 中点的
轨迹方程.
y＝ x2－2x＋2， 【错解】依题意，由
y＝kx，
分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
另一个变量的制约，即动点
P(x, y) 中的 x，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这
种求轨迹方程的方法叫做参数法. 2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什
，
y＝kx
分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
x＝x1 ＋x2 ＝ 1 ， ③ 2 1－k2
设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有 y＝y1 ＋y2 ＝ k ， ④ 2 1－k2
k2 1 0
4k 2 4 (2k 2 ) (k 2 1) 0
3．已知 F1，F2 为两定点，|F1F2|＝8，动点 M 满足|MF1|＋|MF 2|＝8，则动点 M 的轨迹是
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
【答案】D
【解析】虽然动点 M 到两个定点 F1，F2 的距离为常数 8，但由于这个常数等于|F1 F2|，故动点 M 的轨迹
是线段 F1F2，故选 D．
平面上到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭
圆定义中|F1F2|＜2a 这一隐含条件，就会错误地得出点 M 的轨迹是椭圆.
易错点 4 忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为 x2 36
y2 k2
1(k
0) ，并且焦距为
8，则实数
k 的值为_____________．
【错解 1】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
设
AB
的中点为
P(x，y)，则在①②中分别有
x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
1 1 k2 k
1 k2
，
故线段 AB 中点的轨迹方程为 x2 y2 x 0 .
【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量 y 的允许范围，故应对 x，y 加以限制．
y＝ x2－2x＋2
【试题解析】依题意，由
么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．已知定点 A(1,0) 及直线 l : x 2 ,动点 P 到直线 l 的距离为 d ,若 | PA| 2 . d2
（1）求动点 P 的轨迹 C 方程；
（2）设 M , N 是 C上位于 x 轴上方的两点， B 坐标为 (1, 0) ,且 AM∥BN ,MN 的延长线与 x 轴交于点
专题 10 圆锥曲线
易错点 1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图，已知点 F (1，0) ，直线 l : x 1，P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且 QP QF FP FQ ，求动点 P 的轨迹．
【错解】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由 QP QF FP FQ ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 k 2 5 ．
【错解 2】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b2＝36，a 2＝b2＋c2，
所以 k2 ＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 k 2 13 ．
【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆 的焦点位置的讨论，从而导致错误． 【试题解析】因为 2c＝8，所以 c＝4， ①当焦点在 x 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
元方程 f ( x, y) 0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完 备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明 x 的取值范围，或同时注明 x,y 的取值范 围.
在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B).
平面上到两定点 F1 , F2 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做 椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 F1F2 2c . 定义式： PF1 PF2 2a(2a F1F2 ) .
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
又对②应满足
y1
y2
2k 1 k2
0
，解得 2<k<1. 2
y1
y2
2k 2 1k2
0
结合③④，则有 x>2，y> 2.
所以所求轨迹方程是 x 2－y2－x＝0(x>2，y> 2)．
【参考答案】轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2).
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二
D(3, 0) ,求直线 AM的方程.
【答案】（1）
x2 2
y2
1；（2）
y
14 (x 1) . 2
【解析】（1）设 P(x, y) ，则由 A(1,0) ，知| PA | (x 1)2 y2 ，
又 l : x 2 ，∴ d | x 2 | ，
由题意知：
( x 1) 2 y 2
2，
|x 2|
【参考答案】 k 2 5 或 2 13 ．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
对于方程 x2 y2 1， mn
①表示焦点在 x 轴上的椭圆 m 0, n 0 且 m n ；
②表示焦点在 y 轴上的椭圆 m 0, n 0 且 m n ；
【答案】B
【解析】设动圆的圆心 M 的坐标为 (x, y) ，半径为r ，
则由题意可得 MC1 r 1, MC2 r 3 ，
相减可得 MC2 MC1 2 C1C2 ，所以点 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的双曲线的左支，
由题意可得 2a 2, c 3 ，所以 b c2 a2 2 2 ，
（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 P(x, y) 却随另一动点 Q(x, y) 的运动而有规律地运动，而且动点 Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 x ， y 表
示成关于 x，y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程整理化简即得动点 P 的轨迹方程．
（4）参数法：若动点 P(x, y) 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点 P(x, y) 的轨迹，也没有
易错点 3 忽略椭圆定义中的限制条件
若方程 x2 y2 1 表示椭圆，则实数 k 的取值范围为________________． 8 k k 6
8 k 0 【错解】由 k 6 0 ，可得 6 k 8 ，所以实数 k 的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中 a＞b＞0 这一限制条件，当 a＝b＞0 时表示的是圆的方程．
1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线 为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有: （1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的 等价性． （2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定 义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
2．已知圆 C1 : (x 3)2 y2 1和圆 C2 : (x 3)2 y2 9 ，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C 2 相外切，则动圆圆心 M
的轨迹方程为
A． x2 y2 1 8
B． x2 y2 1(x 1) 8
C． x2 + y2 = 1 8
D． x 2 y2 1(x 1) 8
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 k 2 5 ；
②当焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b 2＝36，a2＝b2＋c2，
所以 k2 ＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 k 2 13 ．
综上， k 2 5或 2 13 ．
【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不 能顺着思维定式，想当然地认为焦点在 x 轴上或 y 轴上去求解．
∴ x1 2x2 3 ，
又
x 12 2
y12
1，∴ 2x 2 32
2
4
y
2 2
1，
又
x 22 2
y22
1，∴ x2
5 4
,
x1
1 2
，
∵ y 0 ，∴ y1
14 4
，∴ kAM
y1 x1 1
14
，
2
∴直线 AM的方程为 y 14 (x 1) .
2
【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有 定义法、相关点法、参数法、交轨法等．
8 k 0 【试题解析】由 k 6 0 ，可得 6 k 8 且 k 7 ，所以实数 k 的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
8 k k 6
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证 解题的正确性． 【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
2
∴ ( x 1) 2 y2 1 ( x 2) 2 ， 2
∴ x2 2y2 2 ，
∴点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1. 2
（2）设 M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) y1 0, y2 0 ，
∵ A(1,0)，B(1,0), D(3, 0) ，
∴ B 为 AD中点， ∵ AM / /BN ， ∴ x1 3 2x2, y1 2y2 ，
第二步，设方程.根据上述判断设方程为 x 2 y 2 1(a b 0) 或 y2 x 2 1(a b 0) .
a2 b2
a2 b2
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 a, b, c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 c2 a 2－b2 ）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在 x 轴上和
③表示椭圆 m 0, n 0 且 m n ．
对于形如：Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情 况，当 B＞A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 B＜A 时，表示焦点在 y 轴上的椭圆． 2．求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2,b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需 要分类讨论）.
故点 M 的轨迹方程为 x2 y2 1(x 1) ，故选 B. 8
【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解
答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以 C1 ,C2 为焦点的双曲线的左支是解
答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.