初中八年级数学下册第十六章二次根式单元复习试题十 (含答案) (106)

初中八年级数学下册第十六章二次根式单元复习试题十
（含答案）
阅读下列解题过程
2
====．
==．
请回答下列问题
（1
______．（2）利用上面所提供的解法，请化简：
++的值．（3）不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）9；（3
【解析】
【分析】
（1）由解题过程可以看出该解题过程运用的是分母有理化运算，有理化后分母为1
（2）中各项按规律化简后相加可以消除互为相反数的项，没有抵消的计算得到结果．
（3）利用倒数关系比较大小．
【详解】
解：（1）由上面的解题规律可直接写出
=
+++⋯+==．
1)19
（3）
==
=．
又
<，
∴
【点睛】
本题是规律型的，由分母有理化得出规律，以及考查了二次根式的化简在多项式求和和比较大小中的应用．
91．计算：
（1；（2
（3.
【答案】（1）（2）49 （3）
【解析】
【分析】
（1）（2）直接根据积的算术平方根的性质化简即可；
（2）先把被开方数化简，再利用二次根式的性质化简.
【详解】
（1
（2
7=49⨯；
（3
.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
=
=⎨
-<
⎩
)
0,0
a b
=≥≥.
92．已知：x1
xy=，求下列代数式的值：()22
13
x xy y
-+；()22
2
x y
x y xy
-
+
．
【答案】(1)11
4
;(2)3
5
.
【解析】
【分析】
（1的范围，求出x、y的值，再代入求出即可；
（2
）把x、y的值代入求出即可．
【详解】
解：
∵23
<<，x
∴
1
2
x=，
∵1
xy=，
∴2
y=，()1当12
x=，2
y=时，
22
3
x xy y
-+22
111
()3221
224
=-⨯⨯+=；()2当12
x=，2
y=时，22
x y
x y xy
-
+22
1
23
2
115
()22
22
-
==-
⨯+⨯
．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，倒数，求代数式的值的应用，能求出x 、y 的值是解此题的关键．
93．计算：(1)2×(1
)；
13
【答案】(1)2;(2)
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的运算顺序依次计算即可；（2）根据二次根式的乘除法运算法则计算即可.
试题解析：
(1)原式= ；
（2）原式==94．计算：
（1
（2
【答案】（1）-3；（2）13
2
- 【解析】 【分析】
(1)根据立方根、平方根的定义化简，再根据实数的运算法则计算即可得到答案；
(2)先展开括号，=利用平方根的定义计算即可得到答案；
【详解】
解：（1
=
2233=--=-；
（2
=
3131622
=--
=-； 【点睛】
本题主要考查了立方根、平方的定义以及实数的运算，掌握立方根平方根的定义是解题的关键；
95．实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的
连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取
()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．
【答案】探究一：（3）7；（4）23n -（3n ≥，n 为整数）；探究二：（1）4,（2）38n - ；探究三：415,n -归纳结论：21an a -+ （n 为整数，且3n ≥，1＜
a ＜n ）；问题解决：476；拓展延伸：（1）29个或7个；（2）()2
11a n a +-+．
【解析】 【分析】 探究一：
（3）根据（1）（2）的提示列表，可得答案；
（4）仔细观察（1）（2）（3）的结果，归纳出规律，从而可得答案； 探究二：
（1）仿探究一的方法列表可得答案；
（2）由前面的探究概括出规律即可得到答案； 探究三：
根据探究一，探究二，归纳出从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这
n 个整数中任取4个整数的和的结果数，
再根据上面探究归纳出从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和的结果数；
问题解决：
利用前面的探究计算出这5张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案； 拓展延伸：
（1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可，
（2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案． 【详解】 解：探究一： （3）如下表：
所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有
()213123n n --+=-种．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：
从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种， （2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,
所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，
从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n - 所以一共有()336138n n --+=-种， 探究三：
从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14，
所以这4个整数之和一共有5种，
从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,，
所以这4个整数之和一共有9种，
从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数， 这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，
所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．
归纳结论：
由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．
探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，
探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果．
从而可得：
从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个
整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），
一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490， 共有490151476-+=种不同的优惠金额．
拓展延伸：
（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()
1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．
∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=
236203,a a ∴-=-
()2
18121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-
29a ∴=或7.a =
从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．
（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，
所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任
取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果．
【点睛】
本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键．
96．计算：
（1）
（2+
（3
（4）
． 【答案】（1）2；（2）；（3）62
3
；（4）2 【解析】
【分析】
（1）先进行乘法分配律计算，然后加减运算即可；
（2）先化为最简二次根式，然后加减运算即可；
（3）先化为最简二次根式，然后加减运算即可；
（4）先化为最简二次根式，然后计算括号内的加减运算，再进行除法运算即可.
【详解】
解：（1）原式=3﹣1=2；
（2）原式=；
（3）原式=9﹣3+2
3=26
3
；
（4）原式=()÷
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键.
97．已知x=，3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【答案】（1）36（2）
【解析】
【分析】
（1）先计算出x-y=6，再利用完全平方公式得到x2-2xy+y2=（x-y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y=x-y=6，再利用平方差公式得到x
2-y2=（x+y）（x-y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
（1）∵，3，
∴x ﹣y=6，
∴x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2=62=36；
（2）∵，3，
∴x+y=2x ﹣y=6，
∴x 2﹣y 2=（x+y ）（x ﹣y ）
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：一定要先将式子变形再整体代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化成最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
98．已知x 、y 为实数，且y +1，求(-y )x 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义得出x ，y 的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵y ，
∴20140,20140x x -≥-≥
∴x ＝2014，
∴y ＝1，
当x ＝2014，y ＝1时，
(-y )x ＝(-1)2014＝1．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
99．已知32x -<<，化简：3x -
【答案】1.
【解析】
【分析】
根据-3＜x ＜2判断出x-3及2-x 的符号，再根据绝对值的性质及二次根式的性质把代数式进行化简即可．
【详解】
解:∵32x -<<，
∴30x -<，20x ->，
∴原式()32x x =---
32x x =--+
1=．
【点睛】
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
100．已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，化简
a b a +.
【答案】-3a
【解析】
【分析】根据数轴可知a<b<0，从而可知a+b ＜0a 0b 0-><，，
再结合二次根式的性质、绝对值的性质进行化简计算即可．
【详解】由数轴可知：a b 0<<，
a 0a
b 0∴<+<，， 20>，
a 0b 0>，，
∴原式()a a b a b =-+-
(
a a
b a b =---+-
3a b b =--
3a =- .
【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性.。