高中数学模块质量检测(二)北师大版选修2_1word版本

模块质量检测(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A ．(¬p )或q
B ．p 且q
C ．(¬p )且(¬q )
D ．(¬p )或(¬q )
解析： 由题知，p 真q 假，则¬p 假，¬q 真． ∴只有D 中(¬p )或(¬q )为真，故选D. 答案： D
2．(2011·天津卷)设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： A ＝{x |x －2＞0}＝{x |x ＞2}＝(2，＋∞)，
B ＝{x |x ＜0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C ＝{x |x (x －2)＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， A ∪B ＝C .
∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 答案： C
3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量A B →与A C →
的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
解析： A B →＝(0,3,3)，A C →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →
〉
＝A B →·A C →|A B →||A C →|＝332×2＝12，所以〈A B →，A C →〉＝60°，故应选C.
答案： C
4．双曲线方程为x 2－2y 2
＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，0D ．(3，0) 解析： ∵原方程可化为x21－y212
＝1，a 2＝1，b 2
＝12
，
c 2＝a 2＋b 2＝32
，∴右焦点为⎝
⎛⎭
⎪⎫
62，0. 答案： C
5．在下列各结论中，正确的是( )
①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要条件但不充分条件； ④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要条件但不是充分条件． A ．①②B ．①③ C ．②④D ．③④
解析： “p ∧q ”为真则“p ∨q ”为真，反之不一定，①真；如p 真，q 假时，p ∧q 假，但
p ∨q 真，故②假；¬p 为假时，p 真，所以p ∨q 真，反之不一定对，故③真；若¬p 为真，则p 假，所以p ∧q 假，因此④错误．
答案： B
6．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，A B →＝(1,5，－2)，B C →＝(3,1，z )，B P →
＝(x －1，y ，－3)，若AB ⊥BC ，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )
A.337，－157，4
B.407，－157，4
C.407，－2,4 D ．4，40
7
，－15 解析： 因为AB ⊥BC ，所以A B →·B C →
＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，
又BP ⊥平面ABC ，所以B P →⊥A B →，B P →⊥B C →
， 又B C →
＝(3,1,4)，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
－＋5y ＋6＝0，
－
＋y －12＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝40
7.y ＝－15
7
.
答案： B
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
解析： ∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角即为BB 1与平面ACD 1所成的角，设其大小为
θ，设正方体的棱长为1，则点D 到面ACD 1的距离为33，所以sin θ＝33，得cos θ＝6
3
.
答案： D
8．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，离心率为12
，则此
椭圆的方程为( )
A.x212＋y216＝1
B.x216＋y212＝1
C.x248＋y264＝1
D.x264＋y248
＝1 解析： y 2
＝8x ，焦点F (2,0)，可知椭圆焦点落在x 轴上，排除A 、C ；且椭圆中c ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧
a2＝b2＋c2，e ＝c a
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a2＝b2＋4，2a ＝1
2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a2＝16，
b2＝12.
故选B.
答案： B
9．椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23
－y 2
＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么
cos ∠F 1PF 2的值是( )
A.13
B.23
C.73
D.14
解析： 不妨设P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线和椭圆定义可知：|PF 1|＋|PF 2|＝26，
|PF 1|－|PF 2|＝23，
∴|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，
所以cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝＋－2|PF1||PF2|－|F1F2|2
2|PF1||PF2|
＝24－2×3－162×3＝13.故选A.
答案： A
10．已知命题p ：m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2
＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )
A ．m ≥2
B ．m ≤－2或m ＞－1
C ．m ≤－2或m ≥2
D ．－2≤m ≤2
解析： 若p ∧q 为假命题则p 与q 至少有一个为假命题
①若p 假q 真，则⎩
⎪⎨⎪⎧ m ＋1＞0
m2－4＜0⇒－1＜m ＜2；
②若q 假p 真，则⎩⎪⎨
⎪
⎧ m ＋1≤0m2－4≥0⇒m ≤－2； ③若p 假q 假，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋1＞0
m2－4≥0⇒m ≥2
综上可知m ≤－2或m ＞－1，故选B. 答案： B
11．(2011·泸州高二检测)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面C 1AB 的距离为( )
A.34
B.12
C.
3
2
D ．1 解析： 由题意知：取AB 中点
E ，连结C 1E ，CE .易知∠C 1EC ＝60°，过点C 作CO ⊥C 1E .解Rt
△COE ，即证CO ＝3
4
.也可建立坐标系求解．
答案： A
12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A.2
B. 3
C.
3＋12 D.5＋1
2
解析： 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，k BF ＝－b
c
，双曲线渐近线的斜率
k ＝±b a
.
∵BF 与一条渐近线垂直，
∴－b c ·b
a ＝－1，
∴b 2＝ac ，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2－ac －a 2
＝0， ∴e 2
－e －1＝0，
∴e ＝1±52(舍负值)∴e ＝5＋12
，故选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知p ：α是第二象限的角，q ：sin α·tan α<0，则p 是q 的________条件． 解析： 由α是第二象限的角，知sin α>0，tan α<0， 故sin α·tan α<0，即p ⇒q ；反之，不一定成立． 例如，当α是第三象限的角时，sin α<0，tan α>0， 所以sin α·tan α<0也成立． 答案： 充分不必要
14．若{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1
＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________．
解析： 因为d ＝αa ＋βb ＋γc ，
即e 1＋2e 2＋3e 3＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3， 所以α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，
解得α＝52，β＝－1，γ＝－1
2.
答案： 52，－1，－1
2
15．F 1，F 2是椭圆x29＋y2
7
＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的
面积为________．
解析： |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6，|AF 2|＝6－|AF 1|.
|AF 2|＝|AF 21|＋|F 1F 2|－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 21|－4|AF 1|＋8(6－|AF 1|)2
＝|AF 1|2
－4|AF 1|＋8，|AF 1|＝72
.
S ＝12×72×22×
22＝72
. 答案： 7
2
16.
如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C －BF －D 的正切值为________．
解析： 如右图，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z
轴建立空间直角坐标系Oxyz ，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，
∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，0，0，
结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →
为面BOF 的一个法向量，
由BC →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，
可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)，
∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →
〉＝277，
∴tan 〈n ，OC →
〉＝233
.
答案：
23
3
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2
＝1相交．”
q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根．”若p 或q 为真，¬p 为真，求m 的取值范围． 解析： ∵p 或q 为真，¬p 为真，∴p 假q 真． 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －m ＝0－＋y2＝1，得2x 2－2(1＋m )x ＋m 2＝0 若p 假，则Δ＝4(1＋m )2－4×2×m 2
≤0. ∴m ≥1＋2或m ≤1－ 2. 若q 真，则⎩⎪⎨⎪
⎧
m≠0m －4
m
＜0∴0＜m ＜4.
∴p 假q 真时，1＋2≤m ＜4.
∴m 的取值范围是[1＋2，4)
18．(12分)(2011·盐城高二检测)已知拋物线C 1的顶点在坐标原点，它的焦点即双曲线C 2：x2a2－y2b2＝1(a ，b ＞0)的一个焦点F ，若拋物线C 1与双曲线C 2的一个交点是M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，263. (1)求拋物线C 1的方程及其焦点F 的坐标； (2)求双曲线C 2的方程及其离心率e .
解析： (1)设y 2
＝2px (p ＞0)，图像过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫2632＝2p ×23，
p ＝2，拋物线C 1的方程y 2
＝4x ，焦点F (1,0)．
(2)由C 2过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，263以及焦点F (1,0)可得：
49a2－249
b2
＝1. a 2＋b 2＝1.得a ＝13，b ＝
22
3
， C 2方程为9x 2－98
y 2＝1，e ＝3.
19．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为3
3
，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半
径的圆与直线y ＝x ＋2相切．
(1)求a 与b ； (2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．
解析： (1)由于e ＝3
3
，
∴e 2
＝c2a2＝a2－b2a2＝13，∴b2a2＝23.
又b ＝2
1＋1
＝2，
∴b 2
＝2，a 2
＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2. (2)由(1)知F 1、F 2分别为(－1,0)，(1,0)． 由题意可设P (1，t )(t ≠0)，
那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，t 2. 设M (x ，y )是所求轨迹上的任意一点，由于
M N →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF1→＝(－2，－t )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
M N →·PF1→＝2x ＋
－t
2
＝0
y ＝t
，
消去参数t 得y 2
＝－4x (x ≠0)．
因此，所求点M 的轨迹方程为y 2
＝－4x (
x ≠0)， 其轨迹为抛物线． 20.
(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．
解析： 方法一：(1)证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，
∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)， 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．
∴P C →＝(2,22，－2)，B F →＝(－1，2，1)，E F →
＝(1,0,1)， ∴P C →
·B F →＝－2＋4－2＝0，P C →·E F →
＝2＋0－2＝0， ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .
(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝P C →
＝(2,22，－2)， 平面BAP 的法向量n 2＝A D →
＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8.
设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝84×22＝2
2
，
∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.
方法二：(1)证明：连接PE ，EC ，在Rt △PAE 和Rt △CDE 中． PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ， ∴PE ＝CE ，
即△PEC 是等腰三角形，
又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，
又BP ＝AP2＋AB2＝22＝BC ，F 是PC 的中点， ∴BF ⊥PC .
又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面BAP ，BC ⊥PB ， 又由(1)知PC ⊥平面BEF ，
∴直线PC 与BC 的夹角即为平面BEF 与平面PAB 的夹角， 在△PBC 中，PB ＝BC ，∠PBC ＝90°， ∴∠PCB ＝45°.
所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.
21．(12分)已知m >1，直线l ：x －my －m22＝0，椭圆C ：x2m2
＋y 2
＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的
左、右焦点．
(1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H .若原点O 在以线
段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
解析： (1)因为直线l ：x －my －m2
2
＝0经过F 2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22
，得m 2
＝2，
又因为m ＞1，所以m ＝ 2.
故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋m2
2，x2m2＋y2＝1，
消去x 得2y 2
＋my ＋m24
－1＝0，
则由Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m24－1＝－m 2＋8＞0，知m 2
＜8，
且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1y 2＝m28－1
2
.
由于F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 故O 为F 1F 2的中点， 由AG →＝2GO →，BH →＝2HO →，可知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x13，y13，H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x23，y23.
|GH |2
＝－9＋－9
.
设M 是GH 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x26，y1＋y26，
由题意可知，2|MO |＜|GH |，
即4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x262＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y1＋y262＜
－9＋－9， 即x 1x 2＋y 1y 2＜0，而x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my1＋m22⎝ ⎛⎭⎪⎫my2＋m22＋y 1y 2＝(m 2
＋1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫m28－12，
所以m28－12
＜0，即m 2
＜4.
又因为m ＞1且Δ＞0，所以1＜m ＜2. 所以m 的取值范围是(1,2)． 22．(12分)
如右图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C 、B 1C 1
的中点．
(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离； (2)求二面角B －A 1D －A 的余弦值；
(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ，若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．
解析： (1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，CC 1⊥BC ，因为AC ⊥CB ，所以BC ⊥平面A 1C 1CA ，BC 的长即为点到平面A 1C 1CA 的距离，因为BC ＝2，所以点B 到平面A 1C 1CA
的距离为2；
(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如下图所示的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(0,0,2)，
B 1(2,0,2)，A 1(0,2,2)，D (0,0,1)，E (1,0,2)，所以BD →＝(－2,0,1)，BA1→
＝(－2,2,2)，
设平面A 1BD 的法向量为n ＝(1，λ，μ)，有⎩⎪⎨
⎪⎧
n·BD →＝0，
n·BA1→＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－2＋μ＝0，
－2＋2λ＋2μ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，
μ＝2，
所以n ＝(1，－1,2)，同理平面ACC 1A 1的法向量
为m ＝(1,0,0)，cos 〈m ，n 〉＝
1
6
＝
66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66
； (3)设在线段AC 上存在一点F (0，y,0)，使得EF ⊥平面A 1BD ，欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知
当且仅当n ∥FE →，因为FE →
＝(1，－y,2)，所以y ＝1，故存在惟一一点F (0,1,0)满足条件，F 为AC 的中点．。