【新教材】4.3.2 对数的运算 课件-人教A版高中数学必修第一册 (共33张PPT)
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化为对数式？
它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得：p loga M , q loga N
由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0,a 1, M 0,n R)
对数的运算法则
对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝lologg＋aMl_＋__l_o_goaNgN； (2)logaMN ＝logMlo_g_aM__－__l_o_g_aN__N； (3)logaMn＝nl__n_l_o_g_a_M__M(n∈R)． 思考：当 M>0，N>0 时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN 是否成立？
提出问题
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可 以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性 质得出相应的对数运算性质呢？
问题探究
探究一：
1.对数的运算性质
将指数式 M a p , N aq 化为对数式，
结合指数的运算性质能否将 M N a p aq a pq
lg 2＋lg 3－lg 10
(3)
lg 1.8
.
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12.
p logc N 即证得 logc a
log a
N
log c log c
N a
这个公式叫做换底公式，一般取常用对数进行换底
由此可得，大约经过7年，B地景区的 游客人次就达到2001年的2倍，类似地， 可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍， …所需要的年数。
典例解析
例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对 地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里 氏震M之间的关系为
问题探究
探究二：结合前面的推导，由指数式
M a p a pq N aq
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M N
ap aq
a pq
得
loga
M N
p q loga M
loga
N
(a 0, a 1, M 0, N 0)
问题探究
探究三：结合前面的推导，由指数式
第四章 指数函数与对数函数
4.3.2 对 数 的 运 算
学习目标
1.理解对数的运算性质．(重点) 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
温故知新
1．对数 (1)指数式与对数式的
底数 (2)底数 a 的范围是__a_>_0_，__且__a_≠__1____.
解：（1）log84＋log82＝log88＝1. （2）log510－log52＝log55＝1 (3) log2（47×25）= log2219 =19
跟踪训练
跟踪训练 1 计算下列各式的值：
1 (1)2lg
3429－43lg
8＋lg
245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
例2.用ln x,ln y,ln z表示下列各式
1ln xy ;
z
x2 y (2) ln
3z
解 : 1ln xy ln xy ln z ln x ln ln z
z
2ln x2 y ln x2 y ln 3 z 3z
ln x2 ln y ln 3 z 2ln x 1 ln y 1 ln z
loga
N
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0)
问题探究
换底公式
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
证明：设 log a N p
由对数的定义可以得： N a p , log c N log c a p , logc N p logc a,
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
1 (3)原式＝2lg
2＋lg 9－lg lg 1.8
10
18
lg ＝2lg
10 1.8
＝2llgg11.8.8
＝12.
归纳总结
[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同， 再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； ②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[提示] 不一定．
思考辨析
1．思考辨析 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－3)2＝2log2(－3)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
典例解析
例 1．求下列各式的值 （1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（47×25）
23
问题探究
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表 就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意 正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数， 就能方便地求出这些对数。
探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?
它们之间有何关系？
试一试:由 M a p , N aq
得：p loga M , q loga N
由 M N a p aq a pq 得 p q loga (M N )
从而得出 loga (M N ) loga M loga N (a 0,a 1, M 0, N 0)
M n (a p )n anp
又能得到什么样的结论？
试一试:由 M n (a p )n anp
得 loga M n np nloga M
(a 0,a 1, M 0,n R)
对数的运算法则
对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝lologg＋aMl_＋__l_o_goaNgN； (2)logaMN ＝logMlo_g_aM__－__l_o_g_aN__N； (3)logaMn＝nl__n_l_o_g_a_M__M(n∈R)． 思考：当 M>0，N>0 时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN 是否成立？
提出问题
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可 以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性 质得出相应的对数运算性质呢？
问题探究
探究一：
1.对数的运算性质
将指数式 M a p , N aq 化为对数式，
结合指数的运算性质能否将 M N a p aq a pq
lg 2＋lg 3－lg 10
(3)
lg 1.8
.
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12.
p logc N 即证得 logc a
log a
N
log c log c
N a
这个公式叫做换底公式，一般取常用对数进行换底
由此可得，大约经过7年，B地景区的 游客人次就达到2001年的2倍，类似地， 可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍， …所需要的年数。
典例解析
例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对 地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里 氏震M之间的关系为
问题探究
探究二：结合前面的推导，由指数式
M a p a pq N aq
又能得到什么样的结论？
试一试:由
M N
ap aq
a pq
得
loga
M N
p q loga M
loga
N
(a 0, a 1, M 0, N 0)
问题探究
探究三：结合前面的推导，由指数式
第四章 指数函数与对数函数
4.3.2 对 数 的 运 算
学习目标
1.理解对数的运算性质．(重点) 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
温故知新
1．对数 (1)指数式与对数式的
底数 (2)底数 a 的范围是__a_>_0_，__且__a_≠__1____.
解：（1）log84＋log82＝log88＝1. （2）log510－log52＝log55＝1 (3) log2（47×25）= log2219 =19
跟踪训练
跟踪训练 1 计算下列各式的值：
1 (1)2lg
3429－43lg
8＋lg
245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
例2.用ln x,ln y,ln z表示下列各式
1ln xy ;
z
x2 y (2) ln
3z
解 : 1ln xy ln xy ln z ln x ln ln z
z
2ln x2 y ln x2 y ln 3 z 3z
ln x2 ln y ln 3 z 2ln x 1 ln y 1 ln z
loga
N
logc N logc a
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0)
问题探究
换底公式
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
证明：设 log a N p
由对数的定义可以得： N a p , log c N log c a p , logc N p logc a,
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
1 (3)原式＝2lg
2＋lg 9－lg lg 1.8
10
18
lg ＝2lg
10 1.8
＝2llgg11.8.8
＝12.
归纳总结
[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同， 再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； ②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[提示] 不一定．
思考辨析
1．思考辨析 (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－3)2＝2log2(－3)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
典例解析
例 1．求下列各式的值 （1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（47×25）
23
问题探究
数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表 就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意 正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数， 就能方便地求出这些对数。
探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?