湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中、襄阳三中2022-2023学年高二下学期五月联考数学试题
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(3)若企业有 1000 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 N , 2 ， 为各
位员工贡献利润数额的均值，计算结果为 100 万元， 2 为数据的方差，计算结果为 225 万元，若规定奖金只有贡献利润大于 115 万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两 种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖
约为（ ）
A．2.5%
B．3.2%
C．4.8%
D．2%
4．襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于 1970 年正式通车，在和襄阳城长达 53 年的相处
里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架
和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三
棱柱构成.其中 AB=BH，那么直线 AH 与直线 IG 所成角的余弦值为（ ）
E
的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
，右
焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于 B,C 两点，且 CF 3 FB ，点 B 关于
原点
O
的对称点为点
A
，若
uuur AF
uuur BF
0
，则双曲线
E
的离心率为__________．
四、双空题 16．有 n 个编号分别为 1，2，…，n 的盒子，第 1 个盒子中有 2 个白球 1 个黑球，其余 盒子中均为 1 个白球 1 个黑球，现从第 1 个盒子中任取一球放入第 2 个盒子，再从第 2 个盒子中任取一球放入第 3 个盒子，以此类推，则从第 2 个盒子中取到白球的概率是 ______，从第 n 个盒子中取到白球的概率是______．
则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20
B．120
C．360
D．720
2．在各项均为正数的等比数列an 中， a2a6 a5a11 16 ，则 a4a8 的最大值是（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
3．近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为 10%，在
全体学生中有 20%是团员，团员中优秀学生概率约为 40%，则非团员中优秀学生的概率
A． 3
2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1
2
5．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选 4 只，已知取
出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． 2 5
B． 4 5
C． 8 15
D． 8 9
6．已知函数 f x x3 3x ，若函数 f x 在区间 m,8 m2 上有最大值，则实数 m 的取
中 e 是自然对数的底数，则实数 a ， b ， c 的大小关系是____________.（用“<”连接）
15．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，
充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴
截面可以近似看作双曲线
E
的一部分，设该双曲线
10．已知 O 为坐标原点，M 为抛物线 C : y2 4x 上一点，直线 l : x my 3 与 C 交于 A, B
两点，过 A, B 作 C 的切线交于点 P ，则下列结论正确的是（ ）
A．
uuur OA
uuur OB
3
B．若点 M 为 9, 6 ，且直线 AM 与 BM 倾斜角互补，则 m 3 或 m 1
）
A．0 C． 7
9
B． 3 4
D． 11 14
8．已知函数 f x 2 alnx, g x ax2 1，若存在两条不同的直线与函数 y f x 和
y g(x) 图像均相切，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
2 1 ln2
,
C．
,
0
2 1 ln2
,
B．
,
1 ln2
D．
22．设定义在 R 上的函数 f x ex axa R ． (1)若存在 x0 1, ，使得 f x0 e a 成立，求实数 a 的取值范围；
(2)定义：如果实数 s，t，r 满足 s r t r ，那么称 s 比 t 更接近 r．对于（1）中的 a 及 x 1，问： e 和 ex1 a 哪个更接近 ln x ？并说明理由．
五、解答题
试卷第 3 页，共 5 页
17．快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故 随机采摘了 100 颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每 10 克为一组进行分组，
发现它们分布在区间5,15 ， 15, 25 ， 25,35 ， 35, 45 ，并据此画得频率分布直方图
,
1 ln2
2 1 ln2
,
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．已知随机变量
X
服从二项分布
B
4,
1 3
，则
E
X
8 9
B．“A 与 B 是互斥事件”是“A 与 B 互为对立事件”的必要不充分条件
C．已知随机变量 X 的方差为 D X ，则 D2X 3 2D X 3
D．已知随机变量 X 服从正态分布 N 4, 2 且 P X 6 0.85 ，则 P2 X 4 0.35
如下：
(1)求 a 的值，并据此估计这批果实的第 70 百分位数；
(2)若重量在5,15（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择 3 颗果
实，其中不是此次采摘对象的颗数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
18．记数列an 的前 n 项和为Tn ，且 a1 1, an Tn1 n 2 .
9 D．若 AP BP 取得最小值，则 CP PN
试卷第 2 页，共 5 页
12．已知 x1, x2 是函数 f x
ex ex
x
a
的零点，x3
,
x4
是函数
g
x
x
1 x
Байду номын сангаас
lnx
a
的
零点，且 x1 x2, x3 x4 下列说法正确的是（ ）（参考数据： ln3 1.099）
A． a 0
C．点 P 在定直线 x 3上
D．设 Q 点为 3, 0 ，则 MQ 的最小值为 3
11．已知正四面体 A BCD 的棱长为 2，点 M , N 分别为 VABC 和△ ABD 的重心， P 为 线段 CN 上一点，则下列结论正确的是（ ） A．直线 MN / / 平面 ACD B．若 CP 3PN ，则 DP 平面 ABC C．直线 MN 到平面 ACD 的距离为 2 6
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)对任意
n
N*
，求数列
n an
的前项和
Sn
.
19．如图， S 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， VABC 内接于
e O, AC BC, AC BC 3
2
，
uuuur AM
uuur 2MS,
AS
3, PQ 为 e
O
的一条弦，且 SB
/
/
平面
2
PMQ .
值范围为（ ）
A． 3, 6
B． 3, 1
C． 7,1
D．2,1
试卷第 1 页，共 5 页
7．已知 P 为椭圆 x2 y2 1( y 1) 上任一点，过 P 作圆 C : x2 ( y 2)2 1 的两条切线 4
PM
，
PN
，切点分别为
M
，
N
，则
uuuur CM
uuur CN
的最小值为（
(1)求 PQ 的最小值； (2)若 SA PQ ，求直线 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值. 20．某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入 3 个红球和
试卷第 4 页，共 5 页
3 个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则 不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行 3 次，若最后袋中红球个数为 X ，则每 位员工颁发奖金 X 万元； 方案二：从袋中一次性摸出 3 个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数 为Y ，则每位员工颁发奖金Y 万元. (1)若用方案一，求 X 的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说 明理由；
金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量 服从正态分布 N , 2 ，则
P 0.6826
21．已知过点 P(1, 0) 的直线 l 与抛物线 C : x2 2 py( p 0) 相交于 A，B 两点，当直线 l 过抛物线 C 的焦点时，| AB | 8． (1)求抛物线 C 的方程； (2)若点 Q(0, 2) ，连接 QA，QB 分别交抛物线 C 于点 E，F，且VQAB 与△ QEF 的面积 之比为1: 2 ，求直线 AB 的方程．
B．若 a
3 .则
x3
x4
10 3
C．存在实数 a ，使得 x2 x3 ，且 x1, x2, x4 成等差数列
D．存在实数 a ，使得 x2, x3, x4 成等比数列
三、填空题
13．已知 3x 29
a0
a1x a2x2
a9x9 ，则
a1 3
a2 32
a9 39
_______.
14．已知 a ，b ， c 0,1 ，且 a2 2lna 1 e ，b2 2lnb 2 e2 ， c2 2lnc 3 e3 ，其
湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中、襄阳三中 2022-2023 学年高二下学期五月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．某次数学竞赛获奖的 6 名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
x
试卷第 5 页，共 5 页
位员工贡献利润数额的均值，计算结果为 100 万元， 2 为数据的方差，计算结果为 225 万元，若规定奖金只有贡献利润大于 115 万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两 种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖
约为（ ）
A．2.5%
B．3.2%
C．4.8%
D．2%
4．襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于 1970 年正式通车，在和襄阳城长达 53 年的相处
里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架
和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三
棱柱构成.其中 AB=BH，那么直线 AH 与直线 IG 所成角的余弦值为（ ）
E
的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
，右
焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于 B,C 两点，且 CF 3 FB ，点 B 关于
原点
O
的对称点为点
A
，若
uuur AF
uuur BF
0
，则双曲线
E
的离心率为__________．
四、双空题 16．有 n 个编号分别为 1，2，…，n 的盒子，第 1 个盒子中有 2 个白球 1 个黑球，其余 盒子中均为 1 个白球 1 个黑球，现从第 1 个盒子中任取一球放入第 2 个盒子，再从第 2 个盒子中任取一球放入第 3 个盒子，以此类推，则从第 2 个盒子中取到白球的概率是 ______，从第 n 个盒子中取到白球的概率是______．
则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20
B．120
C．360
D．720
2．在各项均为正数的等比数列an 中， a2a6 a5a11 16 ，则 a4a8 的最大值是（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
3．近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为 10%，在
全体学生中有 20%是团员，团员中优秀学生概率约为 40%，则非团员中优秀学生的概率
A． 3
2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1
2
5．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选 4 只，已知取
出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． 2 5
B． 4 5
C． 8 15
D． 8 9
6．已知函数 f x x3 3x ，若函数 f x 在区间 m,8 m2 上有最大值，则实数 m 的取
中 e 是自然对数的底数，则实数 a ， b ， c 的大小关系是____________.（用“<”连接）
15．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，
充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴
截面可以近似看作双曲线
E
的一部分，设该双曲线
10．已知 O 为坐标原点，M 为抛物线 C : y2 4x 上一点，直线 l : x my 3 与 C 交于 A, B
两点，过 A, B 作 C 的切线交于点 P ，则下列结论正确的是（ ）
A．
uuur OA
uuur OB
3
B．若点 M 为 9, 6 ，且直线 AM 与 BM 倾斜角互补，则 m 3 或 m 1
）
A．0 C． 7
9
B． 3 4
D． 11 14
8．已知函数 f x 2 alnx, g x ax2 1，若存在两条不同的直线与函数 y f x 和
y g(x) 图像均相切，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
2 1 ln2
,
C．
,
0
2 1 ln2
,
B．
,
1 ln2
D．
22．设定义在 R 上的函数 f x ex axa R ． (1)若存在 x0 1, ，使得 f x0 e a 成立，求实数 a 的取值范围；
(2)定义：如果实数 s，t，r 满足 s r t r ，那么称 s 比 t 更接近 r．对于（1）中的 a 及 x 1，问： e 和 ex1 a 哪个更接近 ln x ？并说明理由．
五、解答题
试卷第 3 页，共 5 页
17．快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故 随机采摘了 100 颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每 10 克为一组进行分组，
发现它们分布在区间5,15 ， 15, 25 ， 25,35 ， 35, 45 ，并据此画得频率分布直方图
,
1 ln2
2 1 ln2
,
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．已知随机变量
X
服从二项分布
B
4,
1 3
，则
E
X
8 9
B．“A 与 B 是互斥事件”是“A 与 B 互为对立事件”的必要不充分条件
C．已知随机变量 X 的方差为 D X ，则 D2X 3 2D X 3
D．已知随机变量 X 服从正态分布 N 4, 2 且 P X 6 0.85 ，则 P2 X 4 0.35
如下：
(1)求 a 的值，并据此估计这批果实的第 70 百分位数；
(2)若重量在5,15（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择 3 颗果
实，其中不是此次采摘对象的颗数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
18．记数列an 的前 n 项和为Tn ，且 a1 1, an Tn1 n 2 .
9 D．若 AP BP 取得最小值，则 CP PN
试卷第 2 页，共 5 页
12．已知 x1, x2 是函数 f x
ex ex
x
a
的零点，x3
,
x4
是函数
g
x
x
1 x
Байду номын сангаас
lnx
a
的
零点，且 x1 x2, x3 x4 下列说法正确的是（ ）（参考数据： ln3 1.099）
A． a 0
C．点 P 在定直线 x 3上
D．设 Q 点为 3, 0 ，则 MQ 的最小值为 3
11．已知正四面体 A BCD 的棱长为 2，点 M , N 分别为 VABC 和△ ABD 的重心， P 为 线段 CN 上一点，则下列结论正确的是（ ） A．直线 MN / / 平面 ACD B．若 CP 3PN ，则 DP 平面 ABC C．直线 MN 到平面 ACD 的距离为 2 6
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)对任意
n
N*
，求数列
n an
的前项和
Sn
.
19．如图， S 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， VABC 内接于
e O, AC BC, AC BC 3
2
，
uuuur AM
uuur 2MS,
AS
3, PQ 为 e
O
的一条弦，且 SB
/
/
平面
2
PMQ .
值范围为（ ）
A． 3, 6
B． 3, 1
C． 7,1
D．2,1
试卷第 1 页，共 5 页
7．已知 P 为椭圆 x2 y2 1( y 1) 上任一点，过 P 作圆 C : x2 ( y 2)2 1 的两条切线 4
PM
，
PN
，切点分别为
M
，
N
，则
uuuur CM
uuur CN
的最小值为（
(1)求 PQ 的最小值； (2)若 SA PQ ，求直线 PQ 与平面 BCM 所成角的正弦值. 20．某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入 3 个红球和
试卷第 4 页，共 5 页
3 个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则 不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行 3 次，若最后袋中红球个数为 X ，则每 位员工颁发奖金 X 万元； 方案二：从袋中一次性摸出 3 个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数 为Y ，则每位员工颁发奖金Y 万元. (1)若用方案一，求 X 的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说 明理由；
金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量 服从正态分布 N , 2 ，则
P 0.6826
21．已知过点 P(1, 0) 的直线 l 与抛物线 C : x2 2 py( p 0) 相交于 A，B 两点，当直线 l 过抛物线 C 的焦点时，| AB | 8． (1)求抛物线 C 的方程； (2)若点 Q(0, 2) ，连接 QA，QB 分别交抛物线 C 于点 E，F，且VQAB 与△ QEF 的面积 之比为1: 2 ，求直线 AB 的方程．
B．若 a
3 .则
x3
x4
10 3
C．存在实数 a ，使得 x2 x3 ，且 x1, x2, x4 成等差数列
D．存在实数 a ，使得 x2, x3, x4 成等比数列
三、填空题
13．已知 3x 29
a0
a1x a2x2
a9x9 ，则
a1 3
a2 32
a9 39
_______.
14．已知 a ，b ， c 0,1 ，且 a2 2lna 1 e ，b2 2lnb 2 e2 ， c2 2lnc 3 e3 ，其
湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中、襄阳三中 2022-2023 学年高二下学期五月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．某次数学竞赛获奖的 6 名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
x
试卷第 5 页，共 5 页