2010年广东地区广州市萝岗区中考数学第一次模拟试题及答案解析

2010年萝岗区初中毕业班综合测试(一)
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面、第7面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.)
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（﹡）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．=（ ﹡ ）．
（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4- 3．函数k
y x
=
的图象经过点(12)A -，，则k 的值为（ ﹡ ）． （A ）1
2
（B ）12- （C ）2
（D ）2-
4．下列命题中，不正确的是（ ﹡ ）．
（A ）n 边形的内角和等于(2)180n -·° （B ）边长分别为345，，，的三角形是直角三角形 （C ）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧（D ）两圆相切时，圆心距等于两圆半径之和。

5．下列运算正确的是（ ﹡ ）． （A ）2
2
2
()a b a b +=+
（B ）325a a a =⋅
（C ）632a a a ÷= （D ）235a b ab += 6．二元一次方程组2
x y x y +=⎧⎨
-=⎩的解是（ ﹡ ）．
（A ）02x y =⎧⎨
=⎩ （B ）20x y =⎧⎨=⎩ （C ）11x y =⎧⎨=⎩ （D ）1
1x y =-⎧⎨=-⎩
7．化简22
422b a a b b a
+--的结果是（ ﹡ ）．
（A ）2a b -- （B ）2b a -
（C ）2a b -
（D ）2b a +
8．如图1，
O 的弦6AB =，M 是AB 上任意一点，且O 的半径为5，则OM 最小值
为（ ﹡ ）． （A ）5
（B ）4
（C ）3 （D ）2
9．如图2，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的面积为1，则CF △D 的面积为（ ﹡ ）．
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10．图3是一张矩形纸片ABCD ，6AD cm =，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若2BE cm =，则DE =（ ﹡ ）．
（A ）22cm （B ）4cm （C ）42cm （D ）6cm
第二部分 非选择题(共120分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分．) 11．方程
2
11
x =-的根为 ﹡ ． 12．在组成单词“Probability ”（概率）的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“i ”
的概率是 ﹡ ．
13．10名同学在某次“1分钟仰卧起坐”的测试中，成绩如下（单位：次）：
39,45,42,48,37,39,46,40,43,39，则这组数据的中位数是 ﹡ ．
14．如图4，小明要测量河内小岛B 到河边公路L 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在
C 点测得60BC
D ∠=°，
又测得50AC =米，则小岛B 到公路L 的距离为 ﹡ ．
15．图5是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图都是腰为13cm ，底为10cm 的等腰
三角形，则这个几何体的侧面积是 ﹡ ．
16．如图6，在四边形ABCD 中，0
,90,AB BC ABC CDA BE AD =∠=∠=⊥于点E ，
且四边形ABCD 的面积为9，则BE = ﹡ ．
三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分9分）
解不等式组312(1)312
x x x -<+⎧⎪
⎨+⎪⎩，≥，并在所给的数轴上表示出其解集．
18．（本小题满分9分）
如图7，点O A B 、、的坐标分别为(00)(0)(3)，、，
4、，4，将OAB △绕点O 按顺时针方向旋转180°得到11OA
B △．
(1)画出旋转后的11OA B △，并写出点1B 的坐标；
(2)求在旋转过程中，点B 所经过的路径1BB 的长度．（结果保留π）
图6
A E
D
C
19．（本小题满分10分）
有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k ，第二次从余下．．的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）写出k 为正数的概率；
（2）求一次函数y kx b =+的图象经过二、三、四象限的概率．（用树状图或列表法求解）
20．（本小题满分10分）
如图8，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数x
m
y =
图象相交于点(1,2)A - 与点(4,)B n -。

(1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB ∆的面积．
21．（本小题满分12分）
如图9，轮船以30海里/小时的速度从A 处向正东方向航行，在A 处看小岛B 在轮船的北偏东0
60的方向，1小时后船航行到C 处，在C 处看小岛B 在北偏西0
45的方向，求此时小岛B 到C 处的距离．（答案用根式表示）
22．（本小题满分12分）
如图10,点P 是正方形ABCD 内的一点，1,2,3AP BP CP ===，
''BP BP BP BP ⊥=，．（1）P',P'C APB C B PA ∠=∠=求证:；（2）APB ∠求。

23．（本小题满分12分）
如图11,已知抛物线2
y ax x c =-+经过点(2,3)Q -，且它的顶点P 的横坐标为1-．
设抛物线与x 轴相交于,A B 两点，(1)求抛物线的解析式；(2)求,A B 两点的坐标；
(3)设PB 与y 轴交于C 点，求ABC ∆的面积．
24．（本小题满分14分）
如图12，在ABC △中，36AB AC A =∠=，°，
(1)用尺规作图的方法，
过B 点作ABC ∠的平分线交AC 于D （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：BC BD AD ==； (3)求证：2AD AC DC =． (4)设
CD
x DA
=，求.x
25．（本小题满分14分）
A B C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的每种玩某经销商用2350元恰好购进,,
具都不少于10套，设购进A种电动玩具x套，购进B种电动玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如下表：
(1)用含x、y的代数式表示购进C种电动玩具的套数；
(2)求出用x的代数式表示y的y与x之间的函数关系式；
(3)假设所购进的电动玩具全部售出，且在购销这批玩具过程中需要另外支出各种费用共200元．
①求出利润P（元）用x的代数式表示P的P与x（套）之间的函数关系式；
②求出利润的最大值，并写出此时购进三种电动玩具各多少套？
(利润＝销售收入－购进支出－另外支出)
2010年萝岗区初中毕业班综合测试（一）
参考答案与评分标准
说明1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题
主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得
分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部
分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题(每小题3分，满分30分)
三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分9分）
解：解不等式312(1)x x -
<+，得3x <．……………………………………….3分
解不等式
3
12
x +≥，得1x -≥．……………………………………………6分 在数轴上表示如下图所示
∴不等式组的解集为13x -<≤．………………………………………….9分
18．（本小题满分9分）
解：（1）OAB △绕点O 顺时针旋转180°后得
11OA B △，如图所示，………………2分
点1B 的坐标为(3)-，-4；…………4分 （2）点B 所经过的路径1BB 是圆心 角为180°， ………………………..5分 半径为5的半圆1OBB 的弧长，…..6分 所以1
(2π5)5π2
l =
⨯⨯=．
…………8分 答：点B 所经过的路径
1BB 的长度为5π．…………………9分
19．（本小题满分10分） 解：（1）k 为正数的概率是1
3
……………………………………………………1分 （2）画树状图
或用列表法：
2
- 3
7
1 3 2- 1-
1- 2
-3
开始
第一次 第二次
3 （3，1-） （3，2-）
共有6种情况，……………………………………………………………………7分 其中满足一次函数y kx b =+经过第二、三、四象限，
即0,0k b <<的情况有2种,……………………………………………………9分 所以一次函数y kx b =+经过第二、三、四象限的概率为21
63
=…………..10分
20．（本小题满分10分） 解：
（1）将点A （－1，2）坐标代入x m y =
，得:1
2-=m ∴m =－2…………………………………………………………..2分
∴反比例函数解析式为x
y 2
-
= ………………………………2分 将点B （－4， n ）坐标代入x y 2-=，得:4
2
--=n
∴n =2
1
…………………………………………………………….4分
∴B 点坐标为（－4，2
1
）………………………………….…..4分
将A （－1，2）、B （－4，2
1
）的坐标分别代入y kx b =+中，得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-2142b k b k ，…………………5分 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==2
52
1
b k ………………………6分 ∴一次函数的解析式为15
22
y x =
+ … ………………6分 （2）设直线AB 与X 轴的交点为C,
当0y =时，
15
0,522
x x +==-. …………………7分 ∴C 点坐标(5,0),5OC -= …………………….7分
A 11
OC | y | = 52=522AOC S ∆=⨯⨯ ………………8分 B 1115
OC | y | = 5=2224
BOC
S ∆=⨯⨯ ………………9分 515
=5-44
AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=-=
................ .…………10分
21．（本小题满分12分）
解：如图，过B 点作BD AC ⊥于D ．……………………………………2分 ∴906030DAB ∠=-=°°°…………………………………………….3分
904545DCB ∠=-=°
°°．……………………………………………4分
设BD x =，在Rt ABD △中，tan 30x
AD =
=°
． (6)
分
在Rt BDC △中，BD DC x ==………………………………………7分
BC =．……………………………………….8分
又30130AC =⨯=
30x +=．…………………………….9分 解得1)x =
-．…………………………………………………10分
∴215(31)BC =
-=（海里）．…………………11分
B
A
C
60° 45°
北
北
D
答：此时小岛B 到C 处的距离为海里．………………… 12分
22．（本小题满分12分） （1）证明：
四边形ABCD 是正方形，'
BP BP ⊥，
'90AB CB ABC PBP ∴=∠=∠=，° …………………………2分 'ABC PBC PBP PBC ∴∠-∠=∠-∠ ………………………………4分
即'ABP CBP ∠=∠ ……………………………………………………4分
'BP BP =又
P'ABP CB ∴∆≅∆ ……………………………………………………5分
P',P'C APB C B PA ∴∠=∠= ………………………………………6分
（2）'
PP 连接 ……………………………………………………7分
''2BP BP BP BP ⊥==，
∴0
P'P=PP'=45,B B ∠∠且 ………………………………8分
P'C=PA=1,PC=3,P ∴2
2
2
(PC)= P'C +PP'，满足勾股定理的逆定理 ……………………10分 ∴0
PP'C=90∠ …………………………………………………………11分 ∴0
CP'=P'P+PP'C=45+90=135APB B B ∠=∠∠∠ ……………12分 注：
000P'P==135+45=180,,'APB B A P P ∠+∠∴三点共线,
在P'C Rt A ∆中，P'A 和P'C 已知，易求出AC 的长，进而可求出正方形ABCD 的面积。

23．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得 2
3(2)(2)2
112a c a
⎧=---+⎪⎪⎨-⎪-=-⎪⎩，， ………………………………………1分
解得 21-
=a ，2
3
=c ．……………………………………………………………3分 ∴ 抛物线的解析式为23
212+--=x x y ．………………………………………..3分
（2）令 y = 0，即 02
3
212=+--x x ，
整理得 x 2 + 2x －3 = 0．……………………………………………………………....4分 解得 x 1 =－3， ……………………………………………………………….5分
x
A
Q
O
B
C
P
x 2 = 1． ………………………………………………………………..6分
∴ A （－3，0），B （1，0）．………………………………………………………..6分 （3）将 x =－l 代入2
3
212+--
=x x y 中， 得 y = 2，即P （－1，2）． ………………………………………………………....7分 设直线PB 的解析式为 y kx b =+， ……………………………………………8分 于是 20k b
k b =-+⎧⎨
=+⎩
………………………………………………............................8分
解得 k =－1，b = 1．……………………………………………….........................9分 即直线PB 的解析式为 y =－x + 1．………………………………………………9分 令 x = 0，则 y = 1， 即 OC = 1．……………………………………………….10分 又 ∵ AB = 1－（－3）= 4，……………………………………………………...11分 ∴ ABC S ∆ =
21×AB ×OC =2
1
×4×1 = 2，…………………………………… .12分 即△ABC 的面积为2．…………………………………………………………….12分
24．（本小题满分14分）
解：（1）作图见答案图………………………………………………2分
,3672...........................................................3ABC AB AC A ABC ACB ∆=∠=∴∠∠=(2)在中，°
=分
0,,36.............................................................................4DBA BD ABC ABD DBC A
AD BD ∆∠∴∠=∠==∠∴=在中平分分
000,363672....................................................................5BDC BDC A ABD BCD
BC BD AD ∆∠=∠+∠===∠∴==在中+分
B
2
2,,...................................................................6,...............................................7,....ACB BCD DBC A C C
ACB BCD AC BC BC AC CD CB CD
BC AD AD AC DC ∆∆∠=∠∠=∠∴∆∆∴=∴==∴=(3)在与中，分
分............................................8分 222(4)
,(1)..................................................9,(1).............................................................101(CD
x CD DA x DA
AC CD DA DA x CD AC AD AC DC AD
DA x x x =∴==
+=+==+∴=分将代入(3)已证的等式,得
分21),10 (11)
2x x x b x a
++-=-±∴==
分分
...........................130,CD x x DA =>∴=分分
25．（本小题满分14分）
解：（1）购进C 种玩具套数为：50x y --……………………………………..……..1分 （2）由题意得405550(50)2350x y x y ++--=……………………………….2分 整理得230y x =-．……………………………………………………………….3分 （3）①利润＝销售收入－购进支出－另外支出
508065(50)2350200P x y x y ∴=++----…………………………………4分
化简得15250P x =+．…………………………………………………………….5分 ②购进C 种电动玩具的套数为：50803x y x --=-．………………………..6分 根据题意列不等式组，得
102301080310x x x ⎧⎪
-⎨⎪-⎩
≥≥≥，……………………………………………………………………9分 解得70
203
x ≤≤
．………………………………………………………………10分
∴x 的范围为2023x ≤≤，且x 为整数．……………………………………..11分 ∵P 是x 的一次函数，150k =>，
∴P 随x 的增大而增大．………………………………………………………….12分 ∴当x 取最大值23时，P 有最大值，最大值为595元…………………… …..13分 此时购进A 、B 、C 三种玩具分别为23套、16套、11套………………………14分。