北京市怀柔区～度第二学期高三数学期中练习(文)新人教版

怀柔区2009～2010学年度第二学期高三期中练习
数学（文科）
2010.3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项． 1．设全集}4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=P ，}3,1{=Q ，则=)(Q C P U
A ．{1}
B ．{2}
C ．{4}
D ．{1，2，4}
2．若向量a =（1，—1），b =（—1，1），c =（5，1），则c +a+b =
A ．a
B ． b
C ．c
D ．a+b 3．抛物线2
4y x =的焦点坐标为
A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0,1)
D ．(1,0)
4．已知1=a ，复数),()2()1(2
R b a i a a z ∈-+-=，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
5．如图，是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶 图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均 数为 A ．85 B ．86 C ．87 D ．88
6．右图，是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则 其体积是
A
B
C
D ．83
7．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的
距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为
A ．
827 B ．27
1 C ．2627 D ．15
27 8．已知数列：1213214321
,,,,,,,,,,...,1121231234
依它的前10项的规律，这个数列的第2010项
2010a 满足
A ．20101
010
a <<
B ．
20101
110
a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ．201010a >
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9
．函数y =
的定义域是 __. 10．=8
cos
8
sin
π
π
. 11．如图，是计算
1111
246
20
++++
的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 .
12．若函数2)(3
++-=cx x x f )(R c ∈，则
/3
()2
f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是
_.
13．如图，直角POB ∆中，
90=∠PBO ，以O 为圆心、OB 为半径作
圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB =α弧 度，则tan α=
α.
14．已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0
,20
,)(2x x c bx x x f ，若1)1(=-f ，2)
(-=f ，则函数
x x f x g +=)()(的零点
个数为 ____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分12分）
已知函数)2
cos(cos )(x x x f -+=π
．
（Ⅰ）求)3
(π
f 的值；
（Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB
为正 三角形．
（Ⅰ）求证：MD//平面APC ；
（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ．
17．（本小题满分13分）
已知函数b ax x x f ++=2
3)(的图象在点)0,1(P 处的切线与直线03=+y x 平行．
（Ⅰ）求常数a 、b 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,0[上的最小值和最大值．
18．（本小题满分13分） 某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布
直方图如图
所示．若130~140分数段的人数为2人．
（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第
五组）中任
意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试
求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
19．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
1
，椭圆的短轴端点和焦点所
组成的四边 形周长等于8．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点（0，—2）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB
为直径的
圆过椭圆C 的右顶点，求直线l 的方程． 20．（本小题满分14分）
当n p p p ,,,21 均为正数时，称
n
p p p n
+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”．已知数
列{}n a 的各项均为正数，且其前n 项的“均倒数”为1
21
+n ． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
2+=
n a c n n ，试判断并说明()*
1n n c c n N +-∈的符号； （Ⅲ）已知(0)n a
n b t t =>，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，试求
1
n n
S S +的值．
怀柔区2009～2010学年度第二学期高三数学期中练习
参考答案及评分标准(文科) 2010.3
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9. }0{>x x 10.
4
2
11. 20n ≤
12. /(0)f ＞/
(1)f -＞/3()2
f - 13. 2 14. 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15．（本小题满分12分） 解：
（Ⅰ）()cos
cos(
)3
3
23
f ππ
π
π
=+-=
----------------------------4分 （Ⅱ） x x x x x f c o s s i n )2
c o s (c o s
)(+=-+=π
)22
cos
cos sin )44)84
x x x x x π
π
π
=+=
+=+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分
由232422πππ
π
π+
≤+
≤+
k x k 得4
5242ππππ+≤≤+k x k
∴ )(x f 的递减区间为]4
52,42[π
πππ+
+k k ，)(Z k ∈-------12分 16．（本小题满分14分）
解（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，
∴MD//AP ， 又MD ⊄平面ABC ，
∴MD//平面APC 。

-----------------------7分
（Ⅱ）∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 中点，
∴MD ⊥PB 。

又由（Ⅰ）知MD//AP ， ∴AP ⊥PB 。

又已知AP ⊥PC ，PB∩PC=P
∴AP ⊥平面PBC ，而BC 包含于平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，
又AC ⊥BC ，而AP∩AC=A ， ∴BC ⊥平面APC ， 又BC 包含于平面ABC
∴平面ABC ⊥平面PAC 。

---------------14分
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）()x f '=32
x ＋2ax ，
依题意有: ()1f '=3＋２ａ＝－３,
∴ａ＝－３.
又f （１）＝ａ＋ｂ＋１＝０ ． ∴ｂ＝２ .
综上：ａ＝－３，ｂ＝２ ---------------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=3x －３2x ＋２；()x f '=32
x －６x ．
令()x f '=０得：ｘ＝０，ｘ＝２--------------------8分
当０≤ｘ≤4时，随ｘ的变化，
'、f （ｘ）的变化情况如下表 ：
-------------11分 从上表可知 ： 当ｘ＝２时，f （ｘ）取最小值为f （２）＝－２；
当ｘ＝4时f （ｘ）取最大值是f （4）=18．-------13分
18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设90-140分之间的人数是n ，………2分
由130-140分数段的人数为2人，可知0.005×10×n =2，得.40=n ………7分 （Ⅱ）依题意，第一组共有40×0.01×10=4人，记作4321A A A A 、、、；第五组共有2人，
记作21B B 、从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：
{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 1，A 4}、{A 2，A 3}、{A 2，A 4}、{A 3，A 4}； {A 1，B 1}、{A 2，B 1}、{A 3，B 1}、{A 4，B 1}； {A 1，B 2}、{A 2，B 2}、{A 3，B 2}、{A 4，B 2}；
{B 1，B 2}；………………………………………………………………10分
设事件A ：选出的两人为“黄金搭档组”.若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，………12分
故15
8
)(=
A P ………13分 19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b
y a x ………………1分
3,1,28
4,2
1
:
222=-===∴==c a b c a a a c 由题意得 ∴椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ………………4分 （Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，A ，B 分别为椭圆短轴的两端点，显然以A ，B 为直径的圆
不过椭圆C 的右顶点，故直线l 与x 轴不垂直.………………5分 设直线l 的方程为2-=kx y
则由0416)43(213
4222
2=+-+⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
kx x k kx y y x 得 ………………7分 由2
1
210-<>
>∆k k 或得 ……………………………………8分
2
2
2121221212
2
122122114312124)(2)2)(2(434
,4316),,(),,(k k
x x k x x k kx kx y y k x x k k x x y x B y x A +-=
++-=--=∴+=+=
+则设 因为以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D （2，0）， 12121,122
AD BD y y
K K x x ∴=-⋅=---即
,078,0443324344312120
4)(22
2
222212121=+-=++-+++-∴=++-+∴k k k k k k k x x x x y y 即 解得7,121==k k ……………………………… ………………12分 当k=1时，直线l 过椭圆右顶点（2，0），不合题意， 所以k=7，故直线l 的方程是.27-=x y ……………………14分 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 121(21)n n a a a a n n -++⋅⋅⋅++=+,………………2分
)12)(1(121--=⋅⋅⋅++-n n a a a n ，
两式相减，得41(2)n a n n =-≥ .…………3分 又111211
a =
⨯+，解得 13411a ==⨯- , ∴ 41()n a n n N +
=-∈ . …………5分
（Ⅱ）∵413
2212121n n a n c n n n -=
==-+++,………………6分 11322323
n n a c n n ++==-++ ,
∴133
2123
n n c c n n +-=
-++＞0， 即1n n c +＞c . …………9分 （Ⅲ）∵41()n a n n
b t t t -==＞0,
∴374112n n
n S b b b t t t -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+， …………11分
当1t =时,n S n = ,11
n n S n S n
++=; …………12分 当t ＞0且1t ≠时, 344
(1)1n n t t S t
-=-，44
1411n n n n S t
S t ++-=-. …………13分 综上得，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--=+=++1,0,111,1
44
41
t t t
t t n
n S S n n n
n ………………………………14分。