2018年山西省大同市宣家塔乡中学高三数学文模拟试题含解析

2018年山西省大同市宣家塔乡中学高三数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=kx（≤x≤e2），与函数g（x）=（），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=x对称，则实数k的取值范围是（）
A．[﹣，e] B．[﹣，2e] C．D．
参考答案：
B
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】求出g（x）的反函数h（x），则g（x）与f（x）的图象在[，e2]上有交点，借助函数图象及导数的几何意义即可求出k的范围．
【解答】解：g（x）=（）=（e）x关于直线y=x的对称函数为h（x）
=log x=﹣2lnx，
则y=h（x）与y=f（x）=kx在[，e2]上有交点，
作出y=h（x）与y=f（x）在[，e2]上的函数图象如图所示：
设y=k1x经过点（，2），则k1=2e，
设y=k2x与h（x）=﹣2lnx相切，切点为（x0，y0），
则，解得x0=e，k2=﹣．
∴≤k≤2e．
故选B．
2. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩?U B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
参考答案：
A
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，
由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，
∵全集U=R，
∴?U B={x|x＜1}，
则A∩（?U B）={x|0＜x＜1}．
故选：A．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3. 设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为
A．； B. ； C. ； D.
参考答案：
B
4. 实数满足条件则的最小值为
A． B．1 C．4 D．16
参考答案：
D
略
5. 已知定义在(0,+∞)上的函数，设两曲线与
在公共点处的切线相同，则m值等于（）
A. 5
B. 3
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐
标，代入求得的值.
【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.
6. 的值为
A． B. C.
D.
参考答案：
D
7. 函数在点（1,2）处的切线方程为（）
A．B．C．D．
参考答案：
8. 设点P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程算出焦距|F1F2|=2，根据双曲线定义得到||PF1|﹣|PF2||=2．然后在△PF1F2中运用余弦定理，得出关于|PF1|、|PF2|和cos∠F1PF2的式子；而△PF1F2的面
积为12，得到|PF1|、|PF2|和sin∠F1PF2的另一个式子．两式联解即可得到∠F1PF2的大小．
【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣=1，
∴c2=a2+b2=13，可得双曲线的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0）
根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=2
∴由余弦定理，得|F1F2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|?|PF2|，
即：52=4+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|?|PF2|，
可得|PF1|?|PF2|=
又∵△PF1F2的面积为12，
∴|PF1|?|PF2|sin∠F1PF2=12，即=12
结合sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1，
解之得sin∠F1PF2=1且cos∠F1PF2=0，
∴∠F1PF2等于
故选C．
【点评】本题给出双曲线上一点P与双曲线两个焦点F1、F2构成的三角形面积，求∠F1PF2的大小，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
9. 函数，满足，且对任
意，都有，则以下结论正确的是（）
A．B． C.
D．
参考答案：
A
可知，函数的对称中心为. 对任意，都有
，知对称轴是，可知，故b=0．
10. 定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）
=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．[2，+∞） B．C．D．[1，2]
参考答案：
D
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调
性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围
解答：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为
f（x）=2x2﹣10x+10，
当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，
则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．
当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；
当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；
当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；
当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．
综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．
若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，
则有t2﹣≤﹣．
解得1≤t≤．
当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），
当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，
即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．
由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，
即有实数t的取值范围是[1，2]．
故选D．
点评：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在四边形ABCD中，，点E在线段CB 的延长线上，且，则.
参考答案：
－1
建立如图所示的直角坐标系，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.
12. 已知x与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点 .
参考答案：
（1.5，4）
略
13. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则．
参考答案：
由题意知三角形为等腰直角三角形。

因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以
，
，所以。

14. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为__________．参考答案：
15. 函数的图象如图所示，则______________，
__________.
参考答案：
,
略
16. 命题“,”的否定是；
参考答案：
略
17. 已知a>b>0,ab=1，则的最小值为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分15分）
已知P为曲线C上任一点，若P到点F的距离与P到直线距离相等（1）求曲线C的方程；
（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点A、B，
（I）若，求直线l的方程；（II）试问在x轴上是否存在定点
E(a,0)，使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
19. （13分）
若函数的最大值为2，试确定常数a的值.
参考答案：
解析：
20. 若函数，在点处的斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值．
参考答案：
(1)；(2) .
考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题
的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围.
21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y=x2﹣的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
参考答案：
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可
得：x4+x2+=0，根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：
△=0，a＞1，解得a．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN=；当直线l的斜率为0时，
S△PMN=．
②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为：y=kx，与椭圆方程联立解得x2，y2．|MN|=2．由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，与椭圆方程联立可得|OP|=．利用S△PMN=|MN|×|OP|，与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，解得b=1．联立+y2=1（a＞1）与y=x2﹣，可得：x4+x2+=0，
根据椭圆C与抛物线y=x2﹣的对称性，可得：△=﹣4×=0，a＞1，解得a=2．
∴椭圆C的标准方程为： +y2=1．
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN==2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN==2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为：y=kx，由，解得x2=，y2=．
∴|MN|=2=4．
由题意可得：线段MN的中垂线方程为：y=﹣x，
联立，可得x2=，y2=．
∴|OP|==2．
S△PMN=|MN|×|OP|=≥=，当且仅当k=±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为．
∵，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为：y=±x．
22. 已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2.
⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程;
⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程.
参考答案：
解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）
∵ABCD是平行四边形，∴，
∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)
∴
又
即：
∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为
⑵设过A的直线方程为
以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2
设椭圆方程为，即…………………（*）
将代入（*）得
即
设M（x1，y1），N（x2，y2）则
∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。

∴，∴
∴
∵∴
∴即∴∴
∴，
，∵，∴∴
∴所求椭圆方程为
略。