[合集3份试卷]2020上海市黄浦区高一数学下学期期末综合测试试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列角α位于第三象限的是（ ） A ．3α=
B ．23
πα=
C ．210α=-︒
D ．3α=-
2．已知关于x 的不等式6x >+的解集为(,9)b ，则+a b 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．9
3．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c =，45A =︒，75B =︒，则a =（ ）
A
B C ．1
D ．3
4．在面积为S 的平行四边形ABCD 内任取一点P ，则三角形PBD 的面积大于3
S
的概率为（ ） A ．
19
B ．
29
C ．
13
D ．
49
5．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为( )
A B C D 6．tan15tan75︒+︒=（ ）
A ．4
B ．
C ．1
D ．2
7．已知定义在R 上的偶函数 ()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2018x f x =，若
()1
0.3
2(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ． < b a c <
B ． < c b a <
C ． < b c a <
D ． c < a b <
8．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒==则ABC ∆的面积等于( )
A ．6
B ．
C ．12
D ．9． “2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的（ ）条件 A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充要
D ．既不充分又非必要
10．已知等差数列{}n a 中，132,4a a ==，则公差d =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
11．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）
A ．2
B ．2
C 2
D ．2
A ．AC
B ．A 1D 1
C ．A 1
D D ．BD
二、填空题：本题共4小题 13．已知,αβ都是锐角，45
sin ,cos()513
ααβ=
+=，则sin β=_____ 14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为________．
15．在ABC ∆中，D 为BC 边中点，且5AD =，10BC =，则AB AC ⋅=______.
16．某学校成立了数学，英语，音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图.现随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是____.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 22cos b c a C -=．
（1）求角A 的大小； （2）若2a =
2b c +的最大值及相应的角B 的余弦值.
18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//BC AD ，点E 在线段AD 上，且
（1）求证：CE ⊥平面PAD ； （2）若1==PA AB ，3AD =，2CD =
P ABCD -的体积；
19．（6分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，已知sin 3cos c A a C =-，3c =(1)求角C ；
(2)求ABC 面积的最大值.
20．（6分）等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 21．（6分）己知数列的前n 项和2
10n S n n =-，求数列{}n a 的通项.
22．（8分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项的和为n S ，且满足数列2n na ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()1
2
3102n n n S λ-⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭
恒成立，求λ的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择.
第三象限的角度范围是32,2,2
k k k Z ππππ⎛⎫
++
∈ ⎪⎝
⎭
. 对A ：18033172απ⎛⎫
==⨯︒≈︒ ⎪⎝⎭
，是第二象限的角，故不满足题意； 对B ：23
π
α=
是第二象限的角度，故不满足题意； 对C ：210α=-︒是第二象限的角度，故不满足题意； 对D ：18033172απ⎛⎫
=-=-⨯︒≈-︒ ⎪⎝⎭
，是第三象限的角度，满足题意. 故选：D. 【点睛】
本题考查角度范围的判断，属基础题. 2．D 【解析】 【分析】
将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得,a b 的值，进而求得+a b 的值. 【详解】
由6x >+得60x -<，依题意上述不等式的解集为(,9)b ，故60
9360b a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得
5,4a b ==（9b =舍去），故9a b +=.
故选:D. 【点睛】
本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180︒，得到60C =︒，利用正弦定理求得a =【详解】
因为45A =︒，75B =︒，所以180457560C =︒-︒-︒=︒，
在ABC ∆中，sin sin a c A C =，所以sin 45a a =⇒=︒ A. 【点睛】
4．A
【解析】
【分析】
转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解. 【详解】
如图，
设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则
11
233
PBD
S
S BD h BD H =⋅>=⨯⋅，
∴
2
3
h H
>，∴满足条件的点P在AGH和CEF
△中，
所求概率
1
21
9
9
AGH
S
S
P
S S
===.
故选：A.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.
5．C
【解析】
如图所示,由题意知,在棱锥S ABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=1,SC=4,
SA=AC=SB=BC=12.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥S ABC的体积为两个棱锥S ABD和
C ABD的体积和,所以棱锥S ABC的体积V=1
3
SC·S△ADB=
1
3
×4×3=
4
3
3
.
6．A
【解析】
【分析】
分别利用和差公式计算tan15,tan75
︒︒，相加得答案.
tan 45tan 30
tan15tan(4530)21tan 45tan 30︒-︒
︒=︒-︒=
=+︒︒tan 45+tan 30
tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒︒
︒=︒+︒==+-︒︒tan15tan754︒+︒=
故答案为A 【点睛】
本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力. 7．C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性将123c f -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等价变形为32c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，再根据函数在[0,)x ∈+∞上单调性判断函
数值的大小关系，从而得出正确选项. 【详解】
解因为函数()f x 为偶函数，
故12332c f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
因为...030002021<<=，
ln()ln ln ln 3e 3e 312=+=+>，
所以.ln().033
3e 022
>
>， 因为函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调增， 故 < b c a <， 故选C. 【点睛】
本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化. 8．B 【解析】 【分析】
根据三角的面积公式1
sin 2
S bc A =求解. 【详解】
111
sin 38sin120382222
S bc A ︒=
=⨯⨯=⨯⨯⨯=B . 【点睛】
本题考查三角形的面积计算.三角形有两个面积公式：1sin 2S bc A =和1
2
a S a h =⋅，选择合适的进行计算. 9．A 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的判定，即可得出结果. 【详解】
当2a π=时，2x π=是函数cos y x =的对称轴，所以“2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的充分条件，
当函数cos y x =的图像关于直线x a =对称时，,x a k k Z π==∈,推不出2a π=， 所以“2a π=”是“函数cos y x =的图像关于直线x a =对称”的不必要条件， 综上选A . 【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件，余弦函数的对称轴，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】
利用通项得到关于公差d 的方程，解方程即得解. 【详解】
由题得2+24,1d d =∴=. 故选C 【点睛】
本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．C 【解析】 【分析】
判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题. 【详解】
由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a ，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即
2
244
a ⨯
=， 所以C 选项是正确的. 【点睛】
本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题. 12．D 【解析】 【分析】
在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直 【详解】
1,BD AC BD AA ⊥⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，1AC AA A =∩
则BD ⊥平面11ACC A 又因为CE ⊂平面11ACC A 则BD CE ⊥ 故选D 【点睛】
本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果 二、填空题：本题共4小题 13．
1665
【解析】 【分析】
由已知求出cos ,sin()ααβ+，再由两角差的正弦公式计算sin sin[()]βαβα=+-． 【详解】
∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513
ααβ=+=， ∴3
cos 5α=
，12sin()13
αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+
1235416
13513565
=⨯-⨯=．
故答案为
1665
． 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即
()βαβα=+-．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这
个关系选用相应的公式计算． 14．
【解析】 【分析】
根据程序框图，依次计算运行结果，发现输出的S 值周期变化，利用终止运行的条件判断即可求解 【详解】 由程序框图得：;
第一次运行
第二次运行
第三次运行故周期为4，
当，程序运行了2019次，，故的值为
故答案为
【点睛】
本题考查程序框图，根据程序的运行功能判断输出值的周期变化是关键，是基础题 15．0 【解析】 【分析】
根据向量2AB AC AD +=，AB AC CB -=，取模平方相减得到答案. 【详解】
2210AB AC AD AB AC AD +=⇒+==
两个等式平方相减得到：
400AB AC AB AC ⋅=⇒⋅=
故答案为0 【点睛】
本题考查了向量的加减，模长，意在考查学生的计算能力. 16．
715
【解析】 【分析】
由题中数据，确定课外小组的总人数，以及恰好属于2个小组的人数，人数比即为所求概率. 【详解】
由题意可得，课外小组的总人数为678811101060=++++++=N ， 恰好属于2个小组的人数为7111028=++=n ，
所以随机选取一个成员，他恰好只属于2个小组的概率是2876015
===n P N . 故答案为
715
【点睛】
本题主要考查古典概型，熟记列举法求古典概型的概率即可，属于常考题型. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）4
A π
=（2）b +的最大值为cos 5
B =
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；
（2）由正弦定理得出2sin b B =，()2sin 2sin c C A B ==+，然后利用三角恒等变换思想将b 转
化为关于角B 的三角函数，可得出b +的值，并求出cos B 的值. 【详解】
（1sin cos B C A C -=
，
()sin cos A C C A C +-=，
cos sin sin cos A C A C C A C +-=
，。