人教版中考数学专题复习全攻略：第一节 实数及其运算

第一节 实数及其运算
知识点一：实数的概念及分类
注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类：
（1）开方开不尽的数，如32,7等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.）
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3
π+100等； （3）有特定结构的数，如3.2020020002…等，一定要注意后面要带省略号；
（4）某些三角函数，如sin30o ，tan75等
注意：0既不属于正数，也不属于负数.
知识点二 ：实数的相关概念
（一）数轴 （1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

所有
的有理数都可以用数轴上的点来表示。

也可以用数轴来比较两个实
数的大小。

（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。

（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
注意：
1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的
点对应负数，原点对应零。

数轴上的点对应任意实数，包括无理数。

2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。

3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（1）按定义分
正有理数
有理数 0 有限小数或
负有理数 无限循环小数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
（2）按正、负性分 正实数 实数0 负实数
变式练习．在－3，－1，1，3四个数中，比－2小的数是( A )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
（二）.相反数
（1）概念：只有符号不同的两个数
（2）代数意义：a 、b 互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 注意：a 的相反数为-a ，特别的0的绝对值是0.
变式练习：.－2的相反数是( )
A. 2
B. －2
C. 12
D. －12
【解析】A a 的相反数是－a ，因此－2的相反数为－(－2)＝2.
．(易错题) A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是( B ) （三）.绝对值
（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
（2）运算性质|a|= a (a ≥0)； |a-b|= a-b(a ≥b)
-a(a ＜0). b-a(a ＜b)
（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b 2=0,则a=b=0.
初中阶段认识了3种非负数：○12n a （a ≥0） ○22n a ○
3|a|
变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.
变式练习2.实数a 在数轴上的位置如图所示，则
|a －2.5|＝( )
第2题图
A. a －2.5
B. 2.5－a
C. a ＋2.5
D. －a －2.5
注意：（1）若|x|=a （a ≥0），则x=±a.如：绝对值等于4的是±4
（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.[
【解析】B从数轴可以看出0＜a＜2.5，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a －2.5)＝2.5－a.
变式练习3：．数轴上点A、B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( D )
A．－3＋5 B．－3－5
C．|－3＋5| D．|－3－5|
变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__3－a__．
（四）倒数
（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) 即零没有倒数，
（2）代数意义：a、b 互为倒数 ab=1
注意：
（1）倒数等于它本身的数有±1.
（2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。

（3）整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。

（4）小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。

变式练习：.－2的倒数是( )
A. 2
B. －2
C. 1
2
D. －
1
2
【解析】D一个数的倒数等于与这个数乘积为1的数，因此－2的倒数为－1 2 .
知识点三：科学记数法、近似数
1.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为
减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起
至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
变式练习1：41000用科学记数法表示为4.1×104；
12万用科学记数法表示为1.2×105；
0.0003用科学记数法表示为3×10-4.
变式练习2：据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客27700000人，将27700000用科学记数法表示为( )
A. 0.277×107
B. 0.277×108
C. 2.77×107
D. 2.77×108
【解析】C将一个大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝2.77，n为正整数，n的值为原数的整数位数减1，因此n＝8－1＝7，故27700000用科学
记数法表示为2.77×107.
变式练习3：PM2.5是指大气中直径小于或等2.5μm
(0.0000025m)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )
A. 25×10－7
B. 2.5×10－6
C. 0.25×10－5
D. 2.5×106
【解析】B 一个将小数表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 为负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数，即a ＝2.5，n ＝－6，所以0.0000025＝2.5×10－6.
2.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.
（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 注意：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

变式练习：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.
知识点四 ：实数的大小比较（常见方法归纳）
（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。

（2）数轴比较法：：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数
（3） 作差比较法：设a 、b 是任意的实数a-b>0⇔a>b a-b=0⇔a=b
a-b<0⇔a<b
（3）设a 、b 是正实数1a a b b >⇔>1a a b b =⇔=1a a b b
<⇔< （4）平方法：a ＞b ≥0 a 2＞b 2.
变式练习1.如图所示，a 与b 的大小关系是( )
A. a ＜b
B. a ＞b
C. a ＝b
D. b ＝2a
第1题图
【解析】A 数轴上原点左边的数表示负数，原点右边的数表示正数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小，故a ＜b .
变式练习2.在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是( )
A. 0
B. 2
C. (－3)0
D. －5
【解析】B ∵(－3)0＝1，∴－5＜0＜(－3)0＜2，∴最大的数是2.
变式练习3下列各数中最小的数是( )
A. 0
B. －3
C. －3
D. 1
【解析】B根据正数>0>负数，负数相比较，绝对值大的反而小，得－3<－3 <0<1.
变式练习 4.把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.
变式练习5．已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x＋y＝a ＋b，y－x＜a－b.将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是__y＜a ＜b＜x__.
点拨：∵x＋y＝a＋b，∴y＝a＋b－x，x＝a＋b－y，把y＝a＋b－x代入y－x＜a－b得：a＋b－x－x＜a－b，2b＜2x，b＜x①，把x＝a＋b－y代入y－x＜a－b 得：y－(a＋b－y)＜a－b，2y＜2a，y＜a②，∵b＞a③，∴由①②③得：y＜a ＜b＜x
知识点五：实数的运算
（1）加法：1、同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加。

2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大
的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两个数相加得零。

4、一个数与零相加，仍得这个数。

注意：有理数的加法运算（顺口溜）
同号两数来相加，绝对值加不变号。

异号相加大减小，大数决定和符号。

互为相反数求和，结果是零须记好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

（2）减法：1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

2、有理数减法常见的错误：没有顾到结果的符号；只改变运算符号，不改变减
注意：（1）有理数的减法运算（顺口溜）
减正等于加负，减负等于加正。

有理数的乘法运算符号法则
同号得正异号负，一项为零积是零。

（2）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；
（3）乘法：1、两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2、任何数与0相乘都得0。

除法：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

注意：1)、除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
2)、0不能做除数。

变式练习．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．
（4）常见运算
1.乘方、有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a n”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。

（1）几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）（2）零次幂 a0=_1_(a ≠0)
（3）负指数幂 a-p=1/a p（a≠0，p为整数）
变式练习.下列等式正确的是( )
A. (－1)－3＝1
B. (－4)0＝1
C. (－2)2×(－2)3＝－26
D. (－5)4÷(－5)2＝－52
【解析】B逐项分析如下：
选项逐项分析正误
A (－1)－3＝
1
（－1）3
＝
1
－1
＝－1≠1×
B (－4)0＝1√
C (－2)2×(－2)3＝(－2)2＋3＝(－2)5＝－25≠－26×
D (－5)4÷(－5)2＝(－5)4－2＝(－5)2＝52≠－52×
2.算术平方根与平方根、
若x2=a（a≥0）,则x=a
.其中a是算术平方根.
立方根若x3=a,则x=3a.
变式练习：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-3)2=__9__;
2-1=_1/2_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是_8_,立方根是__4__.
（5）有理数的混合运算：
1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。

比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

2、进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一
级的运算，再算低一级的运算
运算律：①加法的交换律 a+b=b+a
③存在数0，使 0+a=a+0=a ；
④对任意有理数a ，存在一个加法逆元，记作-a ，使a+(-a)=(-a)+a=0； ⑤乘法的交换律 ab=ba ； ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c ；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac ；
在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。

有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。

变式练习1.计算：|－3|－(2016＋sin30°)0
－(－2)－1. 解：原式＝3－1＋2
变式练习2.计算：(2011－1)0＋18sin45°－22.
原式＝1＋32×
22
－4 ＝1＋3－4
＝0.
变式练习3.计算：9＋|－4|＋(－1)0－(12
)－1. 解：原式＝3＋4＋1－2 ＝6.
变式练习4.计算：2－2sin45°－(1＋8)0＋2－1.
解：原式＝2－2×
22－1＋12 ＝2－2－1＋12
＝－12
. 变式练习5，计算：4－(π－2017)0＋|3－2|＋2sin60°.
解：原式＝2－1＋2－3＋2×
3 2
＝2－1＋2－3＋ 3 ＝3.。