湖南省武冈市中考数学 专题九 一次函数与反比例函数培优试题(无答案)

专题九 一次函数与反比例函数
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典例导析
类型一：根据比例关系确定解析式
例1： 已知21y y y +=，1y 与)1(-x 成正比例，2y 与)1(+x 成反比例。

当0=x 时，3-=y ；当1=x ，
1-=y 。

求：① y 的表达式。

②当21
-=x ，y 的值。

[点拨] 正确表达两种函数关系式
[解答]
[变式] 已知1-y 与3-x 成反比例，且4=x ，2=y ，则5=x ，____=y
类型二：由定义确定关系式中字母的取值
例2：已知函数122)2(-++=a a x a a y ，当a 为何值时，
①它是正比例函数；②它是反比例函数。

[点拨] 把握定义的条件
[解答]
[变式] 已知函数1)2(32++-=-b x k y k 是一次函数，求 k ，b 的取值。

类型三：函数的图像与性质
例题：已知一次函数b k x k y +--=2)2(，当k 满足什么条件是：
①它的图像经过原点
②它的图像平行于直线1+-=x y ，
③y 随x 的增大而减小，
④它的图像不经过第三象限，
⑤它的图像与y 轴的交点非负，
[点拨] 综合运用一次函数的图像与性质
[解答]
[变式] 已知一次函数4+=kx y 的图像与两坐标轴围成的三角形面积为16。

①求k 值。

②若它不经过第四象限，求它与另一条直线183+-=x y 与x 轴围成的三角形面积。

例4： 如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线x
y 3=上，且AB ∥x 轴，C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，求它的面积。

[点拨] 设法求AB 与AD
[解答]
[变式]如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x y 4-=和x
y 2=的图像交于点A 和B ，若点C 是x 轴上任意一点，连结AC ，BC ，求ABC S ∆。

类型四：直线与双曲线的综合运用
例5： 如图，直线kx y = )0(>k 与双曲线x y 4=
交于点),(11y x A ，点),(22y x B ，则_____721221=-y x y x
[点拨] 理解正比例函数与反比例函数交点的特征
[解答]
[变式] 如图，已知反比例函数x k y = )0(≠k 的图像过点)8,2
1(，直线b x y +-=经过该双曲线上点Q （4，m ）。

①求两个函数的解析式。

②设该直线与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线的另一个交
点为P ，连OP ，OQ ，求OPQ S ∆。

类型五：存在性问题
例6： 如图，一次函数23
3+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在
x 轴上是否存在点P 使△PAB 为等腰△？若存在求出P 点坐标；若不存在说明理由。

[点拨] 分类讨论，逐类求点。

[解答]
[变式] 如图，反比例函数x
k y =的图象经过点A （－1，4），直线b x y +-= )0(≠b 与双曲线相交于点P ，Q ，与x 轴，y 轴相交于C ，D 两点。

①求k 值。

②当2-=b 时，求OCD S ∆。

③连OQ ，是否存在常数b ，使得OCD ODQ S S ∆∆=？若存在，求出b 值；
若不存在，请说明理由。

培优训练
1、如果0>ab ，0<bc ，则直线b c x b a y --
=不通过第 象
限。

2、如图，已知直线12
1+=x y 分别与两坐标轴交于点A ，B ；直线b x y +=与两坐标轴交于点C ，D ，直线AB 与CD 相交于点P ，且4=∆ABD S ，
求P 点坐标。

3、已知直线kx y =经过点（3，－4）。

①求k 值。

②将该直线向上平移m )0(>m 个单位，若平移后的直线与半径为6的⊙O （O 是坐标原点）相离，试求m 的取值范围。

4、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 坐PE ⊥AB 交AC 于点E ，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设x AP =，
四边
形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式。

5、如图，点A ，B 是双曲线
x
y 3=上的点，分别过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段，若1=阴S ，则_____21=+S S
6、如图，点A ，B 在x
m y = )0(>x 的图像上。

①求m 值及直线AB 的解析式。

②如果一个点的横、纵坐标均为整数，那我们称这个点为格
点，请直接写出图中阴影部分所含格点的个数。

7、如图，直线2+=kx y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C （1，a ）是直线与双曲线x
m y =的一个交点，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，且1=∆BCD S 。

①求双曲线解析式。

②若在y 轴有一点E ，使得以E ，A ，B 为顶点的三角形与△BCP 相似，求点E 的坐标。

竞赛训练
1、已知a
c b a b c b a c c b a k ++-=+-=-+=，且n n m 6952=++-，则关于自变量x 的一次函数n m kx y ++=的图象一定经过第 象限。

2、直线L ：px y =（P 为非零整数）与直线10+=x y 的交点恰好是格点（横、纵坐标均为整数），那么满足条件的直线L 有 条。

3、若点),3(1y -、),2(2y -、),1(3y 在反比例函数x
k y 2=的图象上，试比较1y ，2y ，3y 的大小。

4、如图，已知双曲线x
y 2= （0>x ）与矩形OABC 的边CB 、BA 分别交于点E 、F ，且AF=BF ，连EF ，则____=∆OEF S 。

5、如图，5×5的正方形网格中，每个小正方形边长为1，反比例函数的一个分支刚好经过四个
小格点（小正方形的顶点），则k= 。

6、做服装生意的王老板经营两个店铺，每个店铺都能同一时间内出售A ，B 两种款式的衣服合计60件，并且每售出一件A 或B 款式服装，甲店的利润分别为30分和40元，乙店的利润分别为27元和36元。

某日，王老板进A 款35件，B 款25件，并将这批服装分配给两店铺各30件，使得在保证乙店毛利不低于950元的前提下，怎样分配王老板获取总利润最大？最大利润为多少？。