§4.4 厄密算符本征函数的性质

§4.4 厄密算符本征函数的性质
重点：
厄密算符本征函数的正交、归一、完备性
（一）厄密算符本征函数的正交性
如果两函数
和 满足下列等式
（4.4-1）
式中积分是对变数的全部区域进行的，则称
和 两函数相互正交，“正交”这名词来
源于两矢量A ，B 正交时，其乘积满足
所以（4.4-1）式可以认为是上式的推广。

例 属于动量算符不同本征值的两个本征函数
和 相互正交，即
下面证明：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。

在非简并的情况下，设厄密算符
的本征函数是 , 它们所属的本征值
互不相等，我们要证明当
时，有
（4.4-2）
证设本征值方程
（4.4-3）
（4.4-4）
时，
且当
由于为厄密算符，所以根据定义有
利用（4.2-3）、（4.2-4）式，上式可写成
但厄密算符的本征值都是实数，即，故上式可写为
或
由（4.4-5）式
故得（4.4-6）
的本值组成分立谱的情况下，假设本征函数已归一化，即
在
（4.4-7）
这样（4.4-2）和（4.4-7）两式可合并写为
（4.4-8）表示
式中符号
的本征值组成连续谱，则本征函数可归一化为函数，代替（4.4-8）
如果
有
（4.4-9）（二）厄密算符本征函数的完全性
如果
是厄密算符，它的正交归一体征函数是对应的本征值是
则任一函数
可用它们（全部）的线性迭加来表示，即
（4.4-10）与r无关，本征函数的这种性质称为完全性或者说组成完全系。

式中
（4.4-11）
迭加系数
可证明仍为
（4.4-12）如果的本征值既有分立谱，又有连续谱，则它的全体征函数组成完全系，即。