2020-2021学年苏科版九年级下册数学《第5章 二次函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第5章二次函数》单
元测试卷
一．选择题
1．下列函数一定是关于x的二次函数的是（）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2+bx+c
C．y＝（a2+a）x2+bx+c D．y＝（a2﹣a）x2+bx+c
2．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．下列各点不在抛物线y＝﹣x2+4x﹣1上的是（）
A．（﹣2，﹣13）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，﹣6）D．（2，3）
4．抛物线y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标是（）
A．（3，0）B．（﹣2，0）
C．（﹣6，0），（1，0）D．（3，0），（﹣2，0）
5．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（）
A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2 6．将二次函数y＝x2的图象平移后，可得到二次函数y＝（x+1）2的图象，平移的方法是（）A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（）
A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3
8．函数y＝ax2+c与y＝ax+c（a≠0）在同一坐标系内的图象是图中的（）A．B．
C．D．
9．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（）
A．2秒B．4秒C．6秒D．8秒
10．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c 的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（）
A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（，﹣）二．填空题
11．二次函数y＝ax2+bx+c的函数值恒为负应满足的条件是．
12．有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y＝，其中是自变量，是因变量．
13．当x＝或时，函数y＝x2与y＝5x+6的函数值相等．
14．把y＝3x2+6x﹣3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，y＝．对称轴是，顶点坐标是．
15．二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y＝3x﹣2上，则二次函数的关系式为：．
16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC 的面积为．
17．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高元．18．已知反比例函数y＝的图象经过点P（2，2），函数y＝ax+b的图象与直线y＝﹣x平行，并且经过反比例函数图象上一点Q（1，m）．则函数y＝ax2+bx+有最值，这个值是．
19．若函数y＝ax2+b的图象经过点（0，1），（1，2），则a+b＝．
20．若函数y＝（m2﹣1）x3+（m+1）x2的图象是抛物线，则m＝．
三．解答题
21．画出函数y＝﹣x2+2x+3的图象，观察图象说明：当x取何值时，y＜0，当x取何值时，y＞0．
22．对称轴是直线x＝1且过点A（2，3）、点B（﹣1，6）的抛物线的解析式是？它的顶点坐标是？当x为？时，y＞0，当x为？时，y＜0．
23．已知二次函数y＝﹣3x2﹣6x+5．
（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；
（2）若另一条抛物线y ＝x 2﹣x ﹣k 与上述抛物线只有一个公共点，求k 的值． 24．已知
是x 的二次函数，求出它的解析式．
25．某厂要制造能装250mL （1mL ＝1cm 3）饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3．用铝量＝底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式． 26．抛物线y ＝ax 2经过点A （﹣1，2），不求a 的大小能否断定抛物线是否经过A ′（1，2）和B （﹣2，﹣3）两点？
27．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （2，4），其顶点的横坐标是，它的图象与x 轴交点为B （x 1，0）和（x 2，0），且x 12+x 22＝13．求： （1）此函数的解析式，并画出图象；
（2）在x 轴上方的图象上是否存在着D ，使S △ABC ＝2S △DBC ？若存在，求出D 的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、y＝ax2+bx+c，系数a是否为0，不确定，不一定是二次函数；
B、y＝x2+bx+c，二次项系数为1，一定是二次函数；
C、y＝（a2+a）x2+bx+c，二次项系数是否为0，不确定，不一定是二次函数；
D、y＝（a2﹣a）x2+bx+c，二次项系数是否为0，不确定，不一定是二次函数．
故选：B．
2．解：A、∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1中，a＝2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；
B、∵二次函数的解析式是y＝2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x＝3，故本选项
错误；
C、∵由函数解析式可知其顶点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确；
D、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减
小，故本选项错误．
故选：C．
3．解：A、把（﹣2，﹣13）中x＝﹣2代入得y＝﹣4﹣8﹣1＝﹣13，不成立；
B、把（﹣1，﹣4）中x＝﹣1代入得y＝﹣1﹣4﹣1＝﹣6≠﹣4，成立；
C、把（﹣1，﹣2）中x＝﹣1代入得y＝﹣1﹣4﹣1＝﹣6，不成立；
D、把（2，3）中x＝2代入得y＝﹣4+8﹣1＝3，不成立．
故选：B．
4．解：令y＝0，求出x的值为﹣2与3，故交点坐标为（3，0），（﹣2，0），故选：D．
5．解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（2，0），
所以，不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是﹣1＜x＜2．
故选：C．
6．解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（﹣1，0）∴平移的方法是向左平移1个单位．
故选：C．
7．解：方法一：
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）
∴﹣＝﹣1则﹣＝﹣2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根
∴x1+x2＝﹣
又∵x1＝1.3
∴x1+x2＝1.3+x2＝﹣2
解得x2＝﹣3.3．
方法二：
根据对称轴为；x＝﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3，则＝﹣1，即＝﹣1，
解得：x2＝﹣3.3，
故选：D．
8．解：A、由函数y＝ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，由二次函数y＝ax2+c的图象可得：a ＞0，c＜0，错误；
B、由函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2+c的图象可得：a＜0，
c＞0，且与y轴交于同一点，正确；
C、由函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2+c图象可得：a＞0，c
＜0，错误；
D、由函数y＝ax+c的图象可得：a＜0，c＜0，由二次函数y＝ax2+c的图象可得：a＞0，
c＜0，错误．
故选：B．
9．解：把s＝88代入s＝5t2+2t得：
5t2+2t＝88．
解得t1＝4，t2＝﹣4.4（舍去），即t＝4秒．
故选：B．
10．解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0）
即c＝3，
因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3），
又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1），
又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）．
由顶点坐标（﹣，）得（﹣）．
故选：A．
二．填空题
11．解：根据题意作图如下，从图中可以看出二次函数y＝ax2+bx+c的函数值恒为负的条件a＜0并且b2﹣4ac＜0．
故答案为a＜0并且b2﹣4ac＜0．
12．解：∵剩余部分是一个长方形，
而长方形面积＝长×宽，
∴y＝（6﹣x）（8﹣x）＝x2﹣14x+48，
y因x的变化而变化，
∴x是自变量，y是因变量．
故答案为：x2﹣14x+48，x，y．
13．解：由题意可知x2＝5x+6
解得x＝﹣1，x＝6．
14．解：y＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2+2x+1）﹣6＝3（x+1）2﹣6，
对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣6）．
故答案是3（x+1）2﹣6，直线x＝﹣1，（﹣1，﹣6）．
15．解：∵二次函数y＝2x2+bx+c的顶点为（﹣b，），
又∵二次函数y＝2x2+bx+c的顶点在直线y＝3x﹣2上，并且图象经过点（2，3），将（﹣b，）代入直线y＝3x﹣2和把（2，3）代入y＝2x2+bx+c，
得，
解得或，
∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣4x+3或y＝2x2﹣6x+7．
故答案为y＝2x2﹣4x+3或y＝2x2﹣6x+7．
16．解：根据二次函数y＝x2﹣2x﹣8，可得A、B两点的横坐标为﹣2，4；
C的纵坐标为﹣8；
则△ABC的面积为×8×6＝24．
17．解：设每床每日应提高x元，每日获利为y元，
则y＝（10+x）（100﹣•10）＝﹣5（x﹣5）2+1125（0≤x＜20）
∵a＝﹣5＜0，
∴函数图象知：开口向下，二次函数有最大值，
∴为了投资少而获利大，当x＝6时，每日获利y最大．
故填6元．
18．解：根据反比例函数y＝的图象经过点P（2，2），
得k＝2×2＝4；
根据函数y＝ax+b的图象与直线y＝﹣x平行，得到a＝﹣1；
根据经过反比例函数图象上一点Q（1，m），
首先得到m＝4，再进一步得到b＝5，则二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x﹣．根据顶点公式求得它的顶点坐标是（，1），
因为a＜0，
所以它有最大值是1．
19．解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，2），
∴a+b＝2，
故答案为2．
20．解：根据题意，由m+1≠0，得m≠﹣1
且m2﹣1＝0，得m＝±1
所以m＝1．
三．解答题
21．解：∵y＝﹣x2+2x+3，
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标（1，4），令x＝0得：y＝3，
∴与y轴交点坐标（0，3），
令y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝1 x2＝3，
∴与x轴交点坐标（﹣1，0），（3，0），
作出函数如图所示的图象，
由图象可以看出：当x＜﹣1或x＞3时，y＜0；
当﹣1＜x＜3时，y＞0．
22．解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
∵其对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
根据题意得，
解得．
所以抛物线y＝x2﹣2x+3，
令y＝x2﹣2x+3＞0，
即（x﹣3）（x+1）＜0，
解得x＜﹣1或x＞3
令y═x2﹣2x+3＜0，
即（x﹣3）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜3，
所以当得x＜﹣1或x＞3时y＞0，当﹣1＜x＜3时y＜0．
23．解：（1）∵y＝﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1）+8＝﹣3（x+1）2+8，∴对称轴x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，8），
即当x＝﹣1时，函数有最大值是8．
（2）∵只有一个公共点
∴方程﹣3x2﹣6x+5＝x2﹣x﹣k有相等实数根，
即4x2+5x﹣5﹣k＝0
△＝52﹣4×4×（﹣5﹣k）＝0，
∴k＝﹣．
24．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0
解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）
所以m＝3
故y＝12x2+9．
25．解：∵底面半径是x cm，
∴底面周长为2πx，底面积为πx2，
∵易拉罐的体积为250mL，
∴高为，
∴侧面积为2πx×＝，
∴y＝πx2×0.02+πx2×0.02×3+×0.02＝x2+．
26．解：∵抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，点A（﹣1，2），A′（1，2）关于y轴对称，∴抛物线经过A′（1，2）；
∵点A（﹣1，2）在第二象限，
∴抛物线开口向上，
抛物线图象在第一、二象限，
故不可能经过B（﹣2，﹣3）．
27．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（2，4），
∴4a+2b+c＝4 ①
∵顶点的横坐标是，
﹣②
∵函数图象与x轴交点为B（x1，0）和（x2，0），
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝③
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，
由②得：a＝﹣b代入①得：﹣2b+c＝4 c＝2b+4，
将a＝﹣bc＝2b+4代入③得：b2+2b（2b+4）＝13b2，
b＝0或b＝1
∵b＝0不合题意，
∴b＝1，a＝﹣1，c＝6
∴y＝﹣x2+x+6；
＝×BC×4＝10，
（2）设D（x，y）则S
△ABC
S
＝×5|y|＝y＝5，
△DBC
∴y＝2，
将y＝2代入y＝﹣x2+x+6，
∴或．。