【高三】高二年级下学期期末考试选修2-2(难)

【高三】高二年级下学期期末考试选修2-2（难）试卷说明：
高二年级期末考试2021-2021学年度选修2-2测试题一、选择题1.设曲线在点处的切线与直线平行，则＝（?）；B．；C．；D．2.点P在曲线y=x3-x+，上移动，设点P处切
线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]3.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．4.设f（x）=xlnx，若f′（x）=2，则x=（）A．e2B．eC．D．ln25.若（x-2）+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x，y的值是（）
A．x=3且y=3B．x=5且y=1C．x=-1且y=-1D．x=-1且y=16.已知i是虚数单位，若（x-i）i=y+2i（x，y∈R），则x，y的值分别是（）A．x=-1，y=2B．x=2，y=1C．x=1，y=-
2D．x=1，y=27.已知i1=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i，…由此可猜想i2021=（）
A．1B．-1C．ID．-i8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则
第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A．4n+2B．4n-2C．2n+4D．3n+39.对于任意的
两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“?”为：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“?”为：（a，b）?（c，d）=
（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），则（1，2）?（p，q）=（）A．（4，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，-4）10.观察下列各式71=7，72=49，
73=343，74=2401，75=16807…则72021的末尾两位数是（）A．01B．43C．49D．07二、填空题11.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重
叠部分的体积恒为．12.由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴所围成的封闭图形的面积为．13.若复数（a2-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a= ．14.函数在上的最大值
为.15.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．三、解答题16.设复数z=lg（m2-2m-2）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值范围，使得：（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限．17.若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数的解析式．(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．18.已知a，b∈R，可以证明：根据上述不等式，写出一个更一般的结论，并加以证明．19.已知i是虚数单位，复数z满足?（1+2i）z=4+3i，求复数z．20.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，满足，（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式．21.已
知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．参考答案一、选择题1.A 【解析】试题分析：根据题意，由于，且曲线在点处的切线的斜率为2a与直线平行,则可
知2a等于直线的斜率2，即2a=2,a=1,故可知答案为A.考点：导数的几何意义点评：主要是考查了导数求解切线方程的运用，属于基础题。

2.分析：根据导数的几何意义可知切线
的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾
斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．解答：解：∵tanα=3x2-1，∴tanα∈[-1，+∞）．当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；当tanα∈[-1，0）时，α∈[，
π）．∴α∈[0，）∪[，π）故选B．点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某
点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数
的图象与性质．3.分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定
原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（-∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的
单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小
于0时原函数单调递减．4.分析：利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x）=2
解方程即可．解答：解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx+1=2∴x=e，故选B．点评：本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是
高考
中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．5.分析：共轭复数的实部相等，虚部互为
相反数．由此建立关于x、y的方程组，解之即可得到实数x，y的值．解答：解：∵（x-2）+yi和3x-i互为共轭复数，∴，解之得故选：D点评：本题给出含有字母参数的两个
复数互为共轭复数，求x、y的值．着重考查了复数的基本概念和二元方程组的解法等知识，属于基础题．6.分析：由题意可得 1+xi=y+2i，再根据两个复数相等的充要条件求得x，y的值．解答：解：由（x-i）i=y+2i（x，y∈R），可得 1+xi=y+2i，∴，故选B．点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．7.分析：i的幂的运算成周期
出现，故可求．解答：解：由题意i的幂的运算成周期为4出现，故
i2021=i502×4+2=i2=-1，故选B．点评：本题主要考查i的幂的运算，关键是发现其成周期出现，属于基础题．8.分析：本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中
分析出白色地面砖的块数与图形序号n之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题．解答：解：方法一：（归纳猜想法）观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为
首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2方
法二：（特殊值代入排除法）或由图可知，当n=1时，a1=6，可排除B答案当n=2时，
a2=10，可排除CD答案．故答案为A点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别
情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．9.分析：本题考查的简单的合情推理，是一个新运算，我们只要根据运算的定义：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“?”为：（a，b）?（c，d）=（a+c，
b+d），结合（1，2）?（p，q）=（5，0）就不难列出一个方程组，解方程组易求出p，q
的值，代入运算公式即可求出答案．解答：解：由（1，2）?（p，q）=（5，0）得，所以（1，2）?（p，q）=（1，2）?（1，-2）=（2，0），故选B．点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知
中的数据代入进行运算，易得最终结果．10.分析：通过观察前几项，发现末两位数字分
别为49、43、01、07、…，以4为周期出现重复，由此不难求出72021的末两位数字．解
答：解：根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，
78=5764801，79=40353607…，发现：74k-2的末两位数字是49，74k-1的末两位数字是43，74k的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…）
∵2021=503×4∴72021的末两位数字为01，故选A．点评：本题以求7n（n≥2）的末两
位数字的规律为载体，考查了数列的通项和归纳推理的一般方法的知识，属于基础题．二、填空题11.分析：首先平面正方形的知识可知一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正
方形重叠部分的面积恒为，结合空间正方体的结构特征，即可类比推理出两个两个正方体
重叠部分的体积．解答：解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某
顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为
a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，
故答案为．点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是根据平面中正方形
的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大．12.分析：先求出两曲线
的交点坐标（1，1），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，
即可得到面积值．解答：解：由题意令解得交点坐标是（1，1）故由直线x+y-2=0，曲线
y=x3以及x轴围成的图形的面积为：∫1x3dx+∫12（2-x）dx=x4 +（2x-x2） =+=．故答
案为：点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题关键是根据题设中的条件建立
起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值，用定积分求面积是其重要运用，
掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．13.分析：利用复数Z=a+bi为纯虚
数的条件a=0，b≠0可得关于a的方程组，解方程可求结果，舍去不合题意的结果即
可．解答：解：∵复数（a2-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，所以即得a=2故答案为：2点评：本题主要考查了复数的基本概念，本题解题的关键是复数Z=a+bi为纯虚数的条件a=0，b≠0，属于基础题．14.【解析】试题分析：因为，所以，很容易得到>0在时恒成立，所
以函数在上是单调递增的，所以时，取最大值，最大值为。

考点：利用导数研究函数的最值。

点评：在做选择或填空时，我们可以把求最值的过程进行简化，既不用判断使=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点和端点处的函数值进行比较，就可判断出最
大值和最小值。

15.分析：求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意
义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．解答：解：由，得：y′=-x2+81，由-
x2+81=0，得：x1=-9（舍），x2=9．当x∈（0，9）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（9，+∞）时，y′＜0，函数为减函数，所以当x=9时，函数有极大值，也就是最大值，
为（万元）．所以使该生产厂家获
高二
年级下学期期末考试选修2-2（难）
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